| 13 |
Οι ομάδες του Γαλιλαίου (
ομάδα προσανατολισμένη στον χωρόχρονο και πλήρης ).
Μπορούμε να προτείνουμε διάφορα
ονόματα για αυτή την ομάδα.
GGSOTO (
Galileo space oriented and time oriented )
ή :
GSG ( Ειδική
ομάδα του Γαλιλαίου ).
Ή, απλώς :
SG(3,1) : Ειδική ομάδα
του Γαλιλαίου.
3 διαστάσεις του χώρου,
1 για τον χρόνο. Θυμηθείτε
ότι γράψαμε τη δράση της ομάδας PT ως εξής :
(158)
Στη συνέχεια μετατοπιστήκαμε σε κάποια
ομάδα προσανατολισμένη στον χώρο και στον χρόνο. Θα μπορούσαμε παρομοίως να γράψουμε τη δράση μιας τέτοιας
ομάδας :
(159)
Αυτή είναι μια υπο-ομάδα
μιας πιο εκλεπτυσμένης :
(160)
Η "ομάδα του Γαλιλαίου προσανατολισμένη στον χώρο και στον χρόνο". Με :
(161)
Η αντίστοιχη δράση
είναι :
(162)
Αυτή είναι μια ομάδα μιας συνιστώσας
( συνεκτική ). Είναι μια υπο-ομάδα της πλήρους, τεσσάρων συνιστωσών ομάδας
του Γαλιλαίου :
(163)
η οποία διέπει τις συμμετρίες P, T και
PT :
(164)
και ανακύπτει επίσης το πρόβλημα των αντίχρονων αντικειμένων ( όπως θα γίνει παρακάτω,
αλλά σε σχετικιστική βάση ).
Κινήσεις.
Τα 4δ-γεωμετρικά αντικείμενα
είναι "κινούμενα ολογράμματα". Στη 4δ δομή μπορούμε να κάνουμε τομές, σε διαδοχικούς
χρόνους. Κάθε τομή είναι ένα 3δ αντικείμενο, φτιαγμένο από
(xi,yi,zi)
σημεία. Είναι απλούστερο
αν θεωρήσουμε ένα σημειακό αντικείμενο που κινείται στον χωρόχρονο. Τότε η θεωρούμενη
δομή του χωρόχρονου γίνεται μια διαδρομή, μια κίνηση.
...Αποφασίζουμε
να αφομοιώσουμε τα σωματίδια της φυσικής σε κινήσεις σημείων. Είτε
θα είναι κάποια "σημεία μάζας", είτε σημειακή ενέργεια (φωτόνια, νετρίνα).
...Μπορούμε
να θεωρήσουμε όλες τις δυνατές κινήσεις όλων των δυνατών σωματιδίων και
να τις εντάξουμε σε έναν
(165)
χώρο κινήσεων.
...Στον
χωρόχρονο μπορούμε να βρούμε όλες τις δυνατές διαδρομές φωτονίων, πρωτονίων, νετρονίων, νετρίνων,
αντιπρωτονίων, και ούτω καθεξής. Θεωρούμε έναν άπειρο αριθμό δυνατών θέσεων,
ταχυτήτων και άλλων παραμέτρων, προς ανακάλυψη. Ανάμεσα σε αυτό το άπειρο
διαδρομών βρίσκονται οι διαδρομές που αφορούν ένα δεδομένο σωματίδιο : ένα ηλεκτρόνιο, για παράδειγμα.
Άλλες διαδρομές αφορούν το φωτόνιο. Είναι διαφορετικές. Σχηματίζουν δύο διακριτές οικογένειες,
δύο
διακριτά είδη
κινήσεων.
Αναζητούμε πώς να ταξινομήσουμε
τα σωματίδια. Έπειτα αναζητούμε πώς να ορίσουμε τα είδη των κινήσεων.
Θα χρησιμοποιήσουμε μια μέθοδο
παρόμοια με του Ευκλείδη. Το κεντρικό ερώτημα είναι :
Ποια
"αντικείμενα" ανήκουν στο ίδιο είδος ;
...Απάντηση
: εκείνα που μπορούν να τεθούν το ένα πάνω στο άλλο μέσω της δράσης στοιχείων
μιας ομάδας που ανήκουν σε κάποια υπο-ομάδα που ονομάζεται κανονικότητα
τέτοιων αντικειμένων.
...Στον
κόσμο του Ευκλείδη δεν μπορείτε να μετασχηματίσετε μια σφαίρα σε κύβο, και αντιστρόφως.
Ανήκουν σε διακριτά είδη. Δεν υπάρχει υπο-ομάδα που να καθιστά δυνατό
να μετασχηματίζονται σφαίρες σε κύβους, και αντιστρόφως.
...Παρομοίως,
σε κάποια ομάδα, προς ορισμό, δεν υπάρχει στοιχείο, που να ανήκει σε κάποια υπο-ομάδα,
το οποίο να καθιστά δυνατό να μετασχηματιστεί η κίνηση ενός φωτονίου στην κίνηση
ενός ηλεκτρονίου. Είναι βασικά διαφορετικές, ανήκουν σε διακριτά είδη.
Αν υπάρχει ένα στοιχείο
της ομάδας του οποίου η δράση μετασχηματίζει μια κίνηση σε άλλη κίνηση, τότε
αυτές οι κινήσεις αφορούν ένα ίδιο είδος. Είναι δύο διαφορετικές κινήσεις
ενός ίδιου σωματιδίου.
...Δεν
θα ασχοληθούμε με συστήματα πολλών σωματιδίων, όπως άτομα, μόρια.
Θα εστιάσουμε στην ανάλυση ελεύθερων σωματιδίων, που κινούνται σε έναν κενό χώρο. Τότε,
κατά τη διάρκεια αυτής της πορείας, ένας ορισμένος αριθμός παραμέτρων διατηρείται (μάζα, ενέργεια,
άλλες...)
Αλλά η απλή εξέταση
της χωροχρονικής διαδρομής ενός σωματιδίου δεν αρκεί για να το ταυτοποιήσουμε και να το
εντάξουμε σε ένα καθορισμένο είδος.
-
Ένα πρωτόνιο και ένα νετρόνιο
μπορούν να κινηθούν κατά μήκος της ίδιας διαδρομής, με την ίδια ταχύτητα. -
Δύο σωματίδια μπορούν να ακολουθήσουν
την ίδια διαδρομή, με v = c, αλλά το ένα μπορεί να είναι φωτόνιο και το άλλο νετρίνο. -
Όπως θα δούμε αργότερα,
δύο φωτόνια που ακολουθούν την ίδια διαδρομή, στην ίδια κατεύθυνση, με την ταχύτητα
του φωτός, μπορούν να είναι διαφορετικά. Είναι P-συμμετρικά. -
Το ένα κατέχει δεξιά ελικότητα
. -
Το άλλο αριστερή
ελικότητα .
Αυτό αντιστοιχεί στην πόλωση
του φωτός. Ανήκουν σε διακριτά είδη ; Εξαρτάται από την ομάδα που επιλέγουμε.
Ένα είδος είναι σχετικό
με μια δεδομένη ομάδα.
Η ορμή.
...Μια
κίνηση είναι μια ιδιαίτερη επιλογή, ένα σημείο στον χώρο των ορμών . Θεωρήστε
κινήσεις ειδών των οποίων η μόνη διαφορά είναι η μάζα. Παίρνουμε δύο είδη. Ένα
σωματίδιο του οποίου η μάζα είναι ma δεν μπορεί να μετατραπεί σε σωματίδιο του οποίου η μάζα
είναι mb . Ακόμη και αν οι τροχιές τους μπορούν να είναι πανομοιότυπες στον χωρόχρονο, θεωρούμε
ότι είναι διαφορετικές κινήσεις δύο διακριτών ειδών ή :
δύο διακριτά είδη
κινήσεων.
(166)
Η ορμή είναι ένα σύνολο
παραμέτρων :
J = { J1
, J2 , J3 , ........, Jn }
Μία είναι η Ενέργεια
J1 = E .
Τρεις άλλες :
( J2 = px
, J3 = py , J4 = pz )
σχηματίζουν το διάνυσμα της ώθησης
p , όλες ποσότητες που είναι οικείες στους φυσικούς.
...Αυτές
οι ποσότητες μπορούν να προκύψουν ως καθαρές γεωμετρικές ποσότητες, άμεσα συνδεδεμένες με την επιλεγμένη
ομάδα. Θα δείτε παρακάτω ότι ο αριθμός των ποσοτήτων που σχηματίζουν
την ορμή είναι ίσος με τη διάσταση της ομάδας.
...Τότε
ποιοι είναι οι κανόνες του παιχνιδιού που πρόκειται να παίξουμε ;
