| 14 |
Το έργο.
...Το σημείο εκκίνησής μας θα είναι μια ομάδα Dynamic G, δηλαδή μια οικογένεια τετραγωνικών πινάκων g.
...Dynamic
: γιατί εμπλέκεται ο χρόνος.
...Αυτή η ομάδα έχει μια ορισμένη διάσταση n. Μπορεί να δράσει σε έναν χώρο X, ο οποίος έχει τη δική του διάσταση (η οποία δεν έχει καμία σχέση με τη διάσταση της ομάδας, η τελευταία είναι ο αριθμός των ανεξάρτητων παραμέτρων που ορίζουν κάθε πίνακα g του συνόλου, σχηματίζοντας την ομάδα G).
...Τώρα χρειαζόμαστε μια δράση, για να ορίσουμε έναν χώρο στον οποίο δρα η ομάδα, τον χώρο ορμής της. Αυτός ο χώρος δεν είναι ο χωρόχρονος στον οποίο υποτίθεται ότι ταξιδεύουν τα σωματίδια. Η κατασκευή ενός τέτοιου χώρου θα μας πάει σε μια παράξενη χώρα, η οποία θα μοιάζει με κάποια σχιζοφρενική γη. Αλλά αν ακολουθήσετε αυτόν τον δρόμο θα είστε πιο κοντά στη φυσική πραγματικότητα από ό,τι ήσασταν ποτέ πριν.
...Όταν θα έχουμε έναν χώρο για να παίξουμε, και μια δράση για να δράσουμε, θα ταξινομήσουμε τις στιγμές-κινήσεις σε είδη και θα ταυτίσουμε τέτοια είδη με στοιχειώδη σωματίδια.
...Παραπάνω είπαμε ότι το γινόμενο μιας ομάδας με ένα διάνυσμα, που αντιστοιχεί σε SO(2) και O(2), καθώς και σε SO(3) και O(3) αντιστοιχούσε σε μια δράση :
g x
r
δηλαδή :
(166b)
Παρατηρήστε ότι θα μπορούσαμε να το γράψουμε με τον ισοδύναμο τρόπο :
(167)
Για την προσανατολισμένη Ευκλείδεια ομάδα και την πλήρη Ευκλείδεια ομάδα πρέπει να γράψουμε μια δράση :
(168)
Αλλά αυτές οι δράσεις, καθώς και οι αντίστοιχες δράσεις των ομάδων δυναμικής στον χώρο, όπως :
(169)
δίνουν ... τίποτα. Απλώς μεταφέρουν αντικείμενα στον χώρο, ή στον χωρόχρονο, ή σε πιο εκλεπτυσμένους χώρους (5-διάστατο χώρο, δεκαδιάστατο χώρο).
Πρέπει να αναζητήσουμε κάτι «κρυμμένο κάτω από την ομάδα» : τον χώρο ορμής της (όλες οι ομάδες πινάκων κατέχουν έναν) και τη
συμπροσαρτημένη δράση της στον χώρο ορμής της.
η οποία αντιστοιχεί στην πραγματική φυσική.
Τι είναι φυσική ;
...Καλή ερώτηση. Ο Γάλλος μαθηματικός Jean-Marie Souriau επινόησε την έννοια της συμπροσαρτημένης δράσης μιας ομάδας στον χώρο ορμής της και το έδειξε στις αρχές της δεκαετίας του εβδομήντα. Στη συνέχεια αυτό θα αναπτυχθεί.
...Φυσικά, ο φυσικός, στο τέλος του υπολογισμού, θα ρωτήσει
Γιατί ;
...Με άλλα λόγια, λειτουργεί, αλλά μπορούμε να δώσουμε φυσικό νόημα σε αυτή την έννοια της συμπροσαρτημένης δράσης μιας δυναμικής ομάδας στον χώρο ορμής της. Η απάντηση φαίνεται να είναι όχι.
...Φανταστείτε ότι είστε μαθητής του Αριστοτέλη. Ξαφνικά έχετε μια διαίσθηση και επινοείτε μια νέα λέξη για να την ονομάσετε :
αδράνεια.
...Ο Αριστοτέλης φτάνει. Έχει ειδοποιηθεί από άλλους μαθητές ότι έχετε επινοήσει κάτι νέο, και ρωτά ;
- Μπορείς να μας εξηγήσεις τι σημαίνει αδράνεια ;
Θα είστε ανίκανοι να το κάνετε, χρησιμοποιώντας τις λέξεις του Αριστοτέλη. Θα έχετε συναντήσει μια παραδειγματική αλλαγή.
Πηδήξτε στον Μεσαίωνα. Προσπαθήστε να εξηγήσετε μια χημική αντίδραση με το λεξιλόγιο των τεσσάρων στοιχείων. Επίσης αδύνατο...
Η συμπροσαρτημένη δράση μιας ομάδας στον χώρο ορμής της είναι μια παραδειγματική αλλαγή. Είναι μια νέα εικόνα για τη φυσική.
Στην πραγματικότητα, οι φυσικοί χειρίζονται δράσεις ομάδων όλη την ώρα όταν μιλούν για «αναλλοίωση», νόμους διατήρησης».
Ένας τέτοιος συμβατικός φυσικός θα ρωτήσει :
- Μπορείς να μου εξηγήσεις ποιο είναι το νόημα της συμπροσαρτημένης δράσης μιας ομάδας στον χώρο ορμής της, με απλά λόγια, αν είναι δυνατόν ;
Απαντάμε :
-
Γιατί χρησιμοποιείτε νόμους διατήρησης, στη φυσική ;
-
Ααα... επειδή υπάρχουν διατηρήσιμα μεγέθη : ενέργεια, μάζα, ηλεκτρικό φορτίο...
-
Γιατί διατηρούνται ;
-
Μα, είναι μια βασική αρχή ! ....
-
Αγαπητέ μου φίλε, θεώρησε τη συμπροσαρτημένη δράση μιας ομάδας στον χώρο ορμής της ως βασική αρχή.
-
Τι εννοείς ;
-
Κάθε φυσική βασίζεται σε μια δομή ομάδας. Αν ταυτίσεις την ομάδα, μπορείς να κατασκευάσεις τη συμπροσαρτημένη δράση της και τον αντίστοιχο χώρο ορμής. Τότε οι συνιστώσες της ορμής είναι τα αντίστοιχα φυσικά μεγέθη.
-
........
Προειδοποίηση. Αν είστε φυσικός (ακόμη και θεωρητικός φυσικός...) και διαβάσετε αυτό που ακολουθεί θα υποστείτε μια παραδειγματική μετάλλαξη. Μετά, η φυσική θα είναι απλώς... διαφορετική.
Δράσεις.
Τι είναι μια δράση ;
Κάτι συνδεδεμένο με μια ομάδα, το οποίο υπακούει στα ακόλουθα αξιώματα :
(170)
Φυσικά, για ομάδες πινάκων, η πράξη σύνθεσης είναι :
x
(πολλαπλασιασμός πίνακα γραμμής-στήλης)
Για ομάδες πινάκων μπορούμε να γράψουμε :
(171)
Θεωρήστε το διάνυσμα-στήλη :
(172)
όπου x, για παράδειγμα, αναπαριστά διανύσματα
(173)
Μήπως το
(174)
ταιριάζει με τα αξιώματα της δράσης ; Έστω g
και g' δύο στοιχεία της ομάδας G.
(175)
(175b)
Πρέπει να έχουμε :
(176)
Ag
( Ag'(x)) = Ag"(x)
δηλαδή :
(177)
υπό την ιδιότητα της προσεταιριστικότητας :
(178)
g" = g
x g'
είναι μια δράση ομάδας.
...Παρατηρήστε ότι βάλαμε το στοιχείο g της ομάδας G στα αριστερά. Τι συμβαίνει αν το βάλουμε στα δεξιά ; Τότε πρέπει να συνδυαστεί με έναν πίνακα-γραμμή y.
(179)
Ag(y)
= y x g
Είναι δράση ;
