Γεωμετρία των επιφανειών: μαθηματικά μοντέλα

Πώς να μετατρέψεις μια επιφάνεια Cross Cap
σε επιφάνεια Boy (δεξιά ή αριστερά, όπως επιθυμείς)
διαμέσου της επιφάνειας Steiner-Roman.

Ιταλικά: Αντρέα Σαμπουσέτι, πανεπιστήμιο Ρώμης

../../Crosscap_Boy1.htm

27 Σεπτεμβρίου - 25 Οκτωβρίου 2003

Σελίδα 4

Παρουσιάζουμε το μοντέλο από έναν άλλο σημείο θέασης:

Πίνακας 14: Επαναλαμβάνουμε την ίδια ενέργεια, δημιουργώντας το τρίτο "αυτί" της καμπύλης αυτοτομής. Στο πολυεδρικό μοντέλο, αυτό έχει τη μορφή τριών τετραγώνων με κοινή κορυφή: το τριπλό σημείο T.

Πίνακας 15: Περιστρέφοντας το αντικείμενο θα επανακαλέσετε την πολυεδρική έκδοση της επιφάνειας Boy που είχα παρουσιάσει στο Topologicon (όπου μπορείτε να βρείτε και ένα σχέδιο συναρμολόγησης για να την κατασκευάσετε).

Τελευταίος πίνακας: Προσπάθησα να απεικονίσω την επιφάνεια Steiner να περιστρέφεται και να μετατρέπεται σε επιφάνεια Boy.

Βλέπουμε ότι, όταν σχεδιάζεται σε "κυκλική" μορφή, χρειάζεται αρκετή εμπειρία για να την κατανοήσει κανείς. Το μάτι μας είναι πολύ ανάσχεστο όταν πρόκειται για την κατανόηση ενός αντικειμένου για το οποίο, σε μία και την ίδια γραμμή οπτικής, επικαλύπτονται περισσότερα από δύο φύλλα. Από εδώ προκύπτει το ενδιαφέρον του πολυεδρικού μοντέλου, που καθιστά προσβάσιμες για όλους, αρκεί να προσπαθήσουν να κατασκευάσουν μόνοι τους τα μικρά μοντέλα, μετατροπές που θεωρούνται πολύπλοκες στη γεωμετρία. Παρατηρούμε επίσης ότι, ανάλογα με τα ζεύγη κορυφών που επιλέγουμε, προκύπτει μία επιφάνεια Boy "δεξιά" ή "αριστερά" (πλήρως τυχαίες ορισμοί). Το επίπεδο του προβολικού μεταφέρεται στο χώρο μέσω δύο αντιστρόφων αντικατοπτρικών αναπαραστάσεων. Έτσι, βλέπουμε ότι μπορούμε να περάσουμε από μία επιφάνεια Boy δεξιά σε μία επιφάνεια Boy αριστερά μέσω ενός "κεντρικού" μοντέλου, που είναι η επιφάνεια Steiner-Roman.

Θα ήταν βέβαια ωραίο αν αυτά τα σχέδια είχαν δημοσιευτεί σε επιθεωρήσεις όπως το Pour la Science ή La Recherche. Αλλά εδώ και δεκαέτια μου έχει "απαγορευτεί" η δημοσίευση σε αυτές τις επιθεωρήσεις λόγω "υπερβολικής εξωγήινης θεωρίας". Ευχαριστώ, κύριοι Χερβέ Τίς και Φιλίππο Μπουλανγκέρ. Έχω χάσει τον αριθμό των άρθρων αυτού του είδους που πρότεινα σε αυτές τις επιθεωρήσεις και που μου απορρίφθηκαν με ευγένεια. Τελικά συνηθίζεις τον κατάστασή σου ως "αποκλεισμένος".

Ως επισήμανση, υπάρχει ένα "βραβείο Αλεμπέρ" για την αντιμετώπιση των συγγραφέων βιβλίων δημοσίευσης των μαθηματικών. Η ιστορία μου την άκουσα από ένα μέλος της επιτροπής που είχε την ευθύνη να αποφασίσει ποιος θα το λάβει (υπάρχουν φυσικά και οικονομικές σκέψεις πίσω). Διάλογος:

• Λοιπόν, γιατί δεν δώσουμε το βραβείο στο Πιτέ; Έχει γράψει πολύ σημαντικά έργα όπως το "Géométricon", το "Trou Noir" και το "Topologicon".

• Ναι, αλλά δεν έκανε μόνο αυτό.

• Τι εννοείτε;

• Έγραψε και το "Mur du Silence".

• Α, ναι, τότε...

Ναι, το "Mur du Silence", δημοσιευμένο το 1983, είναι ένας κατάλογος αφιερωμένος στη ΜΗΔ. Και, όπως όλοι μας ξέρουμε, αυτή η διαβρωτική επιστήμη έχει ως πλεονέκτημα ή μειονέκτημα τη δυνατότητα να επιτρέπει στα πεταχτά δίσκους να κινούνται με υπερηχητική ταχύτητα χωρίς να κάνουν "Bang".

« Κρύψτε αυτή την επιστήμη, που δεν μπορώ να την δω »

Έχω στα κουτιά μου μία υπέροχη έκδοση της "αναποδογύρισης του κύβου", που δεν είναι η πολυεδρική έκδοση της εκδοχής του Μόριν. Όλα από τον ίδιο μου τον εαυτό. Μία από αυτές τις μέρες...

22 Οκτωβρίου 2003: Δεν υπάρχει πολύς κόπος σε αυτές τις σελίδες, αν πρέπει να πιστέψω το μετρητή. Την Δευτέρα 13 Οκτωβρίου 2003 έδωσα μία διάλεξη στο CMI (Κέντρο Μαθηματικών και Πληροφορικής στο Château-Gombert-Marseille) με πρόσκληση του Τρότμαν. Εκείνη την ευκαιρία μπόρεσα να βγάλω ένα σύνολο περίπου τριάντα μοντέλων από χαρτί, τα οποία θα μπορέσετε να δείτε για πρώτη φορά κάποια μέρα, επειδή έχουν φωτογραφηθεί από τον Χριστόφ Τάρντυ.

Όταν δίνεις μία διάλεξη, δημιουργείται μία συγκεκριμένη ατμόσφαιρα. Στη φωτογραφία παρακάτω, βλέπετε ένα γεωμέτρη που εκφράζει την απορία του.

Στο πίσω φόντο, μέρος των μοντέλων που είχαν εκτεθεί με τη βοήθεια του μακροχρόνιου συνεργάτη μου, του Μπόρις Κολέβ, μέλους του τμήματος, ο οποίος είναι επίσης γεωμέτρης. Σε μία στιγμή έθεσα την ερώτηση:

• Πόσοι από εσάς έχετε ήδη δει μία επιφάνεια Steiner-Roman; Ανασηκώστε το χέρι σας.

Κανένας δεν την είχε δει ποτέ. Επομένως, ένιωσα ότι ήταν χρήσιμο να την παρουσιάσω, με ένα πρόγραμμα πραγματικής προσομοίωσης, στο φορητό υπολογιστή που είχα μαζί μου, πρόγραμμα που είχε δημιουργηθεί με τη βοήθεια του Χριστόφ Τάρντυ, μηχανικού, και του Φρεντερίκ Ντεσκαμπ, του Ινστιτούτου Laue Langevin στο Γκρενόμπλ (ILL). Φαίνεται προφανές ότι αυτή η παρουσίαση συγκλόνισε το κοινό, που δεν είναι συνηθισμένο να βλέπει μαθηματικές επιφάνειες να γυρίζουν όπως θέλουν.

Δύο πολυεδρικοί πίνακες, που είναι ορατοί στο προσκήνιο, επέτρεψαν να παρουσιαστεί η πλήρης ακολουθία των μοντέλων σε λογική σειρά. Τα μοντέλα σε πράσινο και κίτρινο απεικονίζουν, με πολυεδρική μορφή, το βασικό εργαλείο δημιουργίας-αποσυναρμολόγησης μίας ζεύξης κορυφών. Το λευκό αντικείμενο πιο μακριά είναι μία πολυεδρική έκδοση της επιφάνειας Cross Cap, η οποία μετατρέπεται πρώτα σε πολυεδρική έκδοση της επιφάνειας Steiner-Roman, στη συνέχεια, ένα μέτρο πιο μακριά, επιλογή, σε επιφάνεια Boy "δεξιά" ή "αριστερά".

Η ανάλυση των μοντέλων επιφέρει διάφορες παρατηρήσεις από το κοινό. Ένας από τους γεωμέτρες ρωτά:

• Αν είναι αλήθεια ότι, ακολουθώντας τα μοντέλα σε αυτή τη σειρ