| 16 |
Χρειαζόμαστε:
Δυϊκές δράσεις.
Έχουμε κατασκευάσει, παραπάνω,
μια δράση:
(200)
μια αντι-δράση:
(201)
Η πρώτη μπορεί να αναφέρεται σε
οποιοδήποτε διάνυσμα στήλης m:
(202)
m' = g xm
και η δεύτερη σε οποιοδήποτε
διάνυσμα γραμμής n:
(203)
n' = n
x g-1
Το m ανήκει σε έναν
ορισμένο χώρο M
Το n ανήκει σε έναν άλλο
χώρο N.
Σχηματίστε το βαθμωτό μέγεθος:
(204)
S = n m
Παρατηρήστε ότι:
(205)
n' m' =
n x g-1
x g xm
...Θα
πούμε ότι οι δύο εξεταζόμενες δράσεις είναι δυϊκές. Ομοίως οι δύο χώροι
M και N, στους οποίους ανήκουν τα m και n είναι δυϊκοί χώροι:
N = M* ή M = N*
Συνήθως, λέμε ότι
αν το m είναι ένα διάνυσμα, το n είναι το συζυγές του διάνυσμα.
Το πρόθεμα co είναι χαρακτηριστικό
της δυϊκότητας. Όπως παρατήρησε ο Souriau, η δυϊκότητα υπάρχει στην πολιτική και
προσθέτει:
- Η δυϊκότητα ήταν παρούσα
στον Μαρξισμό-Λενινισμό, από την αρχή. Σκεφτείτε τον μουνιστή και τον
κομμουνιστή.
Πάρτε μια άλλη οπτική γωνία. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μία δράση, και θέλουμε να κατασκευάσουμε
τη δυϊκή της.
Σχηματικά:
(206)
...Για
να σχηματίσουμε ένα βαθμωτό γινόμενο με το διάνυσμα-στήλης m, το n
πρέπει να είναι διάνυσμα-γραμμής. Τότε αυτά τα δύο διανύσματα πρέπει να οριστούν από τον ίδιο
αριθμό βαθμωτών μεγεθών:
(207)
τότε αναζητούμε τη δυϊκή
δράση:
(208)
n' = Ag(n)
έτσι ώστε το βαθμωτό γινόμενο:
(209)
να είναι αναλλοίωτο. Πρέπει
να έχουμε:
(210)
n' m'
= n m
Έχουμε:
(211)
m' = g
x m
(212)
Ag(n)
x g
x m
= n m
της οποίας η λύση
είναι:
(213)
Ag(n)
= n x g-1
Προς την κατασκευή της
ουσιαστικής δράσης, ή συζυγούς δράσης μιας ομάδας στην ορμή της ( κατά
τον Souriau ).
Αναζητούμε μια δράση της
ομάδας στον "χώρο ορμής" της. Θα την κατασκευάσουμε ως τη δυϊκή μιας
αντι-δράσης:
(214)
AAg(m)
= g-1 x
m x g
...Στην
προηγούμενη ενότητα το m ήταν ένα διάνυσμα. Αλλά στην (214) είναι ένας πίνακας.
Θα πάρουμε έναν πίνακα, ο οποίος εξαρτάται από έναν ορισμένο αριθμό παραμέτρων:
{ m1 , m2 , . . . .
, mn }
Πρέπει να φανταστούμε ένα δυϊκό
σύνολο βαθμωτών μεγεθών:
{ n1 , n2 , . . . .
, nn }
έτσι ώστε:
(215)
Σχηματικά:
(216)
