ομάδες και φυσική δράση συζυγούς ορμής
| 10 |
|---|
Αυτό που μπορώ να πω είναι:
- ότι απομακρύνθηκα από το στόχο σε απόσταση c.
- τον παρατηρώ κινούμενος με ταχύτητα v.
- είμαι, σε σχέση με αυτόν τον στόχο, μετατοπισμένος κατά χρόνο Δt.
Σε σχέση με εμένα:
--- Η μάζα m δεν άλλαξε.
--- Του προσέδωσα ορμή m v (ποσότητα κίνησης).
--- Του προσέδωσα μια "προσέγγιση" m [ c - v Δt ]
--- και μια "στροφή":
Ας εξηγήσουμε αυτή την "στροφή":
(118a)
(118b)
(118c)
ή:
(118d)
Μπορούμε να θεωρήσουμε τις τρεις ανεξάρτητες συνιστώσες του πίνακα "στροφής" l ως συνιστώσες ενός διανύσματος. Τότε αυτό γράφεται:
(119)
Αν και δεν έχουμε ορίσει το διανυσματικό γινόμενο στον χώρο μας, δηλαδή δεν του έχουμε αποδώσει κατεύθυνση δεξιά-αριστερά, μπορούμε να το θεωρήσουμε ως διανυσματικό γινόμενο:
(120)
Το v ανάποδα δηλώνει το διανυσματικό γινόμενο. Παρατηρούμε ότι η τελευταία γραμμή των τύπων που δίνουν τη συζυγή δράση στην ορμή αντιστοιχεί στο:
(121)
l είναι ένας πίνακας, όχι ένα διάνυσμα (αλλά, στη σημείωσή μας, τα παχιά γράμματα αναφέρονται εξίσου σε πίνακες και διανύσματα, ενώ τα λεπτά αναφέρονται σε βαθμωτά).
Αυτό το διανυσματικό γινόμενο αρχίζει να μοιάζει, για το φυσικό, με κάτι γνωστό: τη στροφορμή.
Παίρνουμε μια σωματίδιο, απομακρυνόμαστε από αυτό κατά c και το παρατηρούμε κινούμενοι με ταχύτητα v. Όλα συμβαίνουν σαν να ήταν το αντίστροφο: ότι το σωματίδιο είναι μακριά από έναν ακίνητο παρατηρητή και κινείται με ταχύτητα v.
(122)
Απομένει το "πέρασμα" f = m [ c - v Δt ]
Αυτό μηδενίζεται απλώς όταν c = v Δt, δηλαδή όταν συνδέουμε την ταχύτητα v με τη χωροχρονική μετατόπιση:
(123)
Επαναλαμβάνουμε την έκφραση της ορμής που προκύπτει από την ομάδα Poincaré, σε σύστημα συντεταγμένων όπου το "πέρασμα" είναι μηδέν:
(124)
Μια σωματίδιο είναι μια ειδική επιλογή στην ορμή. Με αυτό το προσδιορισμό, μετασχηματισμοί συντεταγμένων επιτρέπουν να καταργήσουμε το "πέρασμα" f και να φέρουμε τις συνιστώσες της "στροφής" l και της ορμής P σε μία μόνο συνιστώσα (κίνηση κατά z):
(125)
Το αντικείμενο που περιγράφεται από την ομάδα Poincaré διαθέτει λοιπόν εξ αρχής:
- μια ενέργεια E
- μια ορμή P
- μια ιδιαίτερη "στροφή" l
Η "στροφή" είναι μια μάζα, πολλαπλασιασμένη με μήκος, και το σύνολο πολλαπλασιασμένο με ταχύτητα. Έχει λοιπόν διαστάσεις M L² T⁻¹, όπως η σταθερά Planck h.
Η μέθοδος της γεωμετρικής κβαντοποίησης, που αναπτύχθηκε από τον Souriau (βλ. Η Δομή των Δυναμικών Συστημάτων, Dunod 1973), επιτρέπει να δείξει ότι αυτή η "στροφή" πρέπει να είναι ανάλογη προς:
(125b)
με ημιακέραιες τιμές. Δηλαδή είτε η μονάδα (φωτόνιο), είτε 1/2 για τα υπόλοιπα σωματίδια, όπως το ηλεκτρόνιο, το πρωτόνιο, το νετρόνιο, τα ουδέτερα, και τα αντισωματίδιά τους.