ομάδες και φυσική δράση συζυγούς ορμής
| 8 |
|---|
(91)
Αυτή η συζυγής δράση μπορεί να γραφεί σε μορφή πινάκων.
Ο πίνακας της ομάδας του Πουανκαρέ είναι:
(92)
Η αντίστροφή του είναι:
(93)
Θεωρούμε τον πίνακα:
(94)
Δηλαδή θα τοποθετήσουμε την ορμή
(95) Jp = { M , P }
σε μορφή πίνακα και θα υπολογίσουμε το γινόμενο:
(96)
(97)
(98)
το οποίο μπορώ να ταυτίσω με τον πίνακα:
(99)
Άρα το Jp είναι η ορμή της ομάδας του Πουανκαρέ, γραμμένη σε μορφή πίνακα. Και η συζυγής δράση γράφεται ως:
(100)
Ως άσκηση, ο αναγνώστης μπορεί, βασιζόμενος στα αξιώματα, να επαληθεύσει ότι πράγματι πρόκειται για μία δράση.
Η ορμή της ομάδας του Πουανκαρέ μπορεί να εκφραστεί ως εξής:
(101)
Αυτός ο πίνακας είναι αντισυμμετρικός (πράγμα που σημαίνει ότι η κύρια διαγώνιός του αποτελείται από μηδενικά στοιχεία). Ο πίνακας M είναι:
(102)
Εκφράζουμε τον πίνακα:
(103)
Είναι πράγματι ένας αντισυμμετρικός πίνακας, υπόθεση που έχει ήδη τεθεί από την αρχή, και εξαρτάται από έξι παραμέτρους:
(104)
( lx , ly , lz , fx , fy , fz )
Οι τρεις τελευταίες ( fx , fy , fz ) είναι οι συνιστώσες ενός διανύσματος, το διάνυσμα-μεταφοράς f:
(105)
Οι τρεις πρώτες ( lx , ly , lz ) είναι οι ανεξάρτητες συνιστώσες ενός αντισυμμετρικού πίνακα (3,3), ο στροφέας l:
(106)
Έτσι:
(107)
Το διάνυσμα P είναι το τετραδιάνυσμα ορμής-ενέργειας:
(108)
Μπορούμε τώρα να εκφράσουμε την ορμή της ομάδας του Πουανκαρέ, σε πλήρη γενικότητα:
(109)
Επαληθεύουμε ότι πρόκειται πράγματι για ένα αντικείμενο με δέκα συνιστώσες (αριθμός ίσος με τις διαστάσεις της ομάδας).
(110) Jp = { E , px , py , pz , fx , fy , fz , lx , ly , lz } = { E , **p , f , l **}