ομάδες και φυσική δράση συζυγούς ορμής
| 1 |
|---|
...Ό,τι θα ακολουθήσει σ' αυτό τον τομέα θα περιστρέφεται γύρω από τις ομάδες. Μπορούμε να δώσουμε μια ευφυή εικόνα αυτού του τμήματος, χωρίς να παράγουμε ένα πλήρες μάθημα για τις ομάδες; Επιπλέον, ποια σχέση υπάρχει μεταξύ ομάδας και σωματιδίων; Όλα αυτά φαίνονται πολύ μυστηριώδη για έναν αρχάριο.
...Πρώτα, τι είναι μια ομάδα; Σε ό,τι θα ακολουθήσει, θα είναι μια απλή οικογένεια τετραγωνικών πινάκων διαστάσεων (n,n). Η πράξη που επιτρέπει την ενέργεια των ενός πάνω στο άλλο είναι η πολλαπλασιασμός πινάκων (γραμμή-στήλη).
Όλες αυτές οι οικογένειες πινάκων θα διαθέτουν πάντα ένα ουδέτερο στοιχείο, της μορφής:
...Μια ομάδα ακολουθεί φυσικά αξιώματα, εκείνα του Sophus Lie. Τα αξιώματα των ομάδων είναι γενικότερα από τα αξιώματα των πινάκων, αλλά για εμάς θα υπάρχουν μόνο ομάδες τετραγωνικών πινάκων, συνδεδεμένες με μια πράξη σύνθεσης που να είναι ο κλασικός πολλαπλασιασμός γραμμή-στήλη, συμβολιζόμενος με x.
1 - Πρώτο αξίωμα των ομάδων. Υπάρχει μια πράξη σύνθεσης, που επιτρέπει την σύνθεση δύο στοιχείων ενός συνόλου, και αυτή η νόμος σύνθεσης, ως προς αυτό το σύνολο, είναι εσωτερική, δηλαδή, στην περίπτωση του πολλαπλασιασμού πινάκων:
Έστω g1 και g2 στοιχεία ενός συνόλου τετραγωνικών πινάκων G. Με τη σύνθεσή τους παίρνουμε έναν τετραγωνικό πίνακα:
g3 = g1 x g2
Είναι απαραίτητο να είναι ο πίνακας αυτός μέλος του συνόλου G, του ίδιου τύπου, δηλαδή:
...Θα μου πεις: "Οι τετραγωνικοί πίνακες διαστάσεων (2,2): δύο γραμμές, δύο στήλες, ή (5,5): πέντε γραμμές, πέντε στήλες, ικανοποιούν αυτό το κριτήριο, επειδή g3 = g1 x g2 είναι πίνακας της ίδιας διάστασης."
Αλλά αυτό το σύνολο είναι .... πολύ μεγάλο, πολύ ασαφές. Δεν θα μπορέσεις να κάνεις τίποτα με αυτό, και βέβαια όχι φυσική. Και επιπλέον δεν ικανοποιεί από πρώτη όψη τα αξιώματα που ακολουθούν. Δες παρακάτω.
Δώστε ένα απλό παράδειγμα ενός συνόλου πινάκων, με ένα παράμετρο a, που αποτελεί ομάδα:
Συνθέστε δύο πίνακες αυτής της μορφής:
ή:
g(a) x g(b) = g( g ) = g( a + b)
Ο πίνακας γινόμενο μπορεί να γραφτεί ως:
Είναι φυσικά της ίδιας μορφής με g1 και g2. Δηλαδή:
Αντιπαράδειγμα. Θεωρήστε μια άλλη οικογένεια πινάκων με ένα παράμετρο a
Συνθέστε δύο πίνακες αυτής της μορφής:
Ο πίνακας που προκύπτει δεν είναι της μορφής (5). Όπως θα έλεγε ο Magritte: "Αυτό δεν είναι μια ομάδα". Αρκεί να αλλάξεις ένα σημείο.
2 - Δεύτερο αξίωμα των ομάδων:
Πρέπει να υπάρχει ένα ουδέτερο στοιχείο, συμβολιζόμενο με e, τέτοιο ώστε:
g "συνθετικό" e = e "συνθετικό" g = g
...Στους τετραγωνικούς πίνακες, αυτό το ουδέτερο στοιχείο είναι πάντα ο μοναδιαίος πίνακας, συμβολιζόμενος με 1, με παχύ χαρακτήρα: από τώρα και στο εξής θα συμβολίζουμε όλους τους πίνακες μας και γενικά ό,τι δεν είναι σκαλάριο με παχύ χαρακτήρα, αφήνοντας τους λεπτούς χαρακτήρες για τα σκαλάρια. Αυτό θα γραφόταν, με αυτές τις προϋποθέσεις:
g x 1 = 1 x g = g
Στο παράδειγμά μας:
Θα προσέξουμε ενδεχομένως ότι: