Μαθηματικά γεωμετρία επιφάνειες τοπολογία
Πώς να μετατρέψετε μια επιφάνεια Cross Cap
σε μια επιφάνεια Boy (δεξιά ή αριστερά, ανάλογα με την επιλογή σας)
περνώντας από τη ρωμαϊκή επιφάνεια του Steiner.
Ιταλικά: Αντρέα Σαμπουσέτι, πανεπιστήμιο Ρώμης
../../Crosscap_Boy1.htm
27 Σεπτεμβρίου - 25 Οκτωβρίου 2003
Σελίδα 2
Αντίστοιχα, μια "επιφάνεια Cross Cap" (όπως θα την είχατε ανακαλύψει στις εικόνες της εικονικής πραγματικότητας). Αυτή περιέχει δύο κορυφές που είναι κορυφές μιας γραμμής αυτοτομής. Μπορείτε να τη δημιουργήσετε πιέζοντας ένα μπαλόνι με κλειδαριές για μαλλιά. Αλλά μπορείτε επίσης να δημιουργήσετε πολυεδρικές αναπαραστάσεις της. Αυτή που φαίνεται παρακάτω θα μας ενδιαφέρει ιδιαίτερα.
Στον πίνακα 4 βρίσκεται το πιο δύσκολο πράγμα να μάθετε. Μου φαίνεται αδύνατο να καταλάβει κάποιος αυτά τα αντικείμενα καλά απλώς παρατηρώντας τα σχήματα. Κατασκευάστε μοντέλα. Απλώς, τραβάμε την κορυφή C2 προς το "εσωτερικό της επιφάνειας" (που, μεταξύ των γραμμών, δεν έχει κανένα νόημα, επειδή, προφανώς, η επιφάνεια Cross Cap είναι μονόπλευρη: δεν έχει εξωτερική και εσωτερική όψη). Με συνέχεια, η επιφάνεια "διαπερνά" τον εαυτό της, και το σύνολο της αυτοτομής συμπληρώνεται, λίγο στρογγυλεύοντας τα πράγματα, με μια καμπύλη σχήματος 8. Έτσι, επιτεύχθηκε, επίσης, ένα τριπλό σημείο T.
Η επιφάνεια γίνεται πιο κατανοητή στην πολυεδρική της μορφή, και παρακάτω έχουμε μεγεθύνει ορισμένα στοιχεία για να δείξουμε τι μας οδηγεί στη μετατροπή αυτού του αντικειμένου σε ρωμαϊκή επιφάνεια του Steiner (βλέπε την εικονική πραγματικότητα), η απλούστερη πολυεδρική μορφή της οποίας αποτελείται από τη συναρμολόγηση τεσσάρων κύβων (εδώ βλέπουμε μόνο τρεις).
Πίνακας 5: πολυεδρική έκδοση αριστερά, γύρω δεξιά. Το βέλος περνά από το σημείο που πρόκειται να "σφιχτούμε". Παρακάτω, η αρχή της διαδικασίας σφίξης.
Πίνακας 6: η σφίξη πραγματοποιείται και δημιουργεί ένα σημείο αποκοπής B. Πραγματικά, επειδή τη σφίγγουμε από και τις δύο πλευρές (για να εξοικονομήσουμε χρόνο), δημιουργούνται δύο σημεία αποκοπής S1 και S1, στη συνέχεια δύο κορυφές. Τώρα, χωρίς χαρτί, ψαλίδια και ταινία, είστε σε δύσκολη θέση.
Πίνακας 7: εδώ απλώς μετακινήσαμε τις διάφορες κορυφές. Εάν το σημείο C2 είναι "προφανές", θα έχετε σίγουρα μεγαλύτερες δυσκολίες να αναγνωρίσετε τα σημεία C3 και C4 ως κορυφές. Ωστόσο, είναι εκεί, στα άκρα μιας γραμμής αυτοτομής. Πάνω από το σημείο C3 βρίσκεται απλώς αυτό που ονόμασα "ποσικώνος", δηλαδή ένα σημείο όπου συγκεντρώνεται θετική καμπυλότητα (ένα σημείο όπου συγκεντρώνεται αρνητική καμπυλότητα το ονομάζω "νεγκακώνος"). Με μια μικρή παραμόρφωση αυτού του αντικειμένου, φτάνουμε στην πολυεδρική μορφή της ρωμαϊκής επιφάνειας του Steiner (εφεύρεση του Steiner στη Ρώμη· βλέπε την εικονική πραγματικότητα).
Έτσι, το παιχνίδι είναι ολοκληρωμένο. Υπάρχουν διάφορες μορφές επιφανειών, ανάλογα με τους κανόνες που επιβάλλετε. Οι επιφάνειες που δεν αυτοτομούν ονομάζονται "ενσωματώσεις" (της σφαίρας ή του τόρου στο R³). Όταν αυτοτομούνται, αλλά το εφαπτόμενο επίπεδο μεταβάλλεται συνεχώς χωρίς να αποκατασταθεί, ονομάζονται εμβυθίσεις. Για παράδειγμα: η μπουκάλα του Klein, στην κλασική της αναπαράσταση. Στο R³ δεν υπάρχει αναπαράσταση της μπουκάλας του Klein ως ενσωμάτωση: αυτοτομεί αναπόφευκτα. Οι εμβυθίσεις έχουν σύνολα αυτοτομής χωρίς κορυφές. Αυτά τα σύνολα είναι συνεχείς καμπύλες, αλλά μπορούν να διασταυρώνονται σε διπλά ή τριπλά σημεία. Παρατήρηση: η σφαίρα μπορεί να πραγματοποιηθεί ως εμβύθιση (που δεν είναι ενσωμάτωση), κάνοντάς την να αυτοτομεί. Πράγματι, αυτός είναι ο τρόπος με τον οποίο μπορεί κανείς να την αναστρέψει (βλέπε τη μέθοδο του A. Phillips, 1967, που έχει ως κεντρικό βήμα το διπλό επίκαλυψη μιας επιφάνειας Boy· και βλέπε επίσης τους B. Morin και J.P. Petit, 1979, όπου χρησιμοποιείται ως κεντρικό μοντέλο το μοντέλο "με τέσσερα αυτιά" του Morin, το οποίο εδώ βλέπετε μια πολυεδρική αναπαράσταση που εφεύρα πριν από δέκα χρόνια).
Σχέδιο συναρμολόγησης αυτού του αντικειμένου με χαρτί και ψαλίδια
Εάν επεκτείνουμε τους κανόνες του παιχνιδιού αποδεχόμενοι ότι αυτά τα αντικείμενα μπορούν να έχουν και κορυφές, προκύπτουν τα συμβιβασμένα (η Cross Cap, η ρωμαϊκή επιφάνεια του Steiner). Δεν ξέρω αν το όνομα "συμβιβασμένα" είναι σωστό, αλλά επειδή δεν βρήκα κανένα μαθηματικό να μου διευκρινίσει την ιδέα, βρήκα διασκεδαστικό να εφεύρω ένα, προσωρινά τουλάχιστον, μέχρι να προσέλθει ένας εμπειρογνώμονας. Έτσι, η επιφάνεια Cross Cap και η ρωμαϊκή επιφάνεια του Steiner θα ήταν συμβιβασμένες του "προβολικού επιπέδου".
Να σας πω την αλήθεια, μετά από είκοσι πέντε χρόνια δραστηριότητας και τις απογοητεύσεις μου στην Μαγνητο-Υδροδυναμική, άρχισα αυτή τη δουλειά επειδή μου φαινόταν ότι ήταν τα πιο μακρινά από κάθε στρατιωτική εφαρμογή. Αλλά, όπως μου έδειξε ο παλιός μου φίλος Μιν, το όνομα "συμβιβασμένα" μπορεί να προκαλέσει σύγχυση και να κάνει να νομίζει η Ναυτική Αρχή ότι μέσω αυτών των έρευνας προσπαθώ να κρύψω προόδους στην υποβρύχια προώθηση.
Η κανόνας "δημιουργία-αποσύνθεση" ζευγών κορυφών επιτρέπει τη μετάβαση από μία συμβιβασμένη ενός αντικειμένου σε μία άλλη, και αυτό ακριβώς έκαναμε, δείχνοντας ότι η Cross Cap και η ρωμαϊκή επιφάνεια του Steiner είναι δύο συμβιβασμένες του ίδιου αντικειμένου, γνωστού ως προβολικό επίπεδο. Μην προσπαθήσετε να φανταστείτε ένα "προβολικό επίπεδο". Αυτό το αντικείμενο μπορεί να κατανοηθεί μόνο μέσω διαφορετικών αναπαραστάσεων. Όσον αφορά τον όρο "προβολικό", δεν είναι παρά ένας από τους χιλιάδες εφευρέθηκε από τους μαθηματικούς για να αποτρέψουν εκείνους που θέλουν να εισχωρήσουν στο κλειστό τους κύκλο. Το Ζανιτσέλι δεν θα σας είναι χρήσιμο στα μαθηματικά.
Μας μένει τώρα να δούμε πώς να πάμε στην επιφάνεια Boy, η οποία είναι μία εμβύθιση του προβολικού επιπέδου
Προηγούμενη σελίδα Επόμενη σελίδα