ομάδες και φυσική συζυγής δράση ορμής
| 6 |
|---|
Δεν θα γράψουμε τις συνιστώσες της ορμής της ομάδας Bargmann. Σχηματικά, γράφουμε την ορμή της ομάδας Bargmann ως εξής:
JB = { ένας βαθμωτός m, πλέον οι άλλες συνιστώσες της ορμής }
Η συζυγής δράση δείχνει πώς μετασχηματίζονται οι διάφορες συνιστώσες της ορμής. Αλλά αυτή η συζυγής δράση ξεκινά με την απλή σχέση:
(63) m' = m
Η συζυγής δράση της ομάδας Bargmann στην ορμή της ξεκινά με τη διατήρηση της μάζας, η οποία έτσι εμφανίζεται με έναν καθαρά γεωμετρικό χαρακτήρα.
Κατασκευή της συζυγούς δράσης της ομάδας Poincaré στο χώρο της ορμής Jp**.**
Αν ήσαστε ήδη πλήρως συγκεχυμένοι, ας το αφήσετε. Είναι φυσικό και θα γίνει όλο και δυσκολότερο με τις σελίδες. Δεν ξέρω πια, σε αυτό το σημείο, σε ποιον απευθύνεται αυτό που ακολουθεί. Πιθανόν σε θεωρητικούς φυσικούς ή μαθηματικούς, αλλά πιθανόν όχι σε συντεχνίτες. Αλλά ένας φοιτητής μεγάλης σχολής ή πτυχιούχος φυσικής, που θα κρατηθεί, θα μπορέσει να ακολουθήσει. Δεν είναι παρά απλά πίνακες.
Τα πάντα ξεκινούν από μια ομάδα πινάκων διαστάσεων (4,4) που αποτελούν την ομάδα Lorentz, με στοιχείο L.
Αυτά ορίζονται αξιωματικά με βάση έναν πίνακα G:
(64)
σύμφωνα με:
(65) tL G L = G
όπου εμφανίζεται η ανάστροφη του πίνακα L.
Οι πίνακες L αποτελούν μια ομάδα.
Απόδειξη.
Το ουδέτερο στοιχείο είναι L = 1:
Έστω L1 και L2 δύο στοιχεία του συνόλου. Ελέγχουμε αν το γινόμενο L1L2 ανήκει στην ομάδα. Αν είναι έτσι:
t( L1L2 ) G L1L2 = G
Αλλά:
t( A B ) = t B t A
Άρα:
t( L1L2 ) G L1L2 = tL2 tL1 G L1L2 = tL2 ( tL1 G L1) L2 = tL2G L2
Υπολογίζουμε τώρα τον αντίστροφο του πίνακα L. Ξεκινάμε από το αξιωματικό ορισμό των στοιχείων L:
tL G L = G
Πολλαπλασιάζουμε δεξιά με L-1:
tL G L L-1 = G L-1
tL G = G L-1
Πολλαπλασιάζουμε αριστερά με G:
G tL G = G G L-1
G tL G = L-1
Άρα ο αντίστροφος πίνακας του L είναι:
L-1 = G tL G
Άρα:
(66)
ο διάνυσμα χωροχρόνου. Ο πίνακας G προέρχεται από τη μετρική του Minkowski, η οποία μπορεί τότε να γραφεί (με c = 1):
(67)
Άσκηση: να δείξετε ότι ο αντίστροφος πίνακας ικανοποιεί:
(68)
Εισαγάγουμε τώρα ένα διάνυσμα μετατόπισης χωροχρόνου:
(69)
Από το οποίο κατασκευάζουμε το στοιχείο gp της ομάδας Poincaré:
(70)
Άσκηση: να δείξετε ότι αυτό αποτελεί ομάδα και να υπολογίσετε τον αντίστροφο πίνακα:
(71)
Παρακάτω, το "διάνυσμα εφαπτόμενο στην ομάδα", στοιχείο της "άλγεβρας Lie" της:
(72)
Από αυτό θα υπολογίσουμε την αντίδραση:
(73) dgp' = gp-1 x dgp x gp
Για ευκολία υπολογισμού, παρατηρούμε ότι:
(74) G d L
είναι ένας αντισυμμετρικός πίνακας. Τον ονομάζουμε:
(75)
άρα:
(76)
Θέτουμε:
(77)
Από αυτό το υλικό θα κατασκευάσουμε την αντίδραση:
(78) dgp' = gp-1 x dgp x gp
Μετά τους υπολογισμούς, θα πάρουμε την απεικόνιση:
(79)
Αν θέλετε να παραλείψετε αυτή την απλή υπολογιστική διαδικασία, ανατρέξτε στην εξίσωση (80), στο τέλος της σελίδας.
(79a)
(79b)
από όπου προκύπτουν οι συνιστώσες της αντίδρασης:
(79c)
αλλά:
(79d)
άρα:
(79e)
αλλά GG = 1, άρα:
(79f)
από όπου προκύπτει η απεικόνιση:
(79g)
Που αποτελεί τη ζητούμενη αντίδραση, την απεικόνιση:
(80)
