ομάδες και φυσική ενέργεια συζυγούς ενέργειας ορμής
| 9 |
|---|
Σωματίδια με σπιν.
Η ομάδα του Πουανκαρέ περιγράφει τη σχετικιστική κίνηση ενός σημειακού αντικειμένου. Ομοίως, η ομάδα του Μπαργκμάν, η οποία θα δοθεί παρακάτω, περιγράφει τη μη σχετικιστική κίνηση ενός σημειακού αντικειμένου, το οποίο τότε ονομάζεται «σημειακή μάζα».
Έτσι, αυτή η τεχνική, η υπολογισμός της συζυγούς ενέργειας της ομάδας στον χώρο της ορμής, επέτρεψε την εμφάνιση κρυμμένων στοιχείων, χαρακτηριστικών του αντικειμένου: τις συνιστώσες της ορμής.
Το εντυπωσιακό είναι ότι αυτή η προσέγγιση, που οφείλεται στον Σουριά, καθιστά τα βασικά αντικείμενα της φυσικής σαν καθαρά γεωμετρικά αντικείμενα. Έτσι, πραγματοποίησε ένα μοναδικό έργο γεωμετρικοποίησης της φυσικής.
Εκτός από την ενέργεια και την ορμή, άλλες συνιστώσες, το «στροφή» και το «πέρασμα», αποτελούν αρκετά παραξενεμένα στον φυσικό. Τι είναι αυτό;
Η έκφραση των συνιστωσών της ορμής εξαρτάται φυσικά από το σύστημα συντεταγμένων που επιλέγουμε.
Ίσως το απλούστερο είναι να επιστρέψουμε γρήγορα στη μη σχετικιστική περίπτωση, δηλαδή στην έκφραση της συζυγούς ενέργειας, όπως θα είχε προκύψει από την ανάλυση της ομάδας του Μπαργκμάν.
(111)
Μυστηριώδης τύπος. Τι χρησιμεύει; Πώς λειτουργεί;
Ο φυσικός σε αυτό το πλαίσιο θα αναγνωρίσει κάποια γνωστά αντικείμενα:
(112)
είναι απλώς δύο εκφράσεις του διανύσματος ταχύτητας { vx , vy , vz }, η πρώτη ως στήλη πίνακα και η δεύτερη ως γραμμή πίνακα. Το γινόμενο των δύο πινάκων είναι ένας βαθμωτός:
(113)
κάτι που αρχίζει να μοιάζει με κινητική ενέργεια.
m v είναι μια ορμή.
Ο παραδοσιακός φυσικός, σε σχέση με τη δυναμική ενός σημειακού σώματος, γνωρίζει μόνο τρία πράγματα:
- Τη μάζα m
- Την ορμή m v
- Την κινητική ενέργεια 1/2 mv²
Ναι, αλλά ταχύτητα σε σχέση με τι;
Μια ομάδα είναι επίσης ένας τρόπος παρατήρησης των πραγμάτων. Μπορούμε τότε να θεωρήσουμε ότι μεταφέρουμε, με τη βοήθεια της ομάδας, αντικείμενα (όπως είδαμε με την ομάδα του Ευκλείδη), σε σχέση με έναν παρατηρητή που θεωρείται σταθερός, ή, το αντικείμενο να είναι σταθερό, να το παρατηρούμε διαφορετικά.
Αν επιλέξουμε την κίνηση, τη μεταφορά των αντικειμένων, σε σχέση με τις δυναμικές ομάδες, δηλαδή τις ομάδες της φυσικής (αντίθετα με την ομάδα του Ευκλείδη, όπου το χρόνος δεν εμφανίζεται), θα πρέπει να πούμε ότι επίσης ζωντανεύουμε τα αντικείμενα, δίνοντάς τους ταχύτητα v και ενέργεια E.
Αν επιλέξουμε την αντίστροφη άποψη: να θεωρήσουμε ότι το αντικείμενο είναι σταθερό και να εξετάσουμε τη δική μας κίνηση, ποιο νόημα δίνουμε στις ομάδες;
Η ομάδα του Ευκλείδη θα σήμαινε τότε:
«Παρατηρούμε από άλλο μέρος και από άλλη γωνία».
Το «άλλο μέρος» είναι το διάνυσμα μεταφοράς:
(114)
Το «από άλλη γωνία» είναι ο πίνακας περιστροφής a, μια περιστροφή στο χώρο (που θα μπορούσαμε να εκφράσουμε με τις γωνίες του Όιλερ, αλλά δεν θα το κάνουμε).
Σε σχέση με δυναμικές ομάδες, αυτή η προσέγγιση, αυτή η άποψη για τα «πράγματα», πρέπει να πλούτιστε. Παραμένοντας στο πλαίσιο της ομάδας του Μπαργκμάν, η εισαγωγή αυτής της ταχύτητας v σημαίνει ότι, εκτός από το ότι ο παρατηρητής παρατηρεί αυτή τη σημειακή μάζα από άλλο μέρος (διάνυσμα-μεταφορά c) και από άλλη γωνία (πίνακας περιστροφής a), είναι επίσης κινούμενος, σε σχέση με αυτή τη σημειακή μάζα που θεωρείται ακίνητη, με ταχύτητα v.
Και για να είμαστε πλήρεις, για να πολυπλοκοποιήσουμε την κατάσταση, δεν εξελίσσεται στο ίδιο χρόνο με το σωματίδιο, τη σημειακή μάζα που παρατηρείται. Είναι αποκλίνει από αυτή κατά ένα χρονικό διάστημα Δt. Με άλλα λόγια: την παρατηρεί από άλλο μέρος, αλλά είναι ένα άλλο μέρος σε χρόνο-χώρο, αντίστοιχο στο διάνυσμα μεταφοράς σε χρόνο-χώρο:
(115)
Με αυτή την «απόσταση», σε σχέση με αυτή τη σημειακή μάζα, τι παρατηρώ; Πρώτον ότι: m' = m
Αυτό δεν επηρεάζει τη μάζα της.
Μπορώ να απλοποιήσω τη ζωή μου ακυρώνοντας την περιστροφή. Είναι ήδη αρκετά δύσκολο να παρατηρήσω μια σημειακή μάζα από άλλο μέρος, παρατηρώντας την από άλλο χρόνο, με απόκλιση, καθισμένος σε ένα σκέιτμπορν με ταχύτητα v. Είναι απαραίτητο να στρέψω το λαιμό μου;
Όχι. Ας κάνουμε a = 1.
Αλλά συνήθως παραβλέπεται αυτό το λεπτομέρεια στους υπολογισμούς. Η συζυγής ενέργεια, έτσι ειδικευμένη, γίνεται:
(117)
Το «θεωρώ» πρέπει να πάρει την ετυμολογική του σημασία. Τι κάνω όταν θεωρώ μια κατάσταση, τον ουρανό, ένα πεδίο μάχης, το βίντεο που λαμβάνει ένας αεροπορικός πλοίαρχος;
Ένας δικαστικός θα γράψει:
- Θεωρώντας την κατάσταση του τόπου...
Στατική παρατήρηση, αντίστοιχη με την ομάδα του Ευκλείδη. Ο δικαστικός παρατηρεί τα αντικείμενα σε απόσταση c, την ίδια στιγμή (Δt = 0), κατά κανόνα ακίνητα ( v = 0). Σε περίπτωση που χρειαστεί, υπό μια συγκεκριμένη γωνία, «υπό μια συγκεκριμένη γωνία».
Ένας στρατηγός, που περιπατάει σε ένα αεροπλάνο παρατήρησης, είναι ένα είδος δικαστικού που κινείται ( v ≠ 0).
Αλλά ένας αρχηγός Επιτελείου που παρακολουθεί το βίντεο που λαμβάνει ένας αεροπορικός πλοίαρχος, ένα «δρόν», αντιμετωπίζει μια κατάσταση που είναι αποκλίνουσα στο χρόνο. Είναι αναγκασμένος να σκεφτεί:
- Θεωρώντας το στόχο, παρατηρούμενο από αυτό το σημείο, σε κλίση, με αυτή την ταχύτητα, και επιπλέον όπως εμφανιζόταν δύο ώρες νωρίτερα...
Ο στόχος δεν έχει κάποια ιδιαίτερη ταχύτητα. Δεν μπορούμε να τον θεωρήσουμε σταθερό, ακόμη και αν είναι «μια σταθερή εγκατάσταση». Ακόμη και η Γη κινείται, και ο Ήλιος, και η γαλαξία, κ.λπ.