ομάδες και φυσική απεικόνιση ομάδας ορμή
| 3 |
|---|
Ομάδα Μεταφορών:
...Ας θεωρήσουμε τον 2διάστατο χώρο (x,y). Σ' αυτόν τον χώρο, μια μεταφορά αντιστοιχεί στο ζεύγος των αριθμών (Dx, Dy) και συνήθως γράφουμε
x' = x + Dx y' = y + Dy
Χρησιμοποιούμε τότε την πρόσθεση. Μπορούμε να κάνουμε κάτι ώστε να κωδικοποιήσουμε τη μεταφορά με μια ... πολλαπλασιαστική διαδικασία;
Ας θεωρήσουμε τους πίνακες:
και την απεικόνιση της ομάδας:
Παρατηρούμε ότι δεν πρόκειται πλέον για την απλή πολλαπλασιαστική πράξη
g x r
αλλά για την απεικόνιση της ομάδας:
Στην παρούσα περίπτωση μπορούμε να θεωρήσουμε τις μεταφορές σε τρεις, τέσσερις διαστάσεις και περισσότερες:
Η αντίστοιχη απεικόνιση της ομάδας είναι τότε:
...Επίσης το σύνολο των μεταφορών είναι αντιμεταθετικό και το ουδέτερο στοιχείο είναι "η μηδενική μεταφορά". Στο 3D η διάσταση της ομάδας είναι τρία, στο 4D είναι τέσσερα.
Η σημασία των ομάδων πινάκων. Παράδειγμα: η ομάδα του Ευκλείδη.
...Η σημασία μιας ομάδας πινάκων είναι ότι μπορούμε να επιτύχουμε ταυτόχρονα πολλά πράγματα, που μέχρι τώρα φαίνονταν να έχουν διαφορετική φύση, για παράδειγμα περιστροφή και μεταφορά. Αρκεί τότε να θεωρήσουμε τους πίνακες:
και να εφαρμόσουμε τον πίνακα της ομάδας στο διάνυσμα στήλη για να δούμε ότι αυτό ισοδυναμεί με τη συνδυασμένη περιστροφή κατά γωνία α και μεταφορά κατά το διάνυσμα (Dx, Dy).
...Όπως φαίνεται, ο πίνακας g δεν επιδρά "άμεσα" στα σημεία (x,y) αυτού του 2διάστατου χώρου, αλλά μέσω αυτού που ονομάζουμε "απεικόνιση της ομάδας", που υπακούει σε ορισμένα αξιώματα.
...Έτσι, μια ομάδα "επιδρά" και "μεταφέρει", συγκεκριμένα σημεία. Αυτό είναι η ομάδα του Ευκλείδη. Συνδεδεμένη με ένα 2διάστατο χώρο (x,y), η ομάδα ορίζεται από τρία παραμέτρους. Είναι g (a, Dx, Dy): η διάσταση αυτής της ομάδας είναι 3. Ειδικευμένα:
g (0, Dx, Dy) αντιπροσωπεύει το υποομάδα των μεταφορών.
g (a, 0, 0) αντιπροσωπεύει το υποομάδα των περιστροφών γύρω από την αρχή.
g (0, Dx, 0) αντιπροσωπεύει το υποομάδα των μεταφορών παράλληλα προς μια ευθεία (τον άξονα OX).
...Η ομάδα του Ευκλείδη μεταφέρει σημεία που δεν έχουν, από μόνα τους, χαρακτηριστικά (ενώ οι ομάδες της δυναμικής παρέχουν σε ένα απλό "υλικό σημείο" χαρακτηριστικά, όπως μάζα, ενέργεια, ορμή, σπιν).
...Με την ομάδα του Ευκλείδη πρέπει να θεωρήσουμε σύνολα σημείων. Ως αντικείμενο, στη χημεία, τα άτομα δεν είναι διακριτά μεταξύ τους και μόνο η γεωμετρία των μοριακών συναρμολογήσεων φέρει πληροφορία. ...Μια γεωμετρική εικόνα, τρίγωνο (θεωρούμενο ως σύνολο τριών σημείων ή τριών τμημάτων), τετράγωνο (θεωρούμενο ως σύνολο τεσσάρων σημείων ή τεσσάρων τμημάτων) μπορεί να μεταφερθεί από την ομάδα. Εδώ εμφανίζεται η ιδέα της βασικής έννοιας της είδους. Δύο "αντικείμενα" θα θεωρούνται του ίδιου είδους αν υπάρχει ένα στοιχείο της ομάδας που τα μεταφέρει το ένα στο άλλο.
Σχετικά με την ομάδα του Ευκλείδη, τα τετράγωνα που έχουν την ίδια πλευρά a αποτελούν ένα είδος:
Τετράγωνα του ίδιου είδους.
...Αν οι πλευρές a και b είναι διαφορετικές, τα αντικείμενα δεν είναι του ίδιου είδους. Δεν υπάρχει στοιχείο της ομάδας που να μπορεί να τα μεταφέρει από το ένα στο άλλο. Σχετικά με την ομάδα του Ευκλείδη
αυτά τα τετράγωνα δεν αποτελούν το ίδιο είδος. .
Ο Ευκλείδης δεν επιτρέπει τις ομοιότητες. Για να τις χειριστούμε, θα πρέπει να πάμε σε μια άλλη ομάδα, την ομάδα του Δεκάρτη:
ομάδα με τέσσερις παραμέτρους g ( l, a , Dx, Dy) , l είναι ένας συντελεστής ομοιότητας. Έτσι, η διάσταση αυτής της ομάδας είναι 4.
Από εκεί μπορούμε να φανταστούμε ότι υπάρχει μια ομάδα του Ευκλείδη που επιδρά σε αντικείμενα σε τρεις διαστάσεις.
...Δεν πρόκειται για να ξεκινήσουμε ένα πλήρες μάθημα για τις ομάδες, αλλά για να αισθανθούμε μερικές ιδέες. Τι είναι η ζωολογία; Μια επιστήμη που μελετά τα ζώα και τα ταξινομεί. Αν περιοριστούμε στη μορφή, η ομάδα του Ευκλείδη μπορεί να ταξινομήσει τα ενήλικα λαγούς. Θα χρειαστεί να χρησιμοποιήσουμε την ομάδα του Δεκάρτη για να ταξινομήσουμε στο ίδιο είδος λαγούς διαφορετικών μεγεθών, καθώς δεν υπάρχει στοιχείο της ομάδας του Ευκλείδη (3d) που να μπορεί να μεταφέρει ένα μικρό λαγό σε ένα μεγάλο λαγό.
...Σας χαμογελάτε; Έχετε άδικο. Μπορεί να έχετε στο σπίτι σας ένα μικρό παιδί που μαθαίνει να παίζει σε ένα γωνιακό. Του έχετε δώσει ένα κοινό παιχνίδι και προσπαθεί να τοποθετήσει σε ένα είδος κουτιού σχημάτων: κυλίνδροι, κύβοι ή πρίσματα με τριγωνική βάση.
...Τι κάνει τώρα; Εξοικειώνεται με την ομάδα του Ευκλείδη, στις 3 διαστάσεις. Ταξινομεί αντικείμενα σε είδη, πράγμα που θα του επιτρέψει αργότερα να τα αναγνωρίσει, να κάνει "αναγνώριση σχήματος".
...Παρόλο που είναι διαφορετικών χρωμάτων, το παιδί επιβεβαιώνει ότι υπάρχουν πράξεις ομάδας (μεταφορές αυτών των αντικειμένων στο 3διάστατο χώρο) που επιτρέπουν να φέρουμε τον κύλινδρο Α και τον κύλινδρο Β σε συμπτώση, χρησιμοποιώντας το φίλτρο που είναι το "κενό σχήμα" του κυλίνδρου ή του πρίσματος: η είσοδος στο τμήμα του κουτιού ταξινόμησής του. Θα μάθει έτσι ότι αυτοί οι κύλινδροι Α και Β, σχετικά με το κριτήριο μορφής (ομάδα του Ευκλείδη), ανήκουν στο ίδιο είδος.
