Το έργο του J.M. Souriau για το ηλιακό σύστημα.
...Αυτό το έργο παρουσιάστηκε από τον J.M. Souriau το 1989, σε μια επιστημονική συνάντηση αφιερωμένη στη βαρύτητα, που πραγματοποιήθηκε στη Γενεύη, Ελβετία. Ο τίτλος της εργασίας ήταν:
Συντονιστικά και μη συντονιστικά φαινόμενα στο ηλιακό σύστημα
...Ο Souriau ξεκινά από την ανάλυση των τροχιακών περιόδων των διαφόρων πλανητών. Η Γη περιστρέφεται γύρω από τον Ήλιο σε 365 ημέρες. Η διάρκεια του έτους της Αφροδίτης είναι 225 ημέρες. Από αυτούς τους δύο αριθμούς ο Souriau κατασκευάζει μια σειρά Fibonacci (όπου κάθε όρος είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων). Γνωρίζουμε ότι ο λόγος των διαδοχικών όρων τείνει προς τον χρυσό αριθμό. Συγκρίνει τις τιμές με τις τροχιακές περιόδους.
30 Ήλιος (29 ημέρες)
55 τίποτα
85 Ερμής (88 ημέρες)
140 τίποτα
225 Αφροδίτη
365 Γη.
590 (1 έτος και 7 μήνες):
Άρης (1 έτος και 10 μήνες)
955 τίποτα
1545 (4 έτη και 3 μήνες):
Δήμητρα-Παλλάς (ζώνη αστεροειδών)
2500 τίποτα
4045 (11 έτη):
Δίας (11 έτη και 10 μήνες)
6545 τίποτα
10590 (29 έτη):
Κρόνος (29 έτη και 5 μήνες)
17135 τίποτα
27725 (76 έτη)
Ουρανός (84 έτη)
44860 τίποτα
72585 (199 έτη)
Ποσειδώνας (165 έτη), Πλούτωνας (248 έτη)
...Στη συνέχεια μελετά συντονισμούς σε ζεύγη πλανητών. Μαθηματικοί (Liouville, Hurwitz, Borel) έχουν κατασκευάσει ένα μαθηματικό τεστ, ένα «μέτρο του επιπέδου παραλογισμού ενός δεδομένου αριθμού», πόσο «μακριά» απέχει από ένα ρητό κλάσμα, από τον λόγο δύο ακεραίων.
(a701)
Ο Borel εισάγει τον αριθμό:
q ( x , q) = (παρονομαστής)2
* I
x - q I
q(x)
αν το κατώτερο όριο, όταν το q λαμβάνει ρητές τιμές.
Το q τείνει προς το μηδέν αν το x είναι κοντά σε έναν ρητό αριθμό. Παίρνουμε μια καμπύλη που δείχνει το μέτρο παραλογισμού q(x) ενός δεδομένου αριθμού x. Μεταξύ όλων των δυνατών τιμών, δύο αριθμοί είναι οι πιο παράλογοι
-
Ο χρυσός αριθμός:
(a702)
-
και το τετράγωνό του: w2
= 1 - w = 0,3820...
όπως φαίνεται στο ακόλουθο διάγραμμα.
(a703)
Εικ.1 : Διάγραμμα q (x)που δείχνει τις δύο χαρακτηριστικές κορυφές του
που αντιστοιχούν στον χρυσό αριθμό και στο τετράγωνό του.
Αυτή η συνάρτηση q(x), που δεν έχει καμία σχέση με οποιοδήποτε παρατηρησιακό υλικό, είναι ένα καθαρά μαθηματικό αντικείμενο. Τα ορατά κενά αντιστοιχούν σε ρητά κλάσματα ( q = 0 ).
Στη συνέχεια: οι τροχιακοί χρόνοι, όπου η μονάδα είναι το γήινο έτος.
Ερμής : 0,2408425
Αφροδίτη : 0,6151866
Γη : 1,0000000
Άρης : 1,8808155
Δήμητρα-Παλλάς : 4,604
Δίας : 11,86178
Κρόνος : 29,45665
Ουρανός : 84,0189
Ποσειδώνας : 164,765
Πλούτωνας : 247,68
Υπολογίστε τον λόγο των τροχιακών περιόδων του Ποσειδώνα και του Πλούτωνα.
(a704)
...Αν κανείς υπολογίσει τον λόγο δύο διαδοχικών περιόδων, βλέπει ότι αυτοί οι λόγοι βρίσκονται μεταξύ 1/3 και 2/3. Πέντε λόγοι βρίσκονται μεταξύ 0,35 και 0,40. Το ζεύγος Ποσειδώνας-Πλούτωνας είναι συντονιστικό.
Ο Souriau εφαρμόζει το τεστ που αναφέρθηκε παραπάνω σε ζεύγη πλανητών.
Ποσειδώνας-Πλούτωνας : x = 2/3
x 0,9980
q = 0,01
Ουρανός-Ποσειδώνας : x = 1/2
x 1,0199
q = 0,04
Ουρανός Πλούτωνας : x = 1/3
x 1,0176
q = 0,05
Αφροδίτη-Άρης : x = 1/3
x 0,9812
q = 0,06
Δίας-Κρόνος : x = 2/5
x 1,0067
q = 0,07
...Βλέπουμε ότι δύο μακρινοί πλανήτες, ο Ποσειδώνας και ο Πλούτωνας, κατέχουν εξαιρετικά ισχυρό συντονισμό. Ο Souriau αποφασίζει να αγνοήσει αυτό το ιδιαίτερο ζεύγος πλανητών, στην ακόλουθη ανάλυση, που βασίζεται σε ανάλυση Fourier των περιόδων Pj:
(a705)
Στο επόμενο σχήμα σχεδιάζεται το IF(a)I4.
(a706)
Σχήμα 2 : Συνάρτηση F(a)
...Ο Souriau βρίσκει δύο σημαντικές κορυφές για τις τιμές 0,615 και 0,380, που ταιριάζουν πολύ καλά με την καμπύλη q(x) του σχήματος 1. Βλέπε σχήμα 3. :
(a707)
Σχήμα 3.
...Συμπεραίνει ότι, στο σύνολό του, το ηλιακό σύστημα είναι ένα μη συντονιστικό, ή ασθενώς συντονιστικό σύστημα. Κάνει έναν αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier (αμοιβαίο) προκειμένου να κατασκευάσει τις πιθανές τιμές των τροχιακών περιόδων. Ο αμοιβαίος μετασχηματισμός Fourier
(a708)
μπορεί να κατασκευαστεί από επιλεγμένες γραμμές ak. Επιλέγει τις δύο ιδιαίτερες γραμμές :
a1 = w
a2 = w2
Στη συνέχεια παίρνει τα ακόλουθα αποτελέσματα. Οι πραγματικές τιμές των τροχιακών περιόδων υποδεικνύονται.
(a709)
Σχήμα 4 : Πιθανή περίοδος P για πλανήτες, βασισμένη σε φάσμα περιορισμένο στις δύο ιδιαίτερες γραμμές w και w2
