| 18 |
...Ένα
στοιχείο gp της ομάδας Gp του Poincaré
ορίζεται από ένα σύνολο παραμέτρων {pi}, του οποίου
ο αριθμός είναι, εξ ορισμού, η διάσταση της ομάδας. Ο πίνακας dg
(g=e) κατασκευάζεται από το σύνολο {dpi}.
Έτσι ώστε η προηγούμενη απεικόνιση να αντιστοιχεί στην αντι-δράση:
(242)
AA : {dpi}
--> {dpi'}
Για να εισαγάγουμε τη δυαδικότητα
και να κατασκευάσουμε τη δυαδική απεικόνιση, υποθέτουμε τη σταθερότητα του βαθμωτού:
(243)
Η διάσταση της
ομάδας του Poincaré είναι 10, οπότε έχουμε δέκα βαθμωτά { Ji
}, συνιστώσες της ορμής Jp.
Jp
= { J1 , J2 , J3 , J4 , J5
, J6 , J7 , J8 , J9 , J10
}
Αποφασίζουμε να το διασπάσουμε
σε δύο αντικείμενα:
(244)
Jp= { M , P }
Το πρώτο, M,
είναι ένας (4,4) αντισυμμετρικός πίνακας.
Το P είναι το τετραδιάνυσμα
(4,1)
(245)
Στη συνέχεια:
(246)
Jp=
{ M , P } = { M , p , E}
Γράψτε το βαθμωτό γινόμενο
ως:
(247)
Tr σημαίνει ίχνος. Η σταθερότητα
του βαθμωτού γινομένου δίνει
(248)
με:
(249)
(249b)
(249c)
αλλά GG = 1.
Τότε:
(250)
(250b)
(251)
δηλαδή:
(252)
(252b)
(252c)
(253)
Αυτή η συμπληρωματική δράση μπορεί να τεθεί σε μορφή πίνακα:
Το στοιχείο της
ομάδας του Poincaré είναι:
(254)
Το ανάστροφό του είναι:
(255)
Θεωρήστε τον πίνακα:
(256)
γράψτε:
(257)
(258)
(259)
το οποίο θα ταυτιστεί
με τον πίνακα:
(260)
Τότε το Jp
είναι η ορμή της ομάδας του Poincaré, τεθειμένη σε μορφή πίνακα, και
η συμπληρωματική δράση είναι:
(261)
Άσκηση: ελέγξτε ότι
αυτή είναι μια δράση.
Ο πίνακας-ορμής
αντιστοιχεί σε:
(262)
Η διαγώνιος ενός αντισυμμετρικού
πίνακα M αποτελείται από μηδενικά.
(263)
Εξαρτάται από έξι παραμέτρους.
(264)
( lx , ly
, lz , fx , fy , fz )
Ας γράψουμε τον πίνακα:
(265)
Οι τρεις τελευταίες συνιστώσες
( fx , fy , fz) σχηματίζουν αυτό που ο Souriau αποκαλεί
διάνυσμα διέλευσης f:
(266)
Οι πρώτες ( lx
, ly , lz) είναι οι ανεξάρτητες συνιστώσες ενός αντισυμμετρικού
πίνακα (3,3), τον οποίο ο Souriau αποκαλεί πίνακα σπιν.
(267)
οπότε:
(268)
Το διάνυσμα P είναι
το τετραδιάνυσμα ορμής-ενέργειας:
(269)
Τότε η ορμή της
ομάδας του Poincaré μπορεί να εκφραστεί στην πιο γενική της μορφή:
(270)
Έχει δέκα συνιστώσες:
(271)
Jp
= { E , px ,py , pz , fx ,fy
, fz , fx ,fy , fz } = { E**, p , f , l** }
