| 2 |
3 - Τρίτο αξίωμα της
θεωρίας των ομάδων:
Κάθε στοιχείο της ομάδας
πρέπει να κατέχει το αντίστροφό του, γραμμένο g-1, που ορίζεται από:
(15)
g
x g-1 = g-1
x g = 1
Στο παράδειγμά μας:
(16)
δηλαδή: b
= - a ή:
(17)
g-1
( a ) = g ( - a )
Εδώ ο υπολογισμός
του αντίστροφου πίνακα είναι τετριμμένος.
Ποια είναι η συνθήκη
ώστε ένας δεδομένος τετραγωνικός πίνακας να κατέχει το αντίστροφό του;
...Σε
κάθε τετραγωνικό πίνακα μπορούμε να συσχετίσουμε ένα βαθμωτό μέγεθος που ονομάζεται ορίζουσα. Για
τον ορισμό βλέπε οποιοδήποτε βιβλίο αφιερωμένο στον γραμμικό λογισμό. Αυτή η ορίζουσα
κωδικοποιείται: det ( g )
Επιπλέον έχουμε ένα
γενικό θεώρημα:
det (g1
x g2)
= det (g1 )
x det (g1 )
Η ορίζουσα ενός
διαγώνιου πίνακα είναι:
(18)
Κατά συνέπεια:
det ( 1 ) = 1
διότι το 1 είναι διαγώνιος πίνακας.
Από τον ορισμό του
αντίστροφου ενός πίνακα:
g
x g-1 = g-1
x g = 1
Τότε:
(19)
det ( g
x g-1 ) = det (g)
x det (g-1 ) = 1
...Αν
det (g) = 0 η συνθήκη (19) δεν μπορεί να ικανοποιηθεί. Σύνολα πινάκων
των οποίων τα συγκεκριμένα στοιχεία κατέχουν μηδενική ορίζουσα δεν ικανοποιούν το τρίτο αξίωμα,
και δεν μπορούν να σχηματίσουν ομάδα.
Παρεμπιπτόντως:
(20)
4 - Τέταρτο αξίωμα
της θεωρίας των ομάδων:
Ο πολλαπλασιασμός πρέπει
να είναι προσεταιριστικός, δηλαδή: .
(21)
( g1
x g2
) x g3
=g1
x ( g2
x g3 )
Ο πολλαπλασιασμός πινάκων
είναι βασικά προσεταιριστικός.
Διάσταση μιας ομάδας
:
...Όπως
θα δούμε, μια ομάδα μπορεί να δράσει σε ένα χώρο του οποίου τα σημεία περιγράφονται από διανύσματα-στήλες.
Για παράδειγμα σημεία του χωροχρόνου (που ονομάζονται "γεγονότα"):
(22)
...Αυτός
είναι ένας τετραδιάστατος χώρος. Διαφορετικές ομάδες μπορούν να δράσουν σε αυτόν. Αλλά η διάσταση
μιας ομάδας δεν έχει καμία σχέση με τη διάσταση του χώρου στον οποίο δρα.
Η διάσταση μιας
ομάδας (πινάκων) είναι ο αριθμός
των παραμέτρων που
ορίζουν αυτούς τους τετραγωνικούς πίνακες.
Έχουμε δώσει ένα παράδειγμα
πινάκων, που ορίζονται από μία μόνο παράμετρο
a
Έτσι ώστε η διάσταση
αυτής της ομάδας είναι ένα.
Προσέξτε ότι:
(22-bis)
Παρατήρηση:
Όλες οι ομάδες πινάκων
δεν είναι αντιμεταθετικές, αν και η ομάδα που μελετήσαμε κατέχει αυτή την ιδιότητα
:
(23)
Αν μια τέτοια ομάδα δρα σε ένα
διάνυσμα-στήλη, που αντιστοιχεί σε έναν 2δ χώρο:
(23 bis)
αντιστοιχεί σε στροφή γύρω από ένα σταθερό σημείο, σε ένα επίπεδο:
(23 ter)
Αυτή η πράξη είναι προφανώς
αντιμεταθετική.
Θα τείνετε να πείτε:
"όπως όλες οι ομάδες στροφών".
...Κάνετε
λάθος. Θεωρήστε τις στροφές γύρω από άξονες που διέρχονται από ένα δεδομένο σημείο O. Συνδυάστε
δύο διαδοχικές στροφές, γύρω από διαφορετικούς άξονες. Αυτό δεν είναι αντιμεταθετικό.
Άσκηση: δείξτε ότι, χρησιμοποιώντας ορθογώνιο σύστημα αξόνων (OX, OY, OZ), οι συνδυασμένες
στροφές γύρω από αυτούς τους άξονες δεν είναι αντιμεταθετική πράξη.. Πάρτε οποιοδήποτε αντικείμενο.
- Κάντε μια στροφή +90°
γύρω από τον OX, έπειτα μια στροφή +90° γύρω από τον OZ
Επιστρέψτε στις αρχικές συνθήκες
και:
- Κάντε μια στροφή +90°
γύρω από τον OZ, έπειτα μια στροφή +90° γύρω από τον OX
Συγκρίνετε τα αποτελέσματα.
Δράση της ομάδας.
...Μια
ομάδα G αποτελείται από τετραγωνικούς πίνακες g. Μπορούν να πολλαπλασιαστούν.
Θα πούμε ότι μια ομάδα μπορεί να δράσει στον εαυτό της.
Η ομάδα μπορεί επίσης να δράσει σε ένα χώρο, που αποτελείται από σημεία, που περιγράφονται από διανύσματα-στήλες.
Παράδειγμα:
(24)
Αν γράψουμε:
(25)
η δράση της ομάδας
σε αυτόν τον χώρο γίνεται:
(26)
g
x r
...Σε
αυτή τη συγκεκριμένη περίπτωση η δράση στον χώρο ταυτίζεται με τον απλό πολλαπλασιασμό πινάκων.
Αλλά η έννοια της δράσης είναι πολύ γενικότερη.
