| 17 |
Επιλογή του πίνακα m .
...Μια ομάδα G μπορεί να συγκριθεί με μια συγκεκριμένη επιφάνεια. Εξαρτάται από έναν συγκεκριμένο αριθμό παραμέτρων. Έστω P ο χώρος των παραμέτρων της ομάδας και p ένα σημείο αυτού του χώρου. Ο αριθμός αυτών των παραμέτρων pi είναι η διάσταση της ομάδας.
(217)
Εμφανίζεται: το ουδέτερο στοιχείο e (ο μοναδιαίος πίνακας 1).
Μπορούμε να δώσουμε μια增量 d p :
(218)
...Τότε παραγωγίζουμε τον πίνακα g που είναι στοιχείο της ομάδας. Λαμβάνουμε έναν τετραγωνικό πίνακα dg που δεν ανήκει στην ομάδα. Ονομάζεται «εφαπτομενικό διάνυσμα της ομάδας». Αυτά τα εφαπτομενικά διανύσματα σχηματίζουν αυτό που ονομάζεται «Άλγεβρα Lie» της ομάδας (που, παρεμπιπτόντως, δεν είναι άλγεβρα).
Επιλέξαμε να παραγωγίζουμε κοντά στο ουδέτερο στοιχείο:
(219)
και επιλέγουμε την ακόλουθη αντι-δράση:
(220)
AAg(m) = g-1 x dg(g=e) x g
Σημείωση:
Γιατί επιλέγουμε το εφαπτομενικό διάνυσμα της ομάδας στο g = 1?
...Θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε ένα πιο γενικό, ένα εφαπτομενικό διάνυσμα dg σε οποιοδήποτε σημείο της ομάδας. Θα λαμβάνουμε το ίδιο αποτέλεσμα, αλλά ο υπολογισμός θα ήταν πολύ πιο κουραστικός.
Η διάσταση της ομάδας είναι n. Ο πίνακας g εξαρτάται από n παραμέτρους { pi }.
Το στοιχείο της Άλγεβρας Lie dg(g=e) εξαρτάται από τον ίδιο αριθμό παραμέτρων {d pi }.
Ο υπολογισμός της παραπάνω αντι-δράσης θα παρέχει την απεικόνιση:
(221)
{ d pi } -----> { d pp'i }
Εισάγουμε τον ίδιο αριθμό βαθμωτών μεγεθών:
{ J i }
Ονομάζουμε αυτό το σύνολο την ορμή J της ομάδας.
J = { J i }
Είναι ένα σύνολο n ποσοτήτων, n βαθμωτών μεγεθών. Μερικές φορές μπορούμε να το βάλουμε σε έναν πίνακα (η δράση του Poincaré στην ορμή του).
{ J i } είναι το συνεφαπτομενικό διάνυσμα { d p i } του εφαπτομενικού διανύσματος της ομάδας. Η δυαδικότητα δίνει:
(222)
Από αυτή τη διατήρηση του βαθμωτού γινόμενου, αν γνωρίζουμε την απεικόνιση:
(223)
{ d p i } -----> { d p' i }
μπορούμε να κατασκευάσουμε τη δυαδική απεικόνιση:
(224)
{ J i } -----> { J 'i }
Αυτή είναι η βασική δράση που αναζητούμε, και ο Souriau την ονομάζει συνεπαραγόμενη δράση (coadjoint action) της ομάδας στον χώρο ορμής της.
Ο καλύτερος τρόπος για να illustrate αυτή η έννοια είναι να δώσουμε ένα παράδειγμα:
Συνεπαραγόμενη δράση της ομάδας Poincaré στον χώρο ορμής της Jp .
Παραπάνω, παρουσιάσαμε την γενικευμένη ομάδα Lorentz. Επιλέγοντας:
(225)
λαμβάνουμε την ομάδα Lorentz L του οποίου το στοιχείο L υπακούει στον αξιωματικό ορισμό:
(226)
Ο διάνυσμα του χώρου-χρόνου είναι
(227)
Με c = 1 λαμβάνουμε το στοιχειώδες τετραγωνικό μορφή, την μετρική Minkowski:
(228)
Ο αντίστροφος πίνακας είναι
(229)
Εισάγουμε τώρα μια μετάφραση του χώρου-χρόνου:
(230)
κατασκευάζουμε το στοιχείο gp της ομάδας Poincaré Gp ως εξής:
(231)
Άσκηση: δείξτε ότι σχηματίζει μια ομάδα και υπολογίστε τον αντίστροφο πίνακα:
(232)
Το στοιχείο της Άλγεβρας Lie είναι
(233)
και η αντι-δράση:
(234)
dgp' = gp-1 x dgp x gp
Παρατηρούμε ότι
(235)
G d L
είναι ένας αντισυμμετρικός πίνακας. Ονομάζουμε τον:
(236)
από όπου:
(237)
Έστω:
(238)
από αυτό, μπορούμε να κατασκευάσουμε την αντι-δράση:
(239)
dgp' = gp-1 x dgp x gp
που θα μας δώσει την απεικόνιση:
(240)
(240b)
(240c)
είναι η απαιτούμενη απεικόνιση:
(241)
