a4124
| 24 |
|---|
Το ειδικό ομάδα του Γαλιλαίου.
...Ο αναγνώστης θα βρει αυτή την επέκταση στο βιβλίο του Σουριό: Δομή των Δυναμικών Συστημάτων, Εκδόσεις Birkhäuser 1997 και, στα γαλλικά, Δομή των Δυναμικών Συστημάτων, Εκδόσεις Dunod 1973.
...Μία ομάδα μπορεί να επεκταθεί. Αυτό σημαίνει ότι το πλήθος των παραμέτρων από τις οποίες εξαρτάται θα αυξηθεί. Υπολογίστε το πλήθος των παραμέτρων από τις οποίες εξαρτάται η ομάδα του Γαλιλαίου. Ξεκινάμε από τον πίνακα περιστροφής σε 3Δ:
(322)
Πρόκειται για έναν ορθογώνιο πίνακα:
(323)
Αυτοί οι πίνακες αποτελούν την ομάδα SO(3), που είναι υποομάδα της ομάδας O(3) που αποτελείται από όλους τους ορθογώνιους πίνακες. Έχουμε:
(324)
Θυμηθείτε τη διαφορά με:
(325) (325b)
είναι οι πιο γενικές ορθογώνιες μήτρες, των οποίων οι δετερμινάντες ακολουθούν:
(326)
Τέλος αυτής της παρένθεσης.
Η επόμενη ομάδα τετραγωνικών μητρών (5,5) θα ονομαστεί η ειδική ομάδα του Γαλιλαίου:
(327)
Ο πίνακας περιστροφής εξαρτάται από τρεις ελεύθερες παραμέτρους, τις γωνίες Ευληρίου. Έτσι, η διάσταση της ομάδας είναι δέκα.
Χρησιμοποιώντας τις συμβολισμούς:
(328)
παίρνουμε:
(329)
Συνδεόμενο με το διάνυσμα χώρο-χρόνου:
(330)
έτσι ώστε η αντίστοιχη ενέργεια της ειδικής ομάδας του Γαλιλαίου να είναι:
(331)
...Δεδομένης της ειδικής ομάδας του Γαλιλαίου, είναι δυνατό να υπολογιστεί η ενέργεια της ομάδας στον χώρο των ορμών. Ο υπολογισμός δεν θα δοθεί εδώ. Ο αναγνώστης μπορεί να τον βρει στα μου σημειώσεις για τις ομάδες, που είναι διαθέσιμες.
Δώστε το αποτέλεσμα:
(332)
Αναγνωρίζουμε την ορμή p και την ενέργεια E. Η ορμή αποτελείται από:
(333) JSG = { E , p , f , **l **}
...Δέκα βαθμωτά μεγέθη. Δέκα διαστάσεις για την ομάδα. Έχουμε ακόμα το διάνυσμα μεταφοράς f και τον αντισυμμετρικό πίνακα σπιν l (αποτελούμενο από τρεις ανεξάρτητες συνιστώσες lx, ly, lz, που σχηματίζουν το "διάνυσμα σπιν").
Η τετριμμένη επέκταση της ειδικής ομάδας του Γαλιλαίου.
Οι ακόλουθοι πίνακες αποτελούν μία νέα ομάδα.
(334)
Εισάγει μία νέα συνιστώσα f, βαθμωτή, την «φάση» (συνδεδεμένη με τον κβαντικό κόσμο). Η διάσταση της ομάδας γίνεται 10 + 1 = 11.
Αυτή η νέα ομάδα ενεργεί σε έναν πενταδιάστατο χώρο:
(335)
Το z είναι μία «πρόσθετη διάσταση». Εισήχθη για πρώτη φορά από τον Πολωνό Καλούζα, το 1921, και στη συνέχεια από τον J.M. Souriau, το 1964 (Γεωμετρία και Σχετικότητα, Εκδόσεις Hermann, όχι μεταφρασμένο στα αγγλικά).
Πάλι, μπορούμε να υπολογίσουμε την αντίστοιχη συζυγή ενέργεια της ομάδας στον χώρο των ορμών. Βρίσκουμε αυτό:
(336)
Η ορμή γίνεται:
(337) JTESG = { m , E , p , f , **l **}
...Έχουμε μία πρόσθετη βαθμωτή ποσότητα m και την αναγνωρίζουμε ως μάζα. Βλέπουμε ότι η ειδική ομάδα του Γαλιλαίου, που ενεργεί στον χώρο-χρόνο, φέρνει την ενέργεια, αλλά όχι τη μάζα, ως συνιστώσα της ορμής. Σήμερα (μέσω της τετριμμένης επέκτασης), το σωματίδιό μας παίρνει ένα πρόσθετο χαρακτηριστικό, που αναγνωρίζεται ως μάζα, πολύ τυχαία, και το οποίο δεν αλληλεπιδρά με τις άλλες συνιστώσες της ορμής.
Δείκτης Θεωρίας Δυναμικών Ομάδων
Πρωτότυπη έκδοση (αγγλικά)
a4124
| 24 |
|---|
The special Galileo's group.
...The reader will find this extension in Souriau's book : Structure of Dynamical Systems, Birkhasuer Ed. 1997 and, in french, Structure des Systèmes Dynamiques, Ed. Dunod 1973.
...A group can be extended. It mean that the number of the parameters it depends on will be increased. Compute the number of parameters which the Galileo's group depends on. We start from the 3d rotation matrix :
(322)
It's an orthogonal matrix :
(323)
these matrixes form the groups SO(3) which a sub-group of the group O(3) composed of all the orthogonal matrixes. We have :
(324)
Recall the difference with :
(325) (325b)
are the most general orthogonal matrixes, whose determinants obey :
(326)
End of this parenthesis.
The next group of square matrixes (5,5) will be called the special Galileo group :
(327)
The rotation matrix depends on three free parameters, the Euler's angles. So that the dimension of the group is ten.
Using the notations :
(328)
we get :
(329)
Associated to the space time vector :
(330)
so that the corresponding action of the Spacial Galileo's group is :
(331)
...Given the Special Galileo's group, it is possible to compute the action of the group on its momentume space. The calculation will not be given here. The the reader can find it in my lectures of groups, available.
Let us give the result :
(332)
We recognize the momentum **p **and the energy E. The momentum is composed by :
(333) JSG = { E , p , f , **l **}
...Ten scalar quantities. Ten dimensions for the group. We still have the passage vector **f and the antisymmetric spin matrix l **(composed by three independent components lx , ly , lz , forming the "spin vector" ).
The trivial extension of the Special Galileo's group.
The next matrixes form a new group.
(334)
It introduces a new component f, a scalar, the "phasis" ( connected to quantum world ). The dimension of the group becomes 10 + 1 = 11
This new group acts on a five dimensional space :
(335)
z is an "additional dimension". It was first introduced by the Polish Kaluza, in 1921, then by J.M.Souriau, in 1964 (Géométrie et relativité Hermann Editeur, not translated in English ).
Here again, one can compute the corresponding coadjoint action of the group on its momentum space. We find this :
(336)
The momentum becomes :
(337) JTESG = { m , E , p , **f **, **l **}
...We have one more scalar m and we identify it to the mass. We see that the Special Galileo's group, acting on space time, brings the energy, but not the mass, as a component of the momentum. At the present time ( through trivial extension ) our particle gets an additional attribute, which is identified to the mass, very arbitrarly, and which does not interact with the other components of the momentum.