| 2 |
3 - Τρίτο αξίωμα των ομάδων: Κάθε στοιχείο πρέπει να διαθέτει αντίστροφο, συμβολιζόμενο ως g-1, που ορίζεται ως:
g x g-1 = g-1 x g = 1
Στο παράδειγμά μας, αυτό γράφεται:
δηλαδή b = - a ή:
g-1 ( a ) = g( - a )
...Εδώ, ο υπολογισμός του αντίστροφου πίνακα φαινόταν ως κάτι προφανές. Αλλά δεν είναι πάντα έτσι, μακριά από αυτό. Τι απαιτείται για να έχει κάθε πίνακας του εξεταζόμενου συνόλου αντίστροφο, δηλαδή να είναι αντιστρέψιμος; Απαιτείται και αρκεί η ορίζουσα του να είναι μη μηδενική (και παραπέμπουμε τον αναγνώστη στο μάθημα γραμμικής άλγεβρας). Ένα θεώρημα λέει ότι η ορίζουσα ενός γινόμενου πινάκων είναι ίση με το γινόμενο των οριζουσών αυτών. Ο ίδιος ορισμός της ορίζουσας κάνει την ορίζουσα ενός διαγώνιου πίνακα ίση με το γινόμενο των όρων που τον αποτελούν. Για παράδειγμα:
Συνεπώς: η ορίζουσα όλων των μοναδιαίων πινάκων 1 είναι 1. Άρα:
det ( g ) που πολλαπλασιάζει det ( g-1) ισούται με τη μονάδα ≠ 0
Συνεπώς: ένας πίνακας με μηδενική ορίζουσα δεν μπορεί να έχει αντίστροφο, κάτι που θα αντίβαινε τον ορισμό του. Επιπλέον:
4 - Τέταρτο αξίωμα των ομάδων: η πράξη σύνθεσης πρέπει να είναι προσεταιριστική:
( g1 x g2 ) x g3 = g1 x ( g2 x g3 )
Αυτό ισχύει πάντα....
Διαστάσεις μιας ομάδας:
...Μια μικρή παρένθεση για τη διάσταση μιας ομάδας (πινάκων), που δεν έχει καμία σχέση με την τάξη των πινάκων που την αποτελούν ή με τον αριθμό των ποσοτήτων που αποτελούν τον «χώρο στον οποίο δρα αυτή η ομάδα» (για παράδειγμα ο δισδιάστατος χώρος (x,y) ή ο τετραδιάστατος χώρος-χρόνος (x,y)).
...Έχουμε εδώ ένα παράδειγμα μιας οικογένειας τετραγωνικών πινάκων με μία μόνο παράμετρο a, η οποία τυχαίνει να σχηματίζει ομάδα. Θα βρείτε παρακάτω ομάδες αποτελούμενες από τετραγωνικούς πίνακες ορισμένους από n παραμέτρους: έξι, δέκα, δεκαέξι, οτιδήποτε.
Ο αριθμός των παραμέτρων που χρησιμοποιούνται για τον ορισμό των τετραγωνικών πινάκων της ομάδας θα ονομαστεί διάσταση της ομάδας.
Έχουμε εδώ μια ομάδα αποτελούμενη από μια οικογένεια πινάκων με μία παράμετρο a. Η διάσταση αυτής της ομάδας είναι 1.
Σημειώνουμε παρεμπιπτόντως ότι:
Σημείωση:
...Οι ομάδες, και οι ομάδες που μας ενδιαφέρουν εδώ, δεν είναι αυτόματα μεταθετικές. Μάλιστα, αυτό είναι η εξαίρεση. Τυχαίνει η παράδειγμα-ομάδα μας να είναι μεταθετική:
...Θα αναγνωρίσετε σε αυτή την ομάδα τους πίνακες περιστροφής 2D γύρω από έναν σταθερό άξονα. Στην «πραγματικότητα» αυτή η πράξη είναι «προφανώς μεταθετική». Περιστροφή γύρω από έναν άξονα:
- Πρώτα κατά γωνία a, και μετά κατά γωνία b
ή:
- Πρώτα κατά γωνία b, και μετά κατά γωνία a
οδηγεί στο ίδιο αποτέλεσμα.
Θα μου πείτε: «φυσιολογικό. Οι ομάδες περιστροφών είναι ουσιαστικά μεταθετικές».
...Λάθος. Αυτή είναι μια ιδιότητα του 2D. Στο 3D, δεν ισχύει πια. Θεωρήστε μια συγκεκριμένη ομάδα, αποτελούμενη από το σύνολο των περιστροφών γύρω από τρεις ορθογώνιους άξονες (OX, OY, OZ).
Άσκηση: θα δείξετε, παίρνοντας ένα αντικείμενο και υποβάλλοντάς το σε:
- Πρώτα περιστροφή +90° γύρω από τον OX
- Μετά περιστροφή +90° γύρω από τον OZ
και τις ίδιες περιστροφές, αλλά σε αντίστροφη σειρά, ότι δεν καταλήγετε στο ίδιο αποτέλεσμα. Αυτή η πράξη είναι μη-μεταθετική.
Δράση μιας ομάδας.
...Μια ομάδα G αποτελείται από ένα σύνολο τετραγωνικών πινάκων. Μπορούμε ήδη να θεωρήσουμε ότι δρα στον εαυτό της (δείτε παρακάτω τα αξιώματα που ορίζουν μια δράση ομάδας, βασική έννοια).
...Η παράδειγμα-ομάδα μας μπορεί επίσης να δρα στα σημεία ενός «χώρου 2D». Θα λέμε ότι τους περιστρέφει. Μια ομάδα είναι φτιαγμένη για μεταφορά, αλλά μεταφέρει τι ακριβώς;
...Λοιπόν, ακριβώς αυτό δεν είναι το σημαντικό. Παραθέτοντας το έργο του «Γραμματική της Φύσης», θα πούμε, με τον J.M. Souriau, ότι:
Ο τρόπος μεταφοράς είναι πιο σημαντικός από αυτό που μεταφέρεται.
Στην περίπτωση της παράδειγμα-ομάδας μας, οι πίνακες δρουν σε έναν χώρο 2D (x,y), και μπορούμε να γράψουμε την αντίστοιχη δράση
Αν θέσουμε (πίνακα-στήλη):
τότε η δράση γράφεται απλά:
g x r
...Σε αυτή την ειδική περίπτωση, η δράση της ομάδας μας στον χώρο (x,y) ταυτίζεται με τον πολλαπλασιασμό πινάκων. Αλλά θέλουμε να δείξουμε ότι πρόκειται μόνο για μια ειδική δράση και ότι η έννοια της δράσης, θεμελιώδης στη φυσική, είναι πολύ πιο γενική.
Επιστροφή στον υπο-πίνακα περιεχομένων «Ομάδες και φυσική»
