ομάδες και φυσική ενέργεια συζυγούς δράσης ορμής
| 14 |
|---|
Κεντρική επέκταση της ομάδας Poincaré.
Θα βρείτε αναφορά σε μια τέτοια επέκταση στο βιβλίο του J.M. Souriau, "Structure des Systèmes Dynamiques". Η μέθοδός του για τη γεωμετρική κβαντοποίηση του ομάδας του επιτρέπει να ανακαλύψει τις εξισώσεις της Κβαντικής Μηχανικής. Για παράδειγμα, η ομάδα Bargmann, που περιγράφει το μη σχετικιστικό σωματίδιο, οδηγεί στην εξίσωση Schrödinger, επίσης μη σχετικιστική.
Το σημείο εκκίνησης είναι η ομάδα Galilée. Πρόκειται για μια πίνακα διαστάσεων (5,5), κατασκευασμένη με τον εξής τρόπο:
(152)
Ο πίνακας περιστροφής εξαρτάται από τρεις παραμέτρους, τις γωνίες Euler. Επομένως, η διάσταση της ομάδας είναι δέκα.
Χρησιμοποιώντας τα συμβολισμούς:
(153)
(154)
συνδεόμενα με το χωροχρόνο:
(155)
Παρά το γεγονός ότι αυτό φαίνεται περίεργο, η κατασκευή της συζυγούς δράσης της ομάδας στον χώρο των ορμών δεν εμφανίζει τη μάζα m ως γεωμετρικό αντικείμενο. Αυτό μπορεί να γίνει μόνο μέσω μιας μη τετριμμένης επέκτασης αυτής της ομάδας, της ομάδας Bargmann (1960).
(156)
Η παρουσία του βαθμωτού f δίνει σε αυτή την ομάδα μια επιπλέον διάσταση: έντεκα.
Αυτή η ομάδα δρα σε έναν πέντε-διάστατο χώρο, τον χωροχρόνο, και σε μία επιπλέον διάσταση z, μέσω της δράσης:
(157)
Η συζυγής δράση της ομάδας Bargmann στον ορμή της είχε δοθεί προηγουμένως. Παρατηρούμε ότι η προσθήκη του βαθμωτού f, προσθέτοντας μία διάσταση στην ομάδα, προσθέτει μία επιπλέον συνιστώσα στον ορμή, η οποία ταυτίζεται τότε με τη μάζα m (η οποία επίσης διατηρείται: m' = m).
Ξεκινώντας από την ομάδα Bargmann και χρησιμοποιώντας τη μέθοδο γεωμετρικής κβαντοποίησης, η Souriau μπορεί τότε να κατασκευάσει τις εξισώσεις Schrödinger, μη σχετικιστικές.
Η σχετικιστική κβαντική εξίσωση είναι η εξίσωση Klein-Gordon. Ήταν λογικό να αναζητήσουμε ποιας ομάδας μπορεί να προέρχεται. Πρόκειται για την κεντρική επέκταση:
(158)
"pe" για "Poincaré επεκτεταμένο". Εδώ κατασκευάσαμε την ομάδα Poincaré από τον υποομάδα ορθοχρόνου της ομάδας Lorentz Lo.
Ο χώρος που συνδέεται με αυτή την ομάδα είναι επίσης πέντε-διάστατος:
(159) (t, x, y, z, z).
Αυτή η επέκταση είναι απλούστερη από αυτή του Bargmann, αλλά στην πραγματικότητα τα πράγματα είναι πάντα ευκολότερα στη σχετικότητα. Αποδεικνύεται, επισήμως, ότι μεταξύ του 1 και του f στην πρώτη γραμμή μπορεί να υπάρχει μόνο ο γραμμικός πίνακας 0 = (0 0 0): μόνο μηδενικά.
Η μέθοδος της γεωμετρικής κβαντοποίησης οδηγεί τότε στην εξίσωση Klein-Gordon. Εφόσον πρόκειται για τη δράση της ομάδας στον χώρο των ορμών, παίρνουμε:
(160)
Jpe = {c, M, P} = {c, Jp}
Ο υπολογισμός δεν είναι δύσκολος. Στην πραγματικότητα αντιστοιχεί πλήρως στον υπολογισμό της συζυγούς δράσης της ομάδας Poincaré στον ορμή της.
Υπολογίζουμε την αντίδραση:
(160b)
και εκφράζουμε την αναλλοίωτη του εσωτερικού γινομένου (δυαδικότητα):
(160c)
Αν βγείτε από αυτόν τον υπολογισμό, θα είναι πραγματικά καλό σημάδι. Αυτό θα σημαίνει ότι αρχίζετε να βγαίνετε από το σύγχυμα.
Εμφανίζεται λοιπόν ένας βαθμωτός c, η μοναδική λειτουργία του οποίου είναι να διατηρείται. Τι σημαίνει; Καμία εξήγηση. Απλώς "κάτι που διατηρείται". Μπορούμε να του αποδώσουμε, για παράδειγμα, την κατάσταση της ηλεκτρικής φορτίσης.
Η πρώτη ιδέα που έρχεται στο μυαλό είναι να εφαρμόσουμε αυτό το είδος επέκτασης πολλές φορές:
(161)
Θα δείξουμε στη συνέχεια ότι μπορούμε να εφαρμόσουμε αυτή τη διαδικασία απεριόριστα και ότι κάθε φορά προσθέτει έναν επιπλέον βαθμωτό:
(162) Jpe = {c₁, c₂, c₃, ..., M, P}
Jpe = {c₁, c₂, c₃, ..., Jp}
με συζυγή δράση:
(163)
Θα θεωρήσουμε ότι κάποιες διακριτές τιμές των συνιστωσών του ορμού αντιπροσωπεύουν τα φορτία του σωματιδίου.
Καλά, θα πει ο αναγνώστης, εντάξει, μπορούμε να προσθέσουμε για παράδειγμα έξι επιπλέον γραμμές. Θα προκύψει τότε αναλλοίωτη βαθμωτή που μπορούμε να ταυτίσουμε με:
(164)
c₁ = e (ηλεκτρικό φορτίο)
c₂ = cB (βαρυονικό φορτίο)
c₃ = cL (λεπτονικό φορτίο)
c₄ = cm (μουονικό φορτίο)
c₅ = ct (ταυονικό φορτίο)
c₆ = v (γύρω-μαγνητικός συντελεστής)
Αρκεί να θεωρήσουμε την ομάδα, με την αντίστοιχη δράση, που συνδέεται με έναν δέκα-διάστατο χώρο:
(165) (x, y, z, t, z₁, z₂, z₃, z₄, z₅, z₆)
(166)
Πάλι κατασκευάζουμε την ομάδα γύρω από τον υποομάδα ορθοχρόνου Lo της ομάδας Lorentz:
Lo = Ln (ουδέτερη συνιστώσα) » Ln (αντιστροφή του χώρου).
Αυτή η δύο-συνιστώσα ομάδα εμφανίζει τότε απλώς έξι βαθμωτούς που συνοδεύουν το σωματίδιο χωρίς να αλληλεπιδρούν με τίποτα. Ο ορμή γίνεται:
(167) Jpe = {q, cB, cL, cm, ct, v, Jp}
όπου Jp είναι η "μέρος Poincaré". Αλλά αυτό παραμένει με περιορισμένο ενδιαφέρον.