Ο ηλιακός μας σύστημα δομημένο με τον χρυσό λόγο. Η Χρυσή Νόμος του Σουριώ. Επικλήση της εργασίας του Ζαν-Μαρί Σουριώ
για τη δυναμική του ηλιακού συστήματος.
...Η εργασία αυτή παρουσιάστηκε από τον συγγραφέα κατά τη διάρκεια ενός συμποσίου που διεξήχθη στο Παρατηρητήριο της Ζυρίχης, το 1989, με θέμα: "Επικρατήσεις και μη-επικρατήσεις στο ηλιακό σύστημα"
...Το σημείο εκκίνησης του Σουριώ είναι η ανάλυση των περιόδων των τροχιών των διαφόρων πλανητών. Ακολούθως, επιλέγει την περίοδο της Γης: 365 ημέρες και την περίοδο της Αφροδίτης: 225 ημέρες, υπολογίζοντας τη σχετική ακολουθία Fibonacci (ή τύπου Fibonacci, όπου κάθε όρος είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων). Γνωρίζουμε ότι σε αυτές τις συνθήκες, το πηλίκο δύο διαδοχικών αριθμών της ακολουθίας τείνει προς τον χρυσό λόγο.
...Ο Σουριώ παρατηρεί τα εξής:
30 Ήλιος (29 ημέρες)
55 Τίποτα
85 Ερμής (88 ημέρες)
140 Τίποτα
225 Αφροδίτη
365 Γη
590 (1 χρόνος και 7 μήνες) Άρης (1 χρόνος και 10 μήνες)
955 Τίποτα
1545 (4 χρόνια και 3 μήνες) Κέρης-Παλλάς (ζώνη αστεροειδών)
2500 Τίποτα
4045 (11 χρόνια) Δίας (11 χρόνια και 10 μήνες)
6545 Τίποτα
10590 (29 χρόνια) Κρόνος (29 χρόνια και 5 μήνες)
17135 Τίποτα
27725 (76 χρόνια) Ουρανός (84 χρόνια)
44860 Τίποτα
72585 (199 χρόνια) Νερός (165 χρόνια), Πλούτων (248 χρόνια)
...Μια αρκετά εκπληκτική συμπτώση, να το αναγνωρίσουμε. Ο Σουριώ μελετά στη συνέχεια τις επικρατήσεις μεταξύ των πλανητών. Για να γίνει αυτό, χρειάζεται ένα κριτήριο που να μετράει αν το πηλίκο x δύο περιόδων, μεταξύ 0 και 1, είναι "κοντά" σε ένα απλό κλάσμα:
...Παλιά έχει αναπτυχθεί τέτοιο κριτήριο από τους μαθηματικούς (Liouville, Hurwitz, Borel κ.λπ.). Πρόκειται για τον αριθμό:
q(x, q) = (παρονομαστής)² × |x - q|
...Εάν συμβολίζουμε με q(x) την κάτω φράγμα όταν το q διατρέχει το σύνολο των ρητών αριθμών, τότε το q είναι μηδέν αν το x είναι ρητός, μικρό αν το x είναι κοντά σε ένα ρητό· έτσι μετράει την άρρητη φύση του x. Οι "πιο άρρητοι" αριθμοί είναι ο χρυσός λόγος:
και το τετράγωνό του: w² = 1 - w = 0,3820...
Μπορεί να παρατηρηθεί στο διάγραμμα της συνάρτησης q
Σχ.1: Διάγραμμα της συνάρτησης q με τα δύο κορυφαία σημεία, που αντιστοιχούν στους "λιγότερο επικρατούς" αριθμούς: ο χρυσός λόγος και το τετράγωνό του.
...Η συνάρτηση q (που δεν έχει καμία σχέση με παρατηρήσεις) είναι ένα καθαρό "μαθηματικό αντικείμενο", μια ιδιότητα που προκύπτει από τη συνεχή ακολουθία των πραγματικών αριθμών. Αυτή η συνεχής ακολουθία εκκρίνει τότε αυτό το περίεργο φάσμα, γεμάτο "κενά" (εκεί όπου βρίσκονται τα πηλίκα ακέραιων αριθμών, δηλαδή ρητών αριθμών, όπου q = 0).
...Παρακάτω οι περίοδοι περιφοράς των κύριων πλανητών του ηλιακού συστήματος, σε χρόνια:
Ερμής: 0,2408425
Αφροδίτη: 0,6151866
Γη: 1,0000000
Άρης: 1,8808155
Κέρης-Παλλάς: 4,604
Δίας: 11,86178
Κρόνος: 29,45665
Ουρανός: 84,0189
Νερός: 164,765
Πλούτων: 247,68
Παρατηρήστε ότι το πηλίκο των περιόδων του Πλούτωνα και του Νερού είναι:
...Το πηλίκο ενός από αυτά τα μεγέθη προς το επόμενο παραμένει μεταξύ 1/3 και 2/3. Πέντε από αυτά τα εννέα πηλίκα βρίσκονται μεταξύ 0,35 και 0,40. Ο Σουριώ αρχίζει τότε να μελετά τα πηλίκα μεταξύ των περιόδων διαφόρων πλανητών. Δύο πλανήτες σε τέλεια επικράτηση θα οδηγούσαν σε πηλίκο περιόδων που θα ήταν ρητός αριθμός, δηλαδή το πηλίκο δύο ακεραίων.
...Ο Σουριώ αποφασίζει να αναλύσει τις διάφορες επικρατήσεις στο ηλιακό σύστημα, όπως βρίσκεται σήμερα. Για να γίνει αυτό, παίρνει τα πηλίκα των περιόδων περιφοράς των κύριων πλανητών, δύο-δύο, και εφαρμόζει το κριτήριο που αναφέρθηκε προηγουμένως.
...Ένας απλός υπολογισμός του επιτρέπει να δημιουργήσει τη λίστα των επικρατήσεων μεταξύ των μεγάλων πλανητών (Κέρης και Παλλάς είναι οι μεγαλύτεροι από τους "μικρούς πλανήτες" και οι περίοδοί τους διαφέρουν κατά 3 ημέρες, βρίσκονται όμως στη ζώνη των αστεροειδών), για τις οποίες το κριτήριο q είναι μικρότερο του 0,1 (παρονομαστής ? 6):
Νερός-Πλούτων: x = 2/3 × 0,9980 q = 0,01
Ουρανός-Νερός: x = 1/2 × 1,0199 q = 0,04
Ουρανός-Πλούτων: x = 1/3 × 1,0176 q = 0,05
Αφροδίτη-Άρης: x = 1/3 × 0,9812 q = 0,06
Δίας-Κρόνος: x = 2/5 × 1,0067 q = 0,07
...Η παραπάνω πίνακας δείχνει ότι οι δύο πλανήτες που βρίσκονται πιο μακριά, Νερός και Πλούτων, εμφανίζουν ιδιαίτερα έντονες επικρατήσεις. Έτσι αποτελούν ένα "εξαιρετικό" ζεύγος σε σχέση με τους υπόλοιπους, και ο Σουριώ αποφασίζει να τους αγνοήσει στην επόμενη ανάλυση, πραγματοποιώντας μια ανάλυση Fourier των περιόδων:
...Πj είναι οι περίοδοι των πλανητών, από τον Ερμή στον Ουρανό. Τα διαδοχικά πηλίκα των περιόδων βρίσκονται μεταξύ 1/3 και 2/3. Η επόμενη εικόνα απεικονίζει τη μορφή της συνάρτησης |F(a)| για a που μεταβάλλεται μεταξύ 1/3 και 2/3. Για ευκολότερη ανάγνωση, ο Σουριώ έχει σχεδιάσει το |F(a)|⁴ στο διάγραμμα.
Σχ. 2: Συνάρτηση F(a)
...
Δύο σημαντικά κορυφαία σημεία εμφανίζονται για τις τιμές 0,615 και 0,380, σε ακριβή συμφωνία με τα κορυφαία του Σχ. 1 (w = 0,618 και w² = 0,380). Ο Σουριώ τοποθετεί τότε αυτό το φάσμα πάνω στη συνάρτηση q:
Σχ. 3.
και συμπεραίνει για ένα συνολικό φαινόμενο μη-επικράτησης, εκτός από το ζεύγος επικρατήσεως Νερός-Πλούτων. Ο φάσματικός διαφορισμός F μεταξύ των δύο κορυφών μπορεί να ερμηνευθεί μέσω της αντίστροφης μετασχηματισμού Fourier: από ένα συγκεκριμένο πλήθος γραμμών ak που επιλέγονται από το φάσμα F, κατασκευάζεται η συνάρτηση F:
...Οι τιμές των Πj είναι τότε κοντά σε ορισμένα μέγιστα της πραγματικής μέρους της F. Ο Σουριώ περιορίζει τότε αυτό το φάσμα στις δύο γραμμές a₁ = w και a₂ = w² και λαμβάνει τη γραφική παράσταση του επόμενου σχήματος, όπου απεικονίζονται επίσης οι πραγματικές περίοδοι των πλανητών.
Σχ. 4: Πιθανές θέσεις P των πλανητών, βασισμένες σε φάσμα που κατασκευάστηκε από τις δύο γραμμές w και w²
../../bons_commande/bon-commande1.htm
