ομάδες και φυσική συζυγής ενέργεια ορμής
| 2 |
|---|
3 - Τρίτο αξίωμα των ομάδων: Κάθε στοιχείο πρέπει να διαθέτει αντίστροφο, συμβολιζόμενο ως g⁻¹, που ορίζεται από:
g × g⁻¹ = g⁻¹ × g = 1
Στο παράδειγμά μας, αυτό γράφεται:
δηλαδή b = -a ή:
g⁻¹(a) = g(-a)
...Εδώ, η υπολογισμός του αντίστροφου πίνακα έφερε στην εμφάνιση μιας φυσικής λύσης. Αλλά αυτό δεν συμβαίνει πάντα, καθόλου. Τι απαιτείται για να έχει κάθε πίνακας του συνόλου που εξετάζουμε αντίστροφο, δηλαδή να είναι αντιστρέψιμος; Απαιτείται και επαρκεί ότι το ορίζουσα του είναι μη μηδενικό (και αναφέρουμε τον αναγνώστη στο μάθημα γραμμικής άλγεβρας). Ένα θεώρημα λέει ότι το ορίζουσα ενός γινομένου πινάκων είναι ίσο με το γινόμενο των οριζουσών αυτών. Η ίδια η ορισμός της ορίζουσας κάνει ώστε η ορίζουσα ενός διαγώνιου πίνακα να είναι ίση με το γινόμενο των στοιχείων που τον αποτελούν. Για παράδειγμα:
Συνέπειες: Η ορίζουσα κάθε μοναδιαίου πίνακα 1 είναι 1. Άρα:
det(g) που πολλαπλασιάζεται με det(g⁻¹) ισούται με τη μονάδα ¹ 0
συνέπεια: Ένας πίνακας με μηδενική ορίζουσα δεν μπορεί να διαθέτει αντίστροφο, κάτι που θα είχε ως αποτέλεσμα αντίφαση με τον ορισμό. Επιπλέον:
4 - Τέταρτο αξίωμα των ομάδων: Η πράξη σύνθεσης πρέπει να είναι προσεταιριστική:
(g₁ × g₂) × g₃ = g₁ × (g₂ × g₃)
Αυτό είναι πάντα αληθές....
Διάσταση μιας ομάδας:
...Μια μικρή διευκρίνιση για τη διάσταση μιας ομάδας (πινάκων), που δεν έχει καμία σχέση με την τάξη των πινάκων που την αποτελούν ή με τον αριθμό των ποσοτήτων που σχηματίζουν το "χώρο στον οποίο δρα η ομάδα" (π.χ. ο χώρος (x,y) με δύο διαστάσεις ή ο χωροχρόνος (x,y) με τέσσερις διαστάσεις).
...Έχουμε εδώ ένα παράδειγμα μιας οικογένειας τετραγωνικών πινάκων με ένα μόνο παράμετρο a, η οποία είναι συγκεκριμένα μια ομάδα. Θα βρεθούν παρακάτω ομάδες που αποτελούνται από τετραγωνικούς πίνακες που ορίζονται από n παραμέτρους: έξι, δέκα, δεκαέξι, οποιοδήποτε.
Ο αριθμός των παραμέτρων που χρησιμοποιούνται για τον ορισμό των τετραγωνικών πινάκων της ομάδας θα ονομάζεται διάσταση της ομάδας.
Έχουμε εδώ μια ομάδα που αποτελείται από μια οικογένεια πινάκων με ένα παράμετρο a. Η διάσταση αυτής της ομάδας είναι 1.
Παρατηρήστε επίσης ότι:
Παρατήρηση:
...Οι ομάδες, και ειδικότερα οι ομάδες που μας ενδιαφέρουν εδώ, δεν είναι αυτόματα αντιμεταθετικές. Αυτό είναι σχεδόν η εξαίρεση. Προκύπτει ότι η ομάδα-παράδειγμά μας είναι αντιμεταθετική:
...Θα αναγνωρίσετε σε αυτή την ομάδα τους πίνακες περιστροφής 2D γύρω από ένα σταθερό άξονα. Στην "πραγματικότητα", αυτή η πράξη είναι "φυσικά αντιμεταθετική". Να περιστρέψεις γύρω από έναν άξονα:
- Πρώτα κατά γωνία a, και μετά κατά γωνία b
ή:
- Πρώτα κατά γωνία b, και μετά κατά γωνία a
οδηγεί στο ίδιο αποτέλεσμα.
Θα μου πείτε: "φυσικό. Οι ομάδες περιστροφής είναι κυρίως αντιμεταθετικές".
...Λάθος. Αυτή είναι μια ιδιότητα του 2D. Στο 3D δεν ισχύει πια. Θεωρήστε μια συγκεκριμένη ομάδα, που αποτελείται από το σύνολο των περιστροφών γύρω από τρεις κάθετους άξονες (OX, OY, OZ).
Άσκηση: Θα δείξετε, παίρνοντας ένα αντικείμενο και εφαρμόζοντας:
-
Πρώτα μια περιστροφή +90° γύρω από το OX
-
Μετά μια περιστροφή +90° γύρω από το OZ
και στη συνέχεια τις ίδιες περιστροφές, αλλά με αντίστροφη σειρά, ότι δεν θα φτάσετε στο ίδιο αποτέλεσμα. Αυτή η πράξη δεν είναι αντιμεταθετική.
Ενέργεια μιας ομάδας.
...Μια ομάδα G αποτελείται από ένα σύνολο τετραγωνικών πινάκων. Μπορούμε ήδη να θεωρήσουμε ότι δρα επάνω στον εαυτό της (βλέπε παρακάτω τα αξιώματα που ορίζουν μια ενέργεια ομάδας, έννοια καθοριστική).
...Η ομάδα-παράδειγμά μας μπορεί επίσης να δράσει στα σημεία ενός "2δ χώρου". Θα λέμε ότι τα περιστρέφει. Μια ομάδα είναι φτιαγμένη για να μεταφέρει, αλλά τι ακριβώς μεταφέρει;
...Εντάξει, ακριβώς αυτό δεν είναι το σημαντικό. Αναφέροντας το έργο του "Γραμματική της Φύσης", θα πούμε, με τον J.M. Souriau:
Η μέθοδος μεταφοράς είναι καλύτερη από το πράγμα που μεταφέρεται.
Στην περίπτωση της ομάδας-παραδείγματός μας, οι πίνακες δρουν σε ένα 2δ χώρο (x,), και μπορούμε να γράψουμε την αντίστοιχη ενέργεια
Αν θέσουμε (στήλη πίνακα):
τότε η ενέργεια γράφεται απλά:
g × r
...Σε αυτή την περίπτωση, η ενέργεια της ομάδας μας στον χώρο (x,y) ταυτίζεται με τον πολλαπλασιασμό πινάκων. Αλλά θέλουμε να δείξουμε ότι αυτή είναι μόνο μια ειδική περίπτωση και ότι η έννοια της ενέργειας, βασική στη φυσική, είναι πολύ γενικότερη.