| 25 |
Μη τετριμμένη επέκταση της Ειδικής Ομάδας Γαλιλαίου.
Η Ομάδα Bargmann (1960)
Οι ακόλουθες πίνακες
(βλ. τις διαλέξεις μου για τις ομάδες)
(338)
αποτελούν μια ομάδα, που ανακαλύφθηκε από τον Bargmann το 1960. Εδώ, και πάλι, δρά σε έναν πενταδιάστατο χώρο. Η διάστασή της είναι 11, λόγω της παρουσίας του βαθμωτού f. Είναι μια μη τετριμμένη επέκταση της Ειδικής Ομάδας Γαλιλαίου.
(339)
Αν υπολογίσει κανείς τη συζυγή δράση της ομάδας στην ορμή της, λαμβάνει:
(340)
...Βλέπουμε ότι αυτή η συζυγής δράση είναι πιο λεπτή και ότι η μάζα αλληλεπιδρά με τα άλλα στοιχεία της ορμής. Το αναλύσαμε παραπάνω και δείξαμε πώς αυτό αποδίδει τη φυσική σημασία των στοιχείων της ορμής.
...Η ορμή είναι μια κίνηση ενός δεδομένου σωματιδίου. Η Ομάδα Bargmann περιγράφει μη σχετικιστικές κινήσεις. Μπορούμε να θεωρήσουμε ένα σωματίδιο σε ηρεμία, χωρίς ενέργεια, χωρίς ορμή, χωρίς σπιν. Μόνο μια μη μηδενική μάζα:
m
p = 0
E = 0
f = 0
l = 0
Χρησιμοποιούμε το ακόλουθο στοιχείο της Ομάδας Bargmann:
(341)
Τα στοιχεία της ορμής γίνονται:
(342)
...Σε ένα σύστημα συντεταγμένων συνδεδεμένο με το σωματίδιο, η μεταβατική ποσότητα f παραμένει μηδέν. Έδειξαν ότι ο πίνακας σπιν ταυτίζεται με την κινητική ορμή.
...Εδώ, το σημαντικό είναι να εξετάσουμε την τετριμμένη επέκταση της Ειδικής Ομάδας Γαλιλαίου (γιατί «ειδική»; Αυτό θα εξηγηθεί περαιτέρω). Όταν εκτελείται αυτή η τετριμμένη επέκταση, προσθέτει απλώς ένα επιπλέον βαθμωτό στην ορμή.
Ας επεκτείνουμε την Ομάδα Poincaré:
Κεντρική επέκταση της Ομάδας Poincaré.
(343)
«ep» σημαίνει «επεκτεταμένη Ομάδα Poincaré». Lo είναι το στοιχείο της ορθόχρονης υπο-ομάδας Lo της πλήρους Ομάδας Lorentz L. Έτσι, μπορούμε να θεωρήσουμε το παραπάνω στοιχείο ως την ορθόχρονη υπο-ομάδα Gepo μιας πλήρους επεκτεταμένης Ομάδας Poincaré, του οποίου το στοιχείο είναι:
(344)
Τα δύο δρουν σε έναν πενταδιάστατο χώρο:
(345)
( t , x , y , z , z ).
Μπορεί να δείξει ότι αυτή η επέκταση δεν μπορεί να έχει μη μηδενικούς όρους στην πρώτη γραμμή, αντί για 0 = ( 0 0 0), μεταξύ 1 και f.
...Όπως έδειξε ο J.M.Souriau, η μέθοδος γεωμετρικής κβάντωσης (μέθοδος Kostant-Kirilov-Souriau) οδηγεί στην εξίσωση Schrödinger από την Ομάδα Bargmann και στην εξίσωση Klein-Gordon από την επεκτεταμένη Ομάδα Poincaré (Structure des Systèmes Dynamiques, Dunod Ed. 1972). Επιπλέον, αυτή η κεντρική επέκταση της ομάδας προσθέτει ένα επιπλέον βαθμωτό στην ορμή (όπως στην τετριμμένη επέκταση της Ομάδας Bargmann):
(346)
Jep= { c , M , P } = { c , Jp }
Jp represents
the calssical Poincaré's momentum. Then the coadjoint action of the
momentum simply becomes :
(347)
Ο υπολογισμός δεν είναι πολύπλοκος και είναι παρόμοιος με αυτόν που παρουσιάστηκε παραπάνω. Υπολογίζεται η αντι-δράση:
(348)
Στη συνέχεια, η δυαδικότητα εκφράζεται μέσω της σταθερότητας του ακόλουθου βαθμωτού:
(349)
...Έτσι, λαμβάνουμε ένα επιπλέον βαθμωτό c, το οποίο διατηρείται απλώς μέσω της συζυγούς δράσης. Εφόσον τώρα αυτό το βαθμωτό δεν είχε λάβει φυσική ερμηνεία. Θα διευκρινίσουμε όλα αυτά στο επόμενο. Προφανώς, μπορούμε να επεκτείνουμε την ομάδα όσο φορές θέλουμε:
(350)
Κάθε φορά, προσθέτει ένα επιπλέον βαθμωτό
(351)
Jpe
= { c 1 , c 2 , c 3 ....., M , P }
Jpe
= { c 1 , c 2 , c 3 ....., Jp }
και η συζυγής δράση γίνεται:
(352)
Ο αναγνώστης θα πει « well, why don't we add 57 new scalars ? »
Απλώς προσθέστε έξι και ταυτίστε αυτά τα νέα βαθμωτά με
(353)
c 1 = q (ηλεκτρικό φορτίο)
c 2 = cB (βαρυονικό φορτίο)
c 3 = cL (λεπτονικό φορτίο)
c 4 = cm (μιονικό φορτίο)
c 5 = ct (ταυονικό φορτίο)
c 6 = v (γυρομαγνητικός συντελεστής)
Η ομάδα δρά στον ακόλουθο δεκαδιάστατο χώρο:
(354)
( x , y , z , t , z
1 , z 2 , z3 , z 4
, z 5 , z6 )
δηλαδή: χωρο-χρόνος συν έξι επιπλέον διαστάσεις.
(355)
Θυμηθείτε ότι αυτή η ομάδα κατασκευάζεται με την ορθόχρονη υπο-ομάδα
Lo = Ln(ουδέτερο συστατικό) U Ls (που实现space-inversion)
of the complete Lorentz
group L.
The momentum becomes
:
(356)
Jpe
= { q , cB , cL , cm , ct ,
v , Jp }
Jp
being the part of the moment corresponding to the Poincaré's group
Gop (orthochron sub-group).
What is the physical
meaning ?
...A
momentum belongs to a space, which is a n-manifold. The Poincaré's
group owns ten dimensions, so that the Poincaré's group momentum is
composed by ten quantities.
Then
we add six more dimensions to the group, corresponding to the additional phasis
:
(357)
f1 ,f2
,f3 ,f3 ,f5 ,f5
The momentum becomes
:
(358)
Jpe
= { J1, J2 J3, J4, J5,
J6, J7, J8, J9, J10,
J11, J12, J13, J14, J15,
J16 }
We decide that amon te
set of scalars
(359)
Jp
= { J7, J8, J9, J10, J11,
J12, J13, J14, J15, J16
}
we identify the energy
E, the momentum p, the passage f , the spin antisymmetric matrix
l .
...E
and p may take all possible values, but quantum arguments impose the
constancy of the modulus s of the spin vector (in a system of coordonates
linked to the particle), which is not justified here and corresponds to Souriau's
work.
We have six more scalars
:
(360)
J1, J2
J3, J4, J5, J6
...We
decide that, among an infinity of possible choices, some discrete choices
correspond to real particles (and anti-particles). Then, in the 16-manifold
corresponding to the momentum space we select discrete movements corresponding
to particules, with defined quantum numbers
(361)
{ q , cB ,
cL , cm , ct , v }
...For
the moment the coadjoint action of the group just ensures the conservation
of these quantities, along given movements. There are "passive quantum numbers"
as well as the mass appeared as a passive quantity, when arising from the
trivial extension of the Special Galileo's group.
