| 19 |
Σωματίδια με σπιν.
...Η ομάδα του Πουανκαρέ περιγράφει τη σχετικιστική κίνηση ενός σημειακού αντικειμένου. Παρομοίως, η ομάδα του Μπάργκμαν περιγράφει τη μη σχετικιστική κίνηση. Οι συνιστώσες της ορμής προκύπτουν ως καθαρά γεωμετρικά μεγέθη. Πρόκειται για μια γεωμετροποίηση της φυσικής.
Οι φυσικοί είναι εξοικειωμένοι με την ενέργεια E και το διάνυσμα ορμής p. Αλλά μπορεί να ξαφνιαστούν λίγο από τα δύο άλλα αντικείμενα: το «πέρασμα» f και το διάνυσμα σπιν l. Η μορφή των συνιστωσών της ορμής εξαρτάται από την επιλογή των συντεταγμένων.
...Κάθε δυναμική ομάδα κατέχει τον δικό της χώρο ορμής και τη συμπροσαρτημένη δράση σε αυτόν τον χώρο ορμής. Αν, αντί να επιλέξουμε πρώτα τον σχετικιστικό κόσμο (ομάδα του Πουανκαρέ), είχαμε επιλέξει τον μη σχετικιστικό κόσμο, θα έπρεπε να αναφερθούμε στην ομάδα του Μπάργκμαν. Για λεπτομέρειες υπολογισμού, βλέπε τις διαλέξεις μου περί ομάδων.
Η ομάδα του Μπάργκμαν είναι μια μη τετριμμένη επέκταση της ομάδας του Γαλιλαίου:
(272)
Όπως μπορεί να δει ο αναγνώστης, αυτή η ομάδα δρα σε έναν πενταδιάστατο χώρο:
r : χώρος
t : χρόνος
z : μια πρόσθετη μεταβλητή.
...Αυτά τα ζητήματα της πρόσθετης μεταβλητής ή των πρόσθετων μεταβλητών θα εξεταστούν περαιτέρω. Σε αυτόν τον ιστότοπο έχει δοθεί παραπάνω ο πλήρης υπολογισμός της συμπροσαρτημένης δράσης της ομάδας του Πουανκαρέ. Θα μπορούσε επίσης να παραχθεί ο υπολογισμός της συμπροσαρτημένης δράσης της ομάδας του Μπάργκμαν στην ορμή της. Παραδόξως, ο υπολογισμός στον μη σχετικιστικό κόσμο είναι κάπως πιο περίπλοκος από εκείνον στον σχετικιστικό κόσμο.
Το αποτέλεσμα είναι το εξής:
(273)
Ο φυσικός αναγνωρίζει κάποια οικεία αντικείμενα, όπως την ταχύτητα:
(274)
και την κινητική ενέργεια:
(275)
Το m v είναι η ορμή.
Ταχύτητα ως προς τι;
Μια ομάδα αλλάζει τις παραμέτρους της κίνησης, δίνει σε ένα σωματίδιο μια ταχύτητα v και μια κινητική ενέργεια E.
Μπορούμε να επιλέξουμε την αντίθετη ερμηνεία και να θεωρήσουμε ότι μια ομάδα είναι μια ιδιαίτερη οπτική γωνία πάνω σε κάτι, πάνω σε ένα σωματίδιο.
Αν θεωρήσουμε την ομάδα SO(3), τους πίνακες a, αυτό σημαίνει «ιδωμένο από άλλη οπτική γωνία».
Αν θεωρήσουμε την ομάδα O(3), τους πίνακες a, αυτό προσθέτει τη δυνατότητα να παρατηρήσουμε το «πράγμα» μέσα από έναν καθρέφτη.
Το διάνυσμα μετατόπισης
(276)
της ομάδας του Ευκλείδη προσθέτει το «ιδωμένο από αλλού».
Στις δυναμικές ομάδες, η παρουσία μιας ταχύτητας v στην ομάδα σημαίνει ότι ο παρατηρητής κινείται.
Η χρονική μετατόπιση e = Dt σημαίνει ότι ο παρατηρητής βλέπει το πράγμα μετά από κάποια καθυστέρηση.
Το διάνυσμα μετατόπισης Dr και η χρονική καθυστέρηση Dt μπορούν να συνδυαστούν σε ένα διάνυσμα μετατόπισης χωροχρόνου:
(277)
Κοιτάξτε τους τύπους· από την ομάδα του Μπάργκμαν βλέπουμε ότι:
m' = m
Όποια κι αν είναι η οπτική γωνία, η μάζα μένει αμετάβλητη.
Ας απλοποιήσουμε λίγο αυτή την «οπτική γωνία», επιλέγοντας a = 1.
Η συμπροσαρτημένη δράση γίνεται:
(278)
...Η συμπροσαρτημένη δράση υποδεικνύει τη μεταβολή στις παραμέτρους της κίνησης. Αν θεωρήσουμε ότι περνάμε από μια σταθερή κατάσταση σε μια μη σταθερή κατάσταση, οι αρχικές συνθήκες αντιστοιχούν σε:
E = 0 (μηδενική ενέργεια)
p = 0 (μηδενική ορμή, μηδενική ταχύτητα)
«πέρασμα» f = 0
Τότε η συμπροσαρτημένη δράση δίνει:
(279)
Το «θεωρώ» πρέπει να διαβαστεί με την ετυμολογική του σημασία.
Ένας δικαστικός επιμελητής λέει:
- Συντάσσω έκθεση αυτοψίας μετά απογραφής.
...Μια στατική (v = 0) θέαση των πραγμάτων αντιστοιχεί στην ομάδα του Ευκλείδη. Ο δικαστικός επιμελητής παρατηρεί τα πράγματα από απόσταση c. Παρατηρεί τα γεγονότα τη στιγμή που συμβαίνουν (Dt = 0). Ενδεχομένως κοιτάζει από μια ορισμένη γωνία (a διάφορο του 1).
...Ένας στρατηγός, που πετά πάνω από ένα πεδίο μάχης με αεροπλάνο, είναι κάτι σαν δικαστικός επιμελητής, ο οποίος παρατηρεί τα πράγματα από μια κινούμενη οπτική γωνία (από ένα αεροπλάνο που πετά με ταχύτητα v).
...Αλλά ένας στρατηγός, στο αρχηγείο του, κοιτάζοντας μια ταινία που τράβηξε ένα μη επανδρωμένο αεροπλάνο, ένα drone, μερικές ώρες νωρίτερα, λέει:
- Θεωρώντας τον στόχο όπως ήταν μία ώρα νωρίτερα (μη μηδενικό Dt), ιδωμένο από ένα κινούμενο σημείο παρατήρησης (μη μηδενικό v), από ύψος πέντε χιλιάδων ποδιών (μη μηδενικό c), που πετά με ταχύτητα v και φωτογραφίζει μέσα από μια ορισμένη γωνία (a διάφορο του 1).
...Ένας στόχος δεν έχει καθορισμένη ταχύτητα, ούτε θέση, ούτε προσανατολισμό, ακόμη κι αν υποτίθεται ότι είναι ένα «ακίνητο» κτίριο. Όλα είναι σχετικά. Ακόμη και η Γη, ο Ήλιος, ο γαλαξίας μας κινούνται μέσα στο διάστημα.
...Ο «βόρειος πόλος» της Γης διαφέρει από τον «βόρειο πόλο του Ήλιου» κατά 23°, και αλλάζει με τον χρόνο (26.000 χρόνια), λόγω της μετάπτωσης των ισημεριών. Ο βορράς που υποδεικνύει ο ήλιος (ο δικός του άξονας περιστροφής) δεν είναι ο βορράς που υποδεικνύει ο γαλαξίας μας, ο Γαλαξίας, ο οποίος έχει τη δική του περιστροφική κίνηση (χάσμα 90°). Ακόμη και ένας γαλαξίας κινείται, με τριακόσια μίλια την ώρα. Ως προς τι; Ως προς τους άλλους. Αυτό είναι το μόνο που μπορούμε να πούμε.
Η ομάδα αντιστοιχεί σε δύο διαφορετικές οπτικές γωνίες.
...Αν θεωρήσω ότι το αντικείμενο είναι σταθερό, ακίνητο στον χώρο και στον χρόνο, και δεν έχει περιστροφική κίνηση, το μόνο που μπορώ να πω είναι:
- Αν απομακρυνθώ σε απόσταση c.
- Αν παρατηρήσω το πράγμα, ενώ πετώ με ταχύτητα v.
- Αν η πληροφορία, που έρχεται από αυτό το πράγμα, με φτάσει με χρονική καθυστέρηση Dt.
Ως προς εμένα:
---> Η μάζα του αντικειμένου δεν μεταβάλλεται.
----> Δίνω στο αντικείμενο μια ορμή mv, θεωρούμενη ως φαινόμενη.
-----> Το αντικείμενο αποκτά ένα «πέρασμα» f = m [ c - v Dt ]
----> Αποκτά ένα σπιν
(279b)
Γράψτε το με πιο σαφή τρόπο:
(280)
(281)
(282)
ή:
(283)
Κανείς μπορεί να θεωρήσει τις τρεις ανεξάρτητες συνιστώσες του πίνακα σπιν l ως συνιστώσες ενός διανύσματος:
(283b)
...Αν και το διανυσματικό γινόμενο δεν έχει οριστεί στον χώρο μας, δηλαδή: δεν δώσαμε στον χώρο προσανατολισμό δεξιά-αριστερά, μπορούμε να θεωρήσουμε την τελευταία έκφραση ως διανυσματικό γινόμενο.
(284)
...Το ανεστραμμένο v υποδεικνύει το διανυσματικό γινόμενο. Βλέπουμε ότι η τελευταία γραμμή των τύπων που δίνουν τη συμπροσαρτημένη δράση αντιστοιχεί σε:
(285)
Το l είναι πίνακας, όχι διάνυσμα. Αλλά, σύμφωνα με τον επιλεγμένο συμβολισμό, τα έντονα γράμματα υποδεικνύουν αδιακρίτως πίνακα ή διάνυσμα.
Αυτό το διάνυσμα αρχίζει να μοιάζει με κάτι οικείο στον φυσικό: τη στροφορμή.
