a4119
| 19 |
|---|
Σωματίδια με σπιν.
...Ο ομάδας Poincaré περιγράφει τη σχετικιστική κίνηση ενός σημειακού αντικειμένου. Όμοια, η ομάδα Bargmann περιγράφει τη μη σχετικιστική κίνηση. Οι συνιστώσες του ορμής εμφανίζονται ως καθαρά γεωμετρικά μεγέθη. Πρόκειται για μία γεωμετρική προσέγγιση της φυσικής. Οι φυσικοί είναι εξοικειωμένοι με την ενέργεια E και το διάνυσμα ορμής p. Ωστόσο, μπορεί να τους προκαλέσει μια σχετική σύγχυση η ύπαρξη δύο άλλων αντικειμένων: της «διέλευσης» f και του διανύσματος σπιν l. Η μορφή των συνιστωσών της ορμής εξαρτάται από την επιλογή των συντεταγμένων. ...Κάθε δυναμική ομάδα διαθέτει το δικό της χώρο ορμής και τη δράση συζυγή της σε αυτόν τον χώρο. Εάν, αντί να επιλέξουμε πρώτα το σχετικιστικό κόσμο (ομάδα Poincaré), είχαμε επιλέξει το μη σχετικιστικό κόσμο, θα έπρεπε να αναφερθούμε στην ομάδα Bargmann. Για λεπτομέρειες υπολογισμών, δείτε τα μου εκπαιδευτικά βιβλία για ομάδες. Η ομάδα Bargmann είναι μία μη τετριμμένη επέκταση της ομάδας Galilée: (272)
Όπως μπορεί να διαπιστώσει ο αναγνώστης, αυτή η ομάδα δρα σε έναν πέντε-διάστατο χώρο:
r: χώρος
t: χρόνος
z: μία πρόσθετη μεταβλητή.
...Αυτές οι ερωτήσεις σχετικά με τις πρόσθετες μεταβλητές θα εξεταστούν περαιτέρω. Σε αυτή τη σελίδα, έχει δοθεί πλήρης υπολογισμός της συζυγούς δράσης της ομάδας Poincaré. Μπορούμε επίσης να προκύψουμε τον υπολογισμό της συζυγούς δράσης της ομάδας Bargmann στον χώρο της ορμής της. Παράδοξα, ο υπολογισμός στο μη σχετικιστικό κόσμο είναι λίγο πιο περίπλοκος από αυτόν στο σχετικιστικό κόσμο. Το αποτέλεσμα είναι το εξής: (273)
Ο φυσικός αναγνωρίζει κάποια γνωστά αντικείμενα, όπως η ταχύτητα: (274)
και η κινητική ενέργεια: (275)
Το mv είναι η ορμή. Ταχύτητα ως προς τι; Μία ομάδα αλλάζει τα παραμέτρους της κίνησης, δίνει σε μία σωματίδιο μία ταχύτητα v και μία κινητική ενέργεια E. Μπορούμε να επιλέξουμε την αντίστροφη ερμηνεία, και να θεωρήσουμε ότι μία ομάδα είναι ένας ιδιαίτερος σημείο παρατήρησης για κάτι, για ένα σωματίδιο. Εάν εξετάσουμε την ομάδα SO(3), τις μήτρες a, αυτό σημαίνει «δεδομένο από άλλη γωνία». Εάν εξετάσουμε την ομάδα O(3), τις μήτρες a, προστίθεται η δυνατότητα να παρατηρήσουμε το «πράγμα» από έναν καθρέφτη.
Το διάνυσμα μεταφοράς (276)
της ομάδας του Ευκλείδη προσθέτει «δεδομένο από άλλο σημείο».
Στις δυναμικές ομάδες, η παρουσία μίας ταχύτητας v στην ομάδα σημαίνει ότι ο παρατηρητής κινείται. Η χρονική μεταφορά e = Dt σημαίνει ότι ο παρατηρητής βλέπει το πράγμα με κάποια καθυστέρηση. Το διάνυσμα μεταφοράς Dr και η χρονική καθυστέρηση Dt μπορούν να συνδυαστούν σε ένα διάνυσμα μεταφοράς χωροχρόνου: (277)
Δείτε τις εξισώσεις, από την ομάδα Bargmann, βλέπουμε ότι:
m' = m
Όποιο και αν είναι το σημείο παρατήρησης, η μάζα παραμένει αμετάβλητη.
Ας απλοποιήσουμε λίγο αυτό το «σημείο παρατήρησης», επιλέγοντας a = 1.
Η συζυγής δράση γίνεται: (278)
...Η συζυγής δράση δείχνει τη μεταβολή των παραμέτρων της κίνησης. Εάν υποθέσουμε ότι μεταβαίνουμε από μία στατική κατάσταση σε μία μη στατική, οι αρχικές συνθήκες αντιστοιχούν σε:
E = 0 (μηδενική ενέργεια)
p = 0 (μηδενική ορμή, μηδενική ταχύτητα)
«διέλευση» f = 0
Τότε η συζυγής δράση δίνει: (279)
Η λέξη «θεωρώ» πρέπει να διαβάζεται με την ετυμολογική της σημασία.
Ένας εκτελεστής δικαστικών πράξεων λέει: - Σύνταξη πρακτικού και καταμέτρησης.
...Μία στατική (v = 0) προβολή των πραγμάτων αντιστοιχεί στην ομάδα του Ευκλείδη. Ο εκτελεστής παρατηρεί τα πράγματα σε απόσταση c. Παρατηρεί τα γεγονότα τη στιγμή που συμβαίνουν (Dt = 0). Ενδεχομένως, κοιτάζει από μία συγκεκριμένη γωνία (a διαφορετικό από 1).
...Ένας στρατηγός, που πετάει πάνω από ένα πεδίο μάχης σε επιβατικό αεροπλάνο, είναι κάποιο είδος εκτελεστή δικαστικών πράξεων που παρατηρεί τα πράγματα από ένα κινούμενο σημείο (από ένα αεροπλάνο που πετάει με ταχύτητα v). ...Όμως ένας στρατηγός, στο έδρανό του, που κοιτάζει ένα βίντεο που πήρε ένα αστικό αεροπλάνο, ένας δρόν, πριν από μερικές ώρες, λέει: - Θεωρώντας το στόχο, όπως ήταν μία ώρα νωρίτερα (Dt ≠ 0), δεδομένο από ένα κινούμενο σημείο παρατήρησης (v ≠ 0), από υψόμετρο πέντε χιλιάδων ποδιών (c ≠ 0), πετώντας με ταχύτητα v και λαμβάνοντας τη φωτογραφία από μία συγκεκριμένη γωνία (a διαφορετικό από 1).
...Ένας στόχος δεν έχει καθορισμένη ταχύτητα, θέση ή προσανατολισμό, ακόμη και αν υποτίθεται ότι είναι ένα «σταθερό» κτίριο. Όλα είναι σχετικά. Ακόμη και η Γη, ο Ήλιος, η γαλαξία μας κινούνται στο χώρο.
...Το «βόρειο πόλο» της Γης διαφέρει από το βόρειο πόλο του Ήλιου κατά 23°, και μεταβάλλεται με τον χρόνο (26.000 χρόνια), λόγω της προσήλιους των ισημερινών. Ο βορράς που δείχνει ο Ήλιος (ο ίδιος άξονας περιστροφής του) δεν είναι ο ίδιος με αυτόν που δείχνει η γαλαξία μας, η Γαλαξία Μεγάλη, η οποία έχει τη δική της περιστροφική κίνηση (διαφορά 90°). Ακόμη και μία γαλαξία κινείται με τριακόσια μίλια την ώρα. Σε σχέση με τι; Με τα άλλα. Αυτό είναι όλο που μπορούμε να πούμε. Η ομάδα αντιστοιχεί σε δύο διαφορετικά σημεία παρατήρησης.
...Εάν θεωρήσω ότι το αντικείμενο είναι ακίνητο, σταθερό στο χώρο και το χρόνο, και δεν έχει περιστροφική κίνηση, το μόνο που μπορώ να πω είναι:
- Εάν απομακρυνθώ σε απόσταση c.
- Εάν παρατηρήσω το πράγμα, κινούμενος με ταχύτητα v.
- Εάν η πληροφορία που προέρχεται από αυτό το πράγμα φθάνει σε μένα με χρονική καθυστέρηση Dt.
Σε σχέση με εμένα:
---> Η μάζα του αντικειμένου δεν αλλάζει.
----> Προσδίδω στο αντικείμενο μία ορμή mv, η οποία θεωρείται φαινόμενη.
-----> Το αντικείμενο αποκτά μία «διέλευση» f = m [ c - v Dt ]
-----> Αποκτά σπιν (279b)
Γράψτε το με πιο σαφή τρόπο: (280)
(281)
(282)
ή: (283)
Μπορούμε να θεωρήσουμε τις τρεις ανεξάρτητες συνιστώσες της μήτρας σπιν l ως συνιστώσες ενός διανύσματος: (283b)
...Αν και το διανυσματικό γινόμενο δεν έχει οριστεί στον χώρο μας, δηλαδή δεν έχουμε αποδώσει στον χώρο μία δεξιόστροφη-αριστερόστροφη κατεύθυνση, μπορούμε να θεωρήσουμε την τελική έκφραση ως διανυσματικό γινόμενο. (284)
...Το ανεστραμμένο v υποδηλώνει το διανυσματικό γινόμενο. Βλέπουμε ότι η τελευταία γραμμή των εξισώσεων που δίνουν τη συζυγή δράση αντιστοιχεί σε: (285)
l είναι μία μήτρα, όχι ένα διάνυσμα. Ωστόσο, σύμφωνα με την επιλεγμένη σημείωση, τα παχύγραφα γράμματα υποδηλώνουν ανεξάρτητα μία μήτρα ή ένα διάνυσμα.
Αυτό το διάνυσμα αρχίζει να μοιάζει με κάτι γνωστό στο φυσικό: την κινητική ροπή.