ομάδες και φυσική δράση συζυγούς ορμής
| 12 |
|---|
Σωματίδια με μη μηδενικό σπιν.
Δεν υπάρχει πλέον άμεση σχέση μεταξύ ενέργειας και ορμής, όπως για τα φωτόνια και τα νετρίνα, σωματίδια μηδενικής μάζας.
(131)
Με m να είναι η ηρεμίας μάζα, που ταυτίζεται τότε με τη μάζα που προκύπτει από την ομάδα του Bargmann, έχουμε:
(132a)
(132b)
Περιορισθήκαμε στα:
Πρωτόνιο, ηλεκτρόνιο, νετρόνιο και τα αντισωματίδιά τους.
Τα σωματίδια διαθέτουν διαφορετικές φορτία, χαρακτηριστικά, που δεν προκύπτουν επίσης από την ομάδα του Poincaré:
- Η ηλεκτρική φορτίο e = ± 1
- Η βαρυονική φορτίο cB = ± 1
- Η λεπτονική φορτίο cL = ± 1
- Η μουονική φορτίο cm = ± 1
- Η ταυονική φορτίο ct = ± 1
- Ο γυρομαγνητικός συντελεστής v
Η αντιστροφή όλων αυτών των ποσοτήτων αντιστοιχεί στη συμμετρία C. Μπορούμε λοιπόν να ομαδοποιήσουμε όλα αυτά σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα:
(133)
που μπορεί να έχει οποιαδήποτε κατεύθυνση, όπως και το σπιν.
Το μαγνητικό ροπή είναι ίσο με τον γυρομαγνητικό συντελεστή v πολλαπλασιασμένο με το σπιν s.
(134)
Εδώ χρησιμοποιήσαμε μια παχιά γραμματοσειρά s για το σπιν. Αυτό σημαίνει ότι η κατεύθυνση του σπιν των σωματιδίων μπορεί να είναι οποιαδήποτε. Ωστόσο, το μέτρο του είναι ένα από τα χαρακτηριστικά τους και είναι θεμελιώδως αναλλοίωτο (γεωμετρική ποσοτικοποίηση της στροφής των σωματιδίων).
Η συμμετρία C, η συζυγία των φορτίων, που αντιστρέφει τον γυρομαγνητικό συντελεστή v, αντιστρέφει επίσης και τη μαγνητική ροπή.
Σταθεροί μαγνήτες.
Αν τοποθετήσουμε ένα κομμάτι μαλακού σιδήρου σε ισχυρό μαγνητικό πεδίο, και στη συνέχεια μειώσουμε το πεδίο, το μέταλλο θα διατηρήσει μόνιμη μαγνήτιση. Τι συνέβη;
Το μαγνητικό πεδίο ευθυγραμμίζει τα σπιν των ηλεκτρονίων, τα οποία συμπεριφέρονται ως μικροί μαγνήτες, μικρά μαγνητικά δίπολα.
Αλλά γιατί διατηρούν την κατεύθυνση που τους επιβλήθηκε; Λόγω μιμήσεως. Κάθε ηλεκτρόνιο ευθυγραμμίζεται σύμφωνα με το μαγνητικό πεδίο που δημιουργείται από τους γείτονές του. Και, καθώς και τα άλλα ευθυγραμμίζονται με το ίδιο τρόπο, όλες αυτές οι ροπές διατηρούν την παραλληλία τους. Είναι όπως το "Πανουργής στο διάστημα". Μόνο αν θερμάνουμε το κομμάτι του μετάλλου ή το χτυπήσουμε, θα επιτύχουμε να διαταράξουμε αυτή την όμορφη ηλεκτρονική διάταξη.
Μαγνητική ροπή της αντιύλης.
Η συζυγία φορτίου, συνδεδεμένη με τη μετατροπή ύλης-αντιύλης στο νόημα του Dirac (θα δούμε πιο κάτω τι σημαίνει αυτό), προκαλεί την αντιστροφή της μαγνητικής ροπής, λόγω της αντιστροφής του γυρομαγνητικού συντελεστή, ενώ το σπιν παραμένει αμετάβλητο.
Φυσικά, αυτή η συμμετρία C δεν μεταβάλλει ούτε την ενέργεια, ούτε την ορμή του σωματιδίου.
Οι τέσσερις συνιστώσες της ομάδας Lorentz.
Όπως είδαμε, το στοιχείο L της ομάδας Lorentz L ορίζεται αξιωματικά. Πρέπει να υπακούει στις συνθήκες:
(135)
(136)
Κάθε μήτρα L που ικανοποιεί αυτό τον ορισμό ανήκει στην ομάδα L. Είναι μία μήτρα διαστάσεων (4,4), που μπορεί να εφαρμοστεί, για παράδειγμα, σε:
(137)
δηλαδή στον χωρόχρονο. Μπορούμε λοιπόν να ρωτήσουμε αν αυτές οι μήτρες δεν είναι ικανές να πραγματοποιήσουν συμμετρίες σε αυτόν τον χώρο. Δεν μπορεί, για παράδειγμα, να αλλάξει κάποιος το x σε -x; Δεν μπορούν οι μήτρες να ταξινομηθούν σε διαφορετικά υποσύνολα, εκείνες που πραγματοποιούν αυτή την ενέργεια και εκείνες που δεν την πραγματοποιούν;
Πολύ καιρό πριν (στα αγγλικά: many beautiful candles ago), έχει εξερευνηθεί όλο αυτό, και αποδείχθηκε ότι η ομάδα Lorentz αποτελείται στην πραγματικότητα από τέσσερα είδη μητρών.
Ln — Εκείνες που δεν αντιστρέφουν ούτε το χώρο, ούτε το χρόνο.
Ls — Εκείνες που αντιστρέφουν το χώρο.
Lt — Εκείνες που αντιστρέφουν το χρόνο.
Lst — Εκείνες που αντιστρέφουν και τα δύο.
Τα σύνολα αυτά ονομάζονται συνιστώσες μίας ομάδας. Έτσι, η ομάδα Lorentz είναι μία ομάδα που αποτελείται από τέσσερις συνιστώσες.
Μπορούμε αμέσως να δημιουργήσουμε τέσσερις μήτρες, καθεμία από τις οποίες ανήκει στο αντίστοιχο υποσύνολο:
(138)
An = 1 (το ουδέτερο στοιχείο), ανήκει στο Ln: δεν αντιστρέφει ούτε το χώρο, ούτε το χρόνο.
As ανήκει στο Ls: αντιστρέφει το χώρο.
At ανήκει στο Lt: αντιστρέφει το χρόνο.
Ast ανήκει στο Lst: αντιστρέφει και το χώρο και το χρόνο.
Για να σχηματίσει μία ομάδα (εδώ, ένα υποσύνολο της ομάδας Lorentz), ένα σύνολο μητρών πρέπει να περιέχει το ουδέτερο στοιχείο 1 στη διάσταση (n,n) που εξετάζεται, εδώ: (4,4). Μόνο οι μήτρες του συνόλου Ln ικανοποιούν αυτό το κριτήριο. Αυτές σχηματίζουν ένα υποομάδα της ομάδας Lorentz. Εφόσον αυτό το σύνολο περιέχει το ουδέτερο στοιχείο της ομάδας, το ονομάζουμε επίσης την ουδέτερη συνιστώσα της ομάδας. Τα υπόλοιπα σύνολα μητρών δεν σχηματίζουν υποομάδες (αδύνατο: δεν περιέχουν το ουδέτερο στοιχείο).
Παρατήρηση:
(139) At = - As
Ast = - An
Μπορούμε τότε να θεωρήσουμε το σύνολο Lo = Ln » Ls, που είναι μία υποομάδα της ομάδας Lorentz και την ονομάζουμε ορθοχρόνια [1]. Οι μήτρες Lac = Lt » Lst δεν σχηματίζουν ομάδα, αλλά το σύνολο των συνιστωσών που σχετίζονται με την αντιστροφή του χρόνου, σύνολο που ονομάζουμε αντιχρόνια [12]. Η πλήρης ομάδα Lorentz είναι:
(140) L = Lo » Lac
Όμως μπορούμε επίσης να παρατηρήσουμε ότι το στοιχείο:
(141) m Lo, με m = ± 1
καλύπτει ολόκληρη την ομάδα.