| 24 |
Η ειδική ομάδα του Γαλιλαίου.
...Ο αναγνώστης θα βρει αυτή την επέκταση στο βιβλίο του Souriau: Structure of Dynamical Systems, Birkhasuer Ed. 1997 και, στα γαλλικά, Structure des Systèmes Dynamiques, Ed. Dunod 1973.
...Μια ομάδα μπορεί να επεκταθεί. Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός των παραμέτρων από τις οποίες εξαρτάται θα αυξηθεί. Υπολογίστε τον αριθμό των παραμέτρων από τις οποίες εξαρτάται η ομάδα του Γαλιλαίου. Ξεκινάμε από τον πίνακα στροφής 3D:
(322)
Είναι ένας ορθογώνιος πίνακας:
(323)
αυτοί οι πίνακες σχηματίζουν την ομάδα SO(3) η οποία είναι υποομάδα της ομάδας O(3) που αποτελείται από όλους τους ορθογώνιους πίνακες. Έχουμε:
(324)
Θυμηθείτε τη διαφορά με:
(325)
(325b)
είναι οι πιο γενικοί ορθογώνιοι πίνακες, των οποίων οι ορίζουσες υπακούουν:
(326)
Τέλος αυτής της παρένθεσης.
Η επόμενη ομάδα τετραγωνικών πινάκων (5,5) θα ονομαστεί ειδική ομάδα του Γαλιλαίου:
(327)
Ο πίνακας στροφής εξαρτάται από τρεις ελεύθερες παραμέτρους, τις γωνίες Euler. Έτσι η διάσταση της ομάδας είναι δέκα.
Χρησιμοποιώντας τους συμβολισμούς:
(328)
παίρνουμε:
(329)
Συνδεδεμένη με το διάνυσμα χωροχρόνου:
(330)
έτσι ώστε η αντίστοιχη δράση της Ειδικής Ομάδας του Γαλιλαίου είναι:
(331)
...Δεδομένης της Ειδικής Ομάδας του Γαλιλαίου, είναι δυνατόν να υπολογιστεί η δράση της ομάδας στον χώρο ορμής της. Ο υπολογισμός δεν θα δοθεί εδώ. Ο αναγνώστης μπορεί να τον βρει στις διαλέξεις μου περί ομάδων, που είναι διαθέσιμες.
Ας δώσουμε το αποτέλεσμα:
(332)
Αναγνωρίζουμε την ορμή p και την ενέργεια E. Η ορμή αποτελείται από:
(333)
JSG
= { E , p , f , l }
...Δέκα βαθμωτά μεγέθη. Δέκα διαστάσεις για την ομάδα. Έχουμε ακόμη το διάνυσμα μετάβασης f και τον αντισυμμετρικό πίνακα spin l (που αποτελείται από τρεις ανεξάρτητες συνιστώσες lx , ly , lz , που σχηματίζουν το "διάνυσμα spin").
Η τετριμμένη επέκταση της Ειδικής Ομάδας του Γαλιλαίου.
Οι επόμενοι πίνακες σχηματίζουν μια νέα ομάδα.
(334)
Εισάγει μια νέα συνιστώσα f, μια βαθμωτή, τη "φάση" (συνδεδεμένη με τον κβαντικό κόσμο). Η διάσταση της ομάδας γίνεται
10 + 1 = 11
Αυτή η νέα ομάδα δρα σε ένα πενταδιάστατο χώρο:
(335)
Το z είναι μια "πρόσθετη διάσταση". Εισήχθη για πρώτη φορά από τον Πολωνό Kaluza, το 1921, και στη συνέχεια από τον J.M.Souriau, το 1964 (Géométrie et relativité Hermann Editeur, μη μεταφρασμένο στα αγγλικά).
Και εδώ, μπορεί κανείς να υπολογίσει την αντίστοιχη συμπροσαρτημένη δράση της ομάδας στον χώρο ορμής της. Βρίσκουμε αυτό:
(336)
Η ορμή γίνεται:
(337)
JTESG
= { m , E , p , f , l }
...Έχουμε ένα ακόμη βαθμωτό μέγεθος m και το ταυτίζουμε με τη μάζα. Βλέπουμε ότι η Ειδική Ομάδα του Γαλιλαίου, δρώντας στον χωροχρόνο, φέρνει την ενέργεια, αλλά όχι τη μάζα, ως συνιστώσα της ορμής. Την παρούσα στιγμή (μέσω τετριμμένης επέκτασης) το σωματίδιό μας αποκτά ένα πρόσθετο χαρακτηριστικό, το οποίο ταυτίζεται με τη μάζα, πολύ αυθαίρετα, και το οποίο δεν αλληλεπιδρά με τις άλλες συνιστώσες της ορμής.
