f4301 Γεωμετρικοποίηση της ύλης και της αντιύλης μέσω της συζυγούς δράσης μιας ομάδας στον χώρο των ροπών της. 2 :
Γεωμετρική περιγραφή της αντιύλης του Dirac
** Jean-Pierre Petit & Pierre Midy ** Αστεροσκοπείο της Μασσαλίας ---
Περίληψη :
...Επεκτείνουμε την προηγούμενη ομάδα σε ένα σύνολο τεσσάρων ορθόχρονων συνιστωσών. Αυτή η πράξη δίνει μια γεωμετρική ερμηνεία της αντιύλης κατά Dirac.
--- ** **
1) Εισαγωγή :
...Σε ένα προηγούμενο άρθρο [1], παρουσιάσαμε μια περιγραφή των στοιχειωδών σωματιδίων σε έναν δεκαδιάστατο χώρο, δηλαδή τον χωροχρόνο (x,y,z,t) συν έξι επιπλέον διαστάσεις :
(1) **{ **z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , z 5 , z 6 }
Παρουσιάσαμε μια ομάδα 16 διαστάσεων, επέκταση της ορθόχρονης υποομάδας του Poincaré, που δρα :
-
στον χώρο των ροπών της 16 διαστάσεων
-
στον χώρο κίνησής της 10 διαστάσεων.
Οι έξι επιπλέον συνιστώσες της ροπής ταυτίστηκαν με τα φορτία των σωματιδίων :
(2) { q , cB , cL , cm , ct , v }
έτσι ώστε η ροπή να γίνεται :
(3) Jpe = { q , cB , cL , cm , ct , v , Jp } όπου Jp αντιπροσωπεύει την κλασική ροπή, που προέρχεται από την ορθόχρονη υποομάδα του Poincaré :
(4) Jpo = { E , p , f , **l **}
κατά τον J.M. Souriau [1].
Καθορίσαμε τη σύνδεση μεταξύ των ειδών ροπών και των ειδών κίνησης, υποδεικνύοντας ότι :
-
Η κίνηση της ύλης αντιστοιχεί στον τομέα { z i > 0 }.
-
Η κίνηση της αντιύλης αντιστοιχεί στον τομέα { z i < 0 }.
-
Η κίνηση των φωτονίων αντιστοιχεί στο επίπεδο { z i = 0 }.
Όλα αυτά πρέπει τώρα να δικαιολογηθούν.
2) Εισαγωγή μιας ομάδας τεσσάρων συνιστωσών. Γεωμετρικοποίηση της αντιύλης του Dirac.
...Η προηγούμενη ομάδα 16 διαστάσεων είχε δύο συνιστώσες, που αντιστοιχούν στις δύο ορθόχρονες συνιστώσες της ομάδας Lorentz, Ln (ουδέτερη συνιστώσα) και Ls, με :
(5) Lo (ορθόχρονη υποομάδα) = Ln U Ls
Η ομάδα μας ήταν μια επέκταση της ορθόχρονης υποομάδας του Poincaré :
(6) Go = Gn U Gs
και τη σημειώσαμε :
(7)
Η αντίστοιχη συζυγής δράση ήταν :
(8)
με :
(9) {c i} = { q , cB , cL , cm , ct , v }
...Σε μια τέτοια ομάδα, κανένα στοιχείο δεν μετασχηματίζει την κίνηση ενός υλικού σημείου σε εκείνη ενός σημείου αντιύλης, ούτε αντιστρόφως. Σύμφωνα με τον επιλεγμένο ορισμό της αντιύλης, μέσω μιας :
(10) Συμμετρίας z : {z i} ----> {- z i}
ένα στοιχείο θα έπρεπε να αντιστρέφει τις επιπλέον διαστάσεις. Με :
(11)
μπορούμε να γράψουμε την προηγούμενη ομάδα σε μια πιο συμπαγή μορφή :
(12)
Περιέχει το ουδέτερο στοιχείο :
(13)
Ο πίνακας που αντιστρέφει τις επιπλέον διαστάσεις είναι ο ακόλουθος ορθόχρονος μεταθέτης :
(14)
Μπορούμε να διπλασιάσουμε την προηγούμενη ομάδα μέσω της πράξης :
(15) go x goc
Το οποίο ισοδυναμεί με το να γράψουμε τη νέα ομάδα τεσσάρων συνιστωσών, της οποίας τα στοιχεία είναι :
(16)
Η αντίστοιχη συζυγής δράση είναι :
(17)
Βλέπουμε ότι ( l = - 1 ) αντιστρέφει τα φορτία. Σε αυτή την περίπτωση, η αντιστροφή των επιπλέον διαστάσεων :
(18) Συμμετρία z : {z i} ----> {- z i}
συμβαδίζει με μια :
(19)
Συμμετρία C (ή συζυγία φορτίου) : { q , cB , cL , cm , ct , v } ---> {- q ,- cB ,- cL ,- cm ,- ct , - v }
το οποίο αντιστοιχεί στην περιγραφή της αντιύλης του Dirac [4], έτσι ώστε αυτή η εργασία να αντιπροσωπεύει μια γεωμετρικοποίηση της αντιύλης κατά Dirac.
