Μαθηματικά γεωμετρία επιφάνεια τοπολογία
Πώς να μετατρέψετε μια επιφάνεια Cross Cap
σε μια επιφάνεια Boy (δεξιά ή αριστερά, ανάλογα με την επιλογή)
περνώντας από την επιφάνεια Ρωμαϊκής Στέινερ.
Ιταλικά: Αντρέα Σαμπουσέτι, πανεπιστήμιο Ρώμης
../../Crosscap_Boy1.htm
27 Σεπτεμβρίου - 25 Οκτωβρίου 2003
Σελίδα 2
Ακολουθεί μια "επιφάνεια Cross Cap" (όπως θα την είχατε ανακαλύψει στις εικόνες πραγματικότητας). Αυτή περιέχει δύο κορυφές που είναι κορυφές μιας γραμμής αυτοτομής. Μπορείτε να την κατασκευάσετε με τη βοήθεια μιας μπαλόνιου και συρμάτων για μαλλιά. Επίσης, μπορείτε να κατασκευάσετε πολυεδρικές αναπαραστάσεις της. Η παρακάτω θα μας ενδιαφέρει ιδιαίτερα.
Στον πίνακα 4 βρίσκεται το πιο δύσκολο πράγμα που πρέπει να μάθετε. Μου φαίνεται αδύνατο να καταλάβει κάποιος αυτά τα αντικείμενα καλά απλώς παρατηρώντας τις εικόνες. Κατασκευάστε μοντέλα. Απλώς, τραβάμε την κορυφή C2 προς το "εσωτερικό της επιφάνειας" (που, για την ακρίβεια, δεν έχει κανένα νόημα, επειδή, όπως θα έχετε προσέξει αμέσως, η επιφάνεια Cross Cap είναι μονόπλευρη: δεν έχει εξωτερική και εσωτερική όψη). Συνεχίζοντας, η επιφάνεια "διαπερνά τον εαυτό της", και το σύνολο της αυτοτομής ολοκληρώνεται, λίγο στρογγυλοποιώντας τα πράγματα, με μια καμπύλη σχήματος 8. Έτσι, δημιουργήθηκε, για πληροφορία, ένα τριπλό σημείο T.
Η επιφάνεια γίνεται πιο κατανοητή στην πολυεδρική της μορφή, και στο κάτω μέρος έχουμε μεγεθύνει κάποια στοιχεία για να δείξουμε τι μας οδηγεί στη μετατροπή αυτού του αντικειμένου σε επιφάνεια Ρωμαϊκής Στέινερ (βλέπε την προσομοίωση πραγματικότητας), η οποία πιο απλή πολυεδρική μορφή αποτελείται από τη συναρμολόγηση τεσσάρων κύβων (εδώ βλέπουμε μόνο τρεις).
Πίνακας 5: πολυεδρική έκδοση αριστερά, κυκλική δεξιά. Το βέλος περνά από το σημείο που πρόκειται να "σφίξουμε". Κάτω από αυτό, η αρχή της διαδικασίας σφίξης.
Πίνακας 6: η σφίξη πραγματοποιείται και δημιουργεί ένα σημείο αποκοπής B. Στην πραγματικότητα, επειδή τη σφίγγουμε από και τις δύο πλευρές (για να εξοικονομήσουμε χρόνο), δημιουργούνται δύο σημεία αποκοπής S1 και S1, στη συνέχεια δύο κορυφές. Τώρα, χωρίς χαρτί, ψαλίδια και ταινία, είστε σε δύσκολη θέση.
Πίνακας 7: εδώ έχουμε απλώς μετακινήσει τις διάφορες κορυφές. Αν το σημείο C2 είναι "εμφανές", θα έχετε σίγουρα περισσότερες δυσκολίες να αναγνωρίσετε τα σημεία C3 και C4 ως κορυφές. Ωστόσο, είναι εκεί, στα άκρα μιας γραμμής αυτοτομής. Από πάνω του σημείου C3 βρίσκεται απλώς αυτό που ονόμασα "ποσικώνος", δηλαδή ένα σημείο όπου συγκεντρώνεται θετική καμπυλότητα (ένα σημείο όπου συγκεντρώνεται αρνητική καμπυλότητα ονομάζω "νεγακώνος"). Με μια μικρή παραμόρφωση αυτού του αντικειμένου, φτάνουμε στην πολυεδρική μορφή της επιφάνειας Ρωμαϊκής Στέινερ (εφευρεθείσα από τον Στέινερ στη Ρώμη· βλέπε την εικόνα πραγματικότητας).
Έτσι, το παιχνίδι τελείωσε. Υπάρχουν διάφορες μορφές επιφανειών, ανάλογα με τους κανόνες που επιβάλλετε. Οι επιφάνειες που δεν αυτοτομούν ονομάζονται "ενσωματώσεις" (της σφαίρας ή του τόρου στο R³). Όταν αυτοτομούνται, αλλά το εφαπτόμενο επίπεδο μεταβάλλεται συνεχώς χωρίς να αποστερείται την ομαλότητα, ονομάζονται εμβυθίσεις. Για παράδειγμα: η μπουκαλίδα Κλάιν, στην κλασική της αναπαράσταση. Στο R³ δεν υπάρχει αναπαράσταση της μπουκαλίδας Κλάιν ως ενσωμάτωση: αναγκαστικά αυτοτομείται. Οι εμβυθίσεις έχουν σύνολα αυτοτομής χωρίς κορυφές. Αυτά τα σύνολα είναι συνεχείς καμπύλες, αλλά μπορούν να διασταυρώνονται σε διπλά ή τριπλά σημεία. Παρατήρηση: η σφαίρα μπορεί να πραγματοποιηθεί ως εμβύθιση (που δεν είναι ενσωμάτωση), αφήνοντάς την να αυτοτομείται. Αυτός είναι στην πραγματικότητα ο τρόπος με τον οποίο μπορεί κανείς να την αναστρέψει (βλέπε τη μέθοδο του A. Phillips, 1967, που έχει ως κεντρικό βήμα τη διπλή επικάλυψη μιας επιφάνειας Boy· και βλέπε επίσης το B. Morin και J.P. Petit, 1979, όπου χρησιμοποιείται ως κεντρικό μοντέλο το "μοντέλο με τέσσερα αυτιά" του Morin, το οποίο εδώ βλέπετε μια πολυεδρική αναπαράσταση που εφεύρα πριν από δέκα χρόνια).
Σχέδιο συναρμολόγησης αυτού του αντικειμένου με χαρτί και ψαλίδια
Εάν επεκτείνουμε τους κανόνες του παιχνιδιού, αποδεχόμενοι ότι αυτά τα αντικείμενα μπορούν να έχουν και κορυφές, προκύπτουν τα συμμερισμοί (η Cross Cap, η επιφάνεια Ρωμαϊκής Στέινερ). Δεν ξέρω αν το λέξη "συμμερισμός" είναι η σωστή, αλλά επειδή δεν βρήκα κανένα μαθηματικό που να μου διευκρινίσει τις ιδέες, βρήκα διασκεδαστικό να εφεύρω μια, προσωρινά τουλάχιστον, μέχρι να προσέλθει ένας εμπειρογνώμονας γεωμέτρης. Έτσι, η επιφάνεια Cross Cap και η επιφάνεια Ρωμαϊκής Στέινερ θα ήταν συμμερισμοί του "επίπεδου προβολικού".
Να σας πω την αλήθεια, μετά από είκοσι πέντε χρόνια δραστηριότητας και τις απογοητεύσεις μου στον τομέα της μαγνητοϋδροδυναμικής, ξεκίνησα αυτές τις εργασίες επειδή μου φαινόταν ότι ήταν οι πιο μακρινές από κάθε στρατιωτική εφαρμογή. Αλλά, όπως μου υπέδειξε ο παλιός μου φίλος Μιν, το όνομα "συμμερισμός" μπορεί να προκαλέσει σύγχυση και να κάνει τη Ναυτική να πιστέψει ότι με αυτές τις έρευνες προσπαθώ να κρύψω προόδους στην υποβρύχια προώθηση.
Η κανόνας "δημιουργία-αποσύνθεση" ζευγών κορυφών επιτρέπει τη μετάβαση από έναν συμμερισμό ενός αντικειμένου σε έναν άλλο, και αυτό είναι ακριβώς αυτό που κάναμε πρόσφατα, δείχνοντας ότι η Cross Cap και η επιφάνεια Ρωμαϊκής Στέινερ είναι δύο συμμερισμοί του ίδιου αντικειμένου, γνωστού ως επίπεδο προβολικό. Μην προσπαθήσετε να φανταστείτε ένα "επίπεδο προβολικό". Αυτό το αντικείμενο μπορεί να κατανοηθεί μόνο μέσω διαφορετικών αναπαραστάσεων. Όσον αφορά τον όρο "προβολικό", δεν είναι παρά ένας από τους χιλιάδες που εφεύρανε οι μαθηματικοί για να τρομάξουν εκείνους που θέλουν να εισέλθουν στο κλειστό τους κύκλο. Το Ζανικέλι δεν θα σας είναι χρήσιμο στα μαθηματικά.
Μας απομένει να δούμε πώς να περάσουμε στην επιφάνεια του Boy, που είναι μια εμβύθιση του επιπέδου προβολικού
Προηγούμενη σελίδα Επόμενη σελίδα
[Επιστροφή στον κατάλογο "Μετ