ομάδες και φυσική συζυγής ενέργεια ορμής
| 5 |
|---|
Μία τετραγωνική πίνακας (n,n) δρα σε ένα στήλη διάνυσμα (n,0). Είδαμε ότι η ομάδα του Ευκλείδη 2δ, που αναφέρεται σε ένα χώρο (x,y), δεν εμπλέκει ενέργειες σε στήλη διανύσματα:
(51)
αλλά σε διανύσματα στήλης:
(52)
Που αποτελεί ένα παράδειγμα ενέργειας της ομάδας σε ένα χώρο X με x ∈ X. Υπάρχει άπειρος αριθμός δυνατών ενεργειών, ακόμη και της ομάδας πάνω στον εαυτό της. Οι ενέργειες ορίζονται μέσω αξιωμάτων.
(53)
Εξετάζοντας το διάνυσμα στήλης:
(54)
όπου x αντιπροσωπεύει για παράδειγμα τα διανύσματα:
(55)
(56)
που ικανοποιούν τα αξιώματα της ενέργειας της ομάδας. Μπορούμε τότε να πολλαπλασιάσουμε αριστερά τον τετραγωνικό πίνακα που αντιπροσωπεύει το στοιχείο της ομάδας, με ένα γραμμικό πίνακα y, και να ρωτήσουμε αν αυτό είναι επίσης μία ενέργεια.
(57) Ag(y) = y x g
Η απάντηση είναι όχι. Δεν είναι ενέργεια ομάδας: δεν ικανοποιεί τα αξιώματα που δόθηκαν παραπάνω. Είναι τότε αυτό που μου αρέσει να ονομάζω "αντι-ενέργεια", που υπακούει στα εξής "αντι-αξιώματα":
(58)
Ο μαθηματικός θα πει ότι δεν υπάρχει ανάγκη να επικαλεστούμε αυτές τις "αντι-ενέργειες" και ότι υπάρχει μόνο ένα σύνολο αξιωμάτων. Φυσικά. Όπως και το που θεωρείται αντι-ενέργεια:
(59) AAg(m) = g⁻¹ x m x g
όπου m είναι ένα δοσμένο διάνυσμα, μία "αντι-ενέργεια του στοιχείου g της ομάδας G πάνω στον πίνακα m", με g⁻¹ να σημαίνει τον αντίστροφο πίνακα, μπορεί να ερμηνευθεί ως ενέργεια του στοιχείου g⁻¹.
Ομοίως, μία "αντι-ενέργεια" είναι απλώς η δυϊκή μίας ενέργειας. Ας πούμε ότι μου φάνηκε ευχερές να εισαγάγω αυτή την έννοια, για διδακτικούς λόγους.
Από μία ομάδα τετραγωνικών πινάκων, που εξαρτώνται από n παραμέτρους πi, μπορούμε να δημιουργήσουμε πίνακες, διαφοροποιώντας όλες αυτές τις παραμέτρους σύμφωνα με: dpi. Οι πίνακες που προκύπτουν, γεμάτοι στοιχεία dpi, δεν αποτελούν ομάδα, αλλά αυτό που ονομάζεται "εφαπτόμενο διάνυσμα της ομάδας": dg (η "άλγεβρα Λί", η οποία, για πλήρη ακρίβεια, δεν είναι πραγματική άλγεβρα, αλλά ας το παραβλέψουμε).
Έτσι, η ομάδα μπορεί να δράσει στο "εφαπτόμενο διάνυσμα" dg, γύρω από το ουδέτερο στοιχείο e της ομάδας, μέσω της "αντι-ενέργειας":
(60) AAg(m) = g⁻¹ x dg(g=e) x g
Έτσι προκύπτει το σχήμα:
(61)
Αλλά μία αντι-ενέργεια είναι η δυϊκή μίας ενέργειας. Όταν υπάρχει δυϊκότητα, υπάρχει διατήρηση ενός εσωτερικού γινομένου S.
Έτσι, ο Souriau προσπάθησε να κατασκευάσει μία δεύτερη ενέργεια της ομάδας, την ενέργεια της ομάδας πάνω στο χώρο των ορμών της. Αλλά αυτή η ενέργεια, που ονομάζεται συζυγής ενέργεια ή βασική, δεν μπορούσε να εμφανιστεί απευθείας. Πρέπει να περάσει από αυτό το ενδιάμεσο που ονομάζω "αντι-ενέργεια της ομάδας πάνω στο εφαπτόμενο διάνυσμά της".
Έτσι, η επιζητούμενη ενέργεια εμφανίζεται ως δυϊκή της αντι-ενέργειας της ομάδας πάνω στο εφαπτόμενο διάνυσμά της. Και η δυϊκή μίας αντι-ενέργειας είναι μία ενέργεια, που θα γραφεί:
(62) Ag(J)
όπου J θα είναι το "ορμή": μία συστοιχία ποσοτήτων που αποτελούν χαρακτηριστικά ενός "υλικού σημείου", η ενέργεια που εξετάζεται, που ονομάζεται συζυγής, δείχνει πώς αυτά τα χαρακτηριστικά μεταβάλλονται κατά την κίνηση.
Υπάρχει μία ομάδα, που θα δοθεί αργότερα, που είναι μία επέκταση της ομάδας του Galilée, η οποία θα δοθεί επίσης αργότερα, και ονομάζεται ομάδα Bargmann (1960). Εφαρμόζοντας αυτή τη μέθοδο σε αυτή την ομάδα, μπορούμε να κατασκευάσουμε την ορμή JB της και τον τρόπο με τον οποίο η ομάδα δρα πάνω σε αυτή.
Ο Souriau έχει συνηθίσει να λέει:
Η ορμή ακολουθεί την κίνηση ως τη σκιά της.
Ομορφή εικόνα, προερχόμενη από το έργο του "Γραμματική της Φύσης". Το υλικό σημείο κινείται πράγματι στον χωροχρόνο (x,y,z,t). Κατά τη διάρκεια αυτής της κίνησης, τα χαρακτηριστικά του εξελίσσονται, και αυτό περιγράφεται από αυτή τη συζυγή ενέργεια της ομάδας πάνω στο χώρο των ορμών της.