a702 Το έργο του J.M. Souriau για το ηλιακό σύστημα. ** **
...Αυτή η εργασία παρουσιάστηκε από τον J.M. Souriau το 1989, σε μια επιστημονική συνάντηση αφιερωμένη στη βαρύτητα, που πραγματοποιήθηκε στη Γένοβα, στην Ελβετία. Ο τίτλος του άρθρου ήταν: Συντονιστικά και μη συντονιστικά φαινόμενα στο ηλιακό σύστημα
...Ο Souriau ξεκινά από την ανάλυση των τροχιακών περιόδων των διαφόρων πλανητών. Η Γη περιστρέφεται γύρω από τον Ήλιο σε 365 ημέρες. Η διάρκεια του ενιαύσιου κύκλου της Αφροδίτης είναι 225 ημέρες. Από αυτούς τους δύο αριθμούς, ο Souriau κατασκευάζει μια ακολουθία Fibonacci (όπου κάθε όρος είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων). Γνωρίζουμε ότι ο λόγος διαδοχικών όρων τείνει προς τον χρυσό αριθμό. Συγκρίνει αυτές τις τιμές με τις τροχιακές περιόδους. ** **
30 Ήλιος (29 ημέρες) 55 τίποτα 85 Ερμής (88 ημέρες) 140 τίποτα 225 Αφροδίτη 365 Γη. 590 (1 έτος και 7 μήνες): Άρης (1 έτος και 10 μήνες) 955 τίποτα 1545 (4 έτη και 3 μήνες): Δήμητρα-Παλλάς (ζώνη αστεροειδών) 2500 τίποτα 4045 (11 έτη): Δίας (11 έτη και 10 μήνες) 6545 τίποτα 10590 (29 έτη): Κρόνος (29 έτη και 5 μήνες) 17135 τίποτα 27725 (76 έτη) Ουρανός (84 έτη) 44860 τίποτα 72585 (199 έτη) Ποσειδώνας (165 έτη), Πλούτωνας (248 έτη)
...Στη συνέχεια, μελετά τους συντονισμούς σε ζεύγη πλανητών. Οι μαθηματικοί (Liouville, Hurwitz, Borel) έχουν καθιερώσει ένα μαθηματικό τεστ, ένα «μέτρο του βαθμού αρρητότητας ενός δεδομένου αριθμού», που δείχνει «σε ποια απόσταση» βρίσκεται από ένα ρητό κλάσμα, από τον λόγο δύο ακεραίων. (a701)
Ο Borel εισάγει τον αριθμό: q ( x , q) = (παρονομαστής)² * | x - q |
q(x) είναι το κάτω φράγμα, όταν το q λαμβάνει ρητές τιμές.
Το q τείνει προς το μηδέν αν το x είναι κοντά σε έναν ρητό αριθμό. Λαμβάνουμε μια καμπύλη που δείχνει το μέτρο αρρητότητας q(x) ενός δεδομένου αριθμού x. Μεταξύ όλων των δυνατών τιμών, δύο αριθμοί είναι οι πιο άρρητοι: ο χρυσός αριθμός: (a702)
- και το τετράγωνό του: w² = 1 - w = 0,3820...
όπως φαίνεται στο ακόλουθο διάγραμμα. (a703)
Εικ.1: Διάγραμμα q(x) που δείχνει τις δύο χαρακτηριστικές κορυφές του που αντιστοιχούν στον χρυσό αριθμό και στο τετράγωνό του.
Αυτή η συνάρτηση q(x), που δεν έχει καμία σχέση με κανένα παρατηρούμενο στοιχείο, είναι ένα καθαρά μαθηματικό αντικείμενο. Τα ορατά κενά αντιστοιχούν σε ρητά κλάσματα (q = 0).
Στη συνέχεια: οι τροχιακές περίοδοι, με μονάδα το γήινο έτος.
Ερμής: 0,2408425
Αφροδίτη: 0,6151866
Γη: 1,0000000
Άρης: 1,8808155
Δήμητρα-Παλλάς: 4,604
Δίας: 11,86178
Κρόνος: 29,45665
Ουρανός: 84,0189
Ποσειδώνας: 164,765
Πλούτωνας: 247,68
Υπολογίστε τον λόγο των τροχιακών περιόδων του Ποσειδώνα και του Πλούτωνα. (a704)
...Αν υπολογίσουμε τον λόγο δύο διαδοχικών περιόδων, διαπιστώνουμε ότι αυτοί οι λόγοι βρίσκονται μεταξύ 1/3 και 2/3. Πέντε λόγοι βρίσκονται μεταξύ 0,35 και 0,40. Το ζεύγος Ποσειδώνας-Πλούτωνας είναι επομένως συντονιστικό.
Ο Souriau εφαρμόζει το τεστ που αναφέρθηκε παραπάνω στα ζεύγη πλανητών.
Ποσειδώνας-Πλούτωνας: x = 2/3 × 0,9980 q = 0,01
Ουρανός-Ποσειδώνας: x = 1/2 × 1,0199 q = 0,04
Ουρανός-Πλούτωνας: x = 1/3 × 1,0176 q = 0,05
Αφροδίτη-Άρης: x = 1/3 × 0,9812 q = 0,06
Δίας-Κρόνος: x = 2/5 × 1,0067 q = 0,07
...Βλέπουμε ότι δύο απομακρυσμένοι πλανήτες, ο Ποσειδώνας και ο Πλούτωνας, έχουν εξαιρετικά ισχυρό συντονισμό. Ο Souriau αποφασίζει να αγνοήσει αυτό το ιδιαίτερο ζεύγος στην ακόλουθη ανάλυση, η οποία βασίζεται σε ανάλυση Fourier των περιόδων Pj: (a705)
Στο επόμενο σχήμα, σχεδιάζεται το |F(a)|⁴. (a706)
Σχήμα 2: Συνάρτηση F(a)
...Ο Souriau βρίσκει δύο σημαντικές κορυφές για τις τιμές 0,615 και 0,380, που αντιστοιχούν πολύ καλά στην καμπύλη q(x) του σχήματος 1. Βλέπε σχήμα 3.: (a707)
Σχήμα 3.
...Συμπεραίνει ότι, στο σύνολό του, το ηλιακό σύστημα είναι ένα μη συντονιστικό, ή ασθενώς συντονιστικό σύστημα. Εκτελεί έναν αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier (αντίστροφο) προκειμένου να κατασκευάσει τις πιθανές τιμές των τροχιακών περιόδων. Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier (a708)
μπορεί να κατασκευαστεί από επιλεγμένες γραμμές ak. Επιλέγει τις δύο ιδιαίτερες γραμμές: a₁ = w a₂ = w²
Στη συνέχεια λαμβάνει τα ακόλουθα αποτελέσματα. Οι πραγματικές τιμές των τροχιακών περιόδων υποδεικνύονται. (a709)
Σχήμα 4: Πιθανή περίοδος P για τους πλανήτες, με βάση ένα φάσμα περιορισμένο στις δύο ιδιαίτερες γραμμές w και w²