| 15 |
Χρειαζόμαστε :
(180)
Ag
( Ag'(y)) = Ag"(y)
Ag(y)
= y x
g
Ag'(y)
= y x
g'
Ag
( Ag'(y)) = y x
g' x g
Αλλά :
Το γινόμενο δύο πινάκων
δεν είναι μεταθετικό, κατά γενικό κανόνα. Ως συμπέρασμα :
(181)
Ag(y)
= y x g
δεν είναι δράση ομάδας
: Δεν ικανοποιεί τα παραπάνω αξιώματα. Αλλά ικανοποιεί ένα άλλο, που αντιστοιχεί
σε μια «αντι-δράση».
(182)
Για τους πίνακες :
(183
Εξακολουθούμε να αναζητούμε
δράσεις και αντι-δράσεις. Από τον x διάνυσμα μπορούμε να κατασκευάσουμε τον
αναστραμμένο και να δοκιμάσουμε :
(184)
είναι δράση
; Ας προχωρήσουμε.
g" = g
x g'
(185)
(186)
Εδώ χρησιμοποιούμε ένα θεώρημα του γραμμικού λογισμού :
(187)
M -1
x N
= ( N x
M ) -1
όπου M και N
είναι αυθαίρετοι (n,n) πίνακες. Επομένως :
(188)
g' -1
x g-1 = ( g x
g' ) -1
= g" -1
και :
(189)
που είναι δράση
ομάδας. Θεωρήστε
τώρα :
(190)
Ag(m)
= g x mx g-1
Δείξτε ότι είναι δράση.
Θα θεωρήσουμε τους τρεις ακόλουθους πίνακες.
(191)
g
g'
g" = g
x g'
Ag(m)
= g x
m x g-1
Ag'(m)
= **g'**x
m x
g' -1
Ag"(m)
= g" x
m x
g" -1
Χρειαζόμαστε :
(192)
Ag(Ag'(m))
= Ag"(m)
Σχηματίστε το πρώτο μέλος
:
(193)
g x (g'
x m
x g'
-1) x g-1
ή :
(194)
g x
g'x
m x
g' -1
x
g -1
δηλαδή :
(195)
(g x
g') x
m x ( g
x g')-1 = g" x
m x
g" -1
Είναι δράση ομάδας.
Θα την ονομάσουμε, μετά από Souriau :
Συζυγής δράση
:
(193)
Τώρα θα εξετάσουμε μια αντι-δράση της ομάδας σε έναν πίνακα m.
(194)
AAg(m)
= g -1 x
m x
g
Δείξτε ότι ικανοποιεί :
(195)
AAg'(Ag(m))
= Ag"(m)
Σχηματίστε το πρώτο μέλος
:
(196)
g'-1 x
(g -1 x
m x
g) x
g'
ή :
(197)
g' -1
x
g -1
x
m x
g x
g'
δηλαδή :
(198)
(g x
g') -1
x
m x
( g x
g')
ή :
(199)
g" -1
x
m x
g"
