Σφαίρα τοπολογία μαθηματικά μοντέλα
Ιταλικά: Αντρέα Σαμπουσέτι, πανεπιστήμιο Ρώμης
Κάντε κλικ εδώ για να εμφανιστεί η σχέση του μοντέλου 1:1, για εκτύπωση και κοπή.
Με τη φωτοτυπία τεσσάρων αντιγράφων σε χαρτί καρτόνι δύο διαφορετικών χρωμάτων, μπορείτε να κατασκευάσετε το μοντέλο μόνοι σας, ακολουθώντας τις οδηγίες για τη συναρμολόγησή του.
Σίγουρα έχετε δει ένα περίεργο αντικείμενο να στρέφεται αναπάντεχα στην αριστερή πλευρά της αρχικής σελίδας αυτού του ιστοτόπου. Τι είναι αυτό;
Ένας μέρα, όταν βρω χρόνο, θα εγκαταστήσω σε αυτόν τον ιστοτόπο μια περιγραφή της αναστροφής της σφαίρας, όπως την είχα εξηγήσει στον τεύχος του Pour la Science του Ιανουαρίου 1979, δηλαδή... πριν από 22 χρόνια! Αυτό θα απαιτήσει πολλές λεπτομέρειες και μια εισαγωγή. Τι σημαίνει "αναστροφή μιας σφαίρας"; Μια σφαίρα δεν έχει το ίδιο νόημα για τον κοινό άνθρωπο και για τον μαθηματικό-γεωμέτρη. Για τον κοινό άνθρωπο, δεν είναι τίποτα άλλο παρά ο χώρος των σημείων του χώρου που βρίσκονται σε απόσταση R από ένα προκαθορισμένο σημείο O. Ο γεωμέτρης θα συνεχίσει να αποκαλεί "σφαίρα", επίσης, ένα αντικείμενο που αντιστοιχεί σε μια "σφαίρα παραμορφωμένη", όπως μια πατάτα για παράδειγμα. Για να κατανοήσετε ακριβέστερα αυτές τις έννοιες, προμηθευτείτε το CD του Lanturlu που περιέχει το κόμικ "Topologicon". Αλλά ο μαθηματικός πηγαίνει και πιο μακριά. Μια επιφάνεια ονομάζεται "κανονική" όταν σε κάθε σημείο της μπορεί να οριστεί ένα εφαπτόμενο επίπεδο. Αυτό επιτρέπει ήδη να σκεφτούμε μια άπειρη ποικιλία κανονικών παραμορφώσεων της σφαίρας, σε όλες τις δυνατές μορφές μιας πατάτας, με την προσθήκη της δυνατότητας να μεταβάλλεται ελεύθερα η επιφάνεια αυτής της επιφάνειας. Παρ' όλα αυτά, στο φυσικό μας σύμπαν, μια άτομο που προσπαθεί να αναστρέψει τη σφαίρα (δηλαδή να φέρει την εσωτερική επιφάνεια στο εξωτερικό) θα συναντήσει την αδυναμία να επιτρέψει στην επιφάνειά του να διαπεράσει τον εαυτό της. Όταν λαμβάνεται αυτή η υπόθεση, δηλαδή όταν απαγορεύεται η διαπέραση της επιφάνειας από τον εαυτό της ή ακόμη και η "επαφή", ο μαθηματικός μιλά για την "ενσωμάτωση" της σφαίρας S2. Αλλά ένας μαθηματικός επιτρέπει πάντα όλα. Μια σφαίρα είναι, για αυτόν, ένα "εικονικό" αντικείμενο και όχι υλικό, όπου η διαπέραση μιας επιφάνειας θεωρείται δυνατή. Η ακολουθία των σχεδίων παρακάτω δείχνει μια σφαίρα που διαπερνά τον εαυτό της. Μια τέτοια αναπαράσταση, η οποία επιτρέπει δηλαδή διαπεράσεις, ονομάζεται "εμβύθιση".
Μια εμβύθιση έχει επομένως ένα σύνολο αυτοτομών (εδώ πρόκειται για μια απλή κυκλική καμπύλη). Το εφαπτόμενο επίπεδο πρέπει όμως να μεταβάλλεται συνεχώς. Με αυτή την προϋπόθεση, όταν κοιτάζετε το σχέδιο παραπάνω, βλέπετε καθαρά ότι η ενέργεια φέρνει μια μερική εσωτερική επιφάνεια (απεικονισμένη σε πράσινο) στο εξωτερικό. Για να ολοκληρώσετε την αναστροφή, θα πρέπει να συμπιέσετε αυτό το είδος του ισοδύναμου ισημερινού. Εδώ φαίνεται να υπάρχει ένα πρόβλημα: αυτή η συμπίεση θα καταστρέψει τη συνέχεια του εφαπτόμενου επιπέδου, και αυτή η μετασχηματισμός θα περιλαμβάνει ένα βήμα που δεν είναι εμβύθιση.
Μια μέρα ένας Αμερικανός μαθηματικός, Στέφεν Σμέιλ, απέδειξε ότι "η σφαίρα S2 διαθέτει μόνο μία κλάση εμβυθίσεων". Αυτή η αινιγματική φράση είχε ως συνέπεια ότι θα έπρεπε να μπορεί να περάσει, μέσω μιας μετασχηματισμού που περιλαμβάνει μόνο πραγματικές εμβυθίσεις, από τη "συνηθισμένη" σφαίρα στην "αντίποδη" αναπαράστασή της, δηλαδή σε αυτή όπου κάθε σημείο αντικαθίσταται με το αντίποδό του: με άλλα λόγια... μια αναστραμμένη σφαίρα. Ο Ραούλ Μπότ ήταν ο αρχηγός του Σμέιλ. Παρότι η επίσημη απόδειξη αυτού του γεγονότος φαινόταν σωστή, κανείς δεν φαινόταν ικανός να πραγματοποιήσει συγκεκριμένα αυτή τη διαδικασία αναστροφής. Ο Μπότ συνέχιζε να ρωτά τον Σμέιλ "δείξε μου πώς νομίζεις ότι θα προχωρούσες"; και ο Σμέιλ, γνωστός για την άκρως ευθεία του γλώσσα, απαντούσε "δεν έχω την παραμικρή ιδέα". Ο Σμέιλ κέρδισε στη συνέχεια το βραβείο Φιλντ, το ισοδύναμο του Νόμπελ για τα μαθηματικά. Παρατηρήστε ότι ίσως να ρωτήσετε γιατί δεν υπάρχει το βραβείο Νόμπελ για τα μαθηματικά. Η απάντηση είναι απλή: η γυναίκα του έφυγε με ένα μαθηματικό.
Τα πράγματα έμειναν έτσι για πολλά χρόνια, μέχρι που ένας Αμερικανός μαθηματικός, Αντόνι Φίλιπς, δημοσίευσε το 1967 στο Scientific American μια πρώτη έκδοση αυτής της αναστροφής, εξαιρετικά περίπλοκη. Η δεύτερη εφευρέθηκε στις αρχές της δεκαετίας του '70 από τον Γάλλο μαθηματικό (ανέβλεπο) Μπερνάρ Μορίν. Ήμουν ο πρώτος που σχεδίασα την ακολουθία των μετασχηματισμών, που θα αποτελέσει, όπως σας είχα ανακοινώσει, ένα προσεχές άρθρο σε αυτόν τον ιστοτόπο, επίσης πολύ πλούσιο. Ωστόσο, όλα αυτά μας οδηγούν σε μια σκέψη. Οι επιφάνειες μπορούν να αναπαρασταθούν σε πολυεδρική μορφή. Ένας κύβος ή ένα τετράεδρο μπορούν να θεωρηθούν ως πολυεδρικές αναπαραστάσεις της σφαίρας, στο νόημα ότι αυτά τα αντικείμενα έχουν την ίδια τοπολογία. Σε αυτό το σημείο, επισκεφθείτε το Topologicon μου. Επίσης, καταλαβαίνετε ότι, αν είναι δυνατή η αναστροφή της σφαίρας, θα είναι επίσης δυνατή η αναστροφή ενός κύβου. Ο μετασχηματισμός που εφευρέθηκε από τον Μπερνάρ Μορίν (που εικονογράφησα στο άρθρο του Ιανουαρίου 1979 στο Pour la Science) περνά από ένα κεντρικό μοντέλο. Υπάρχει μια συμμετρία σε αυτή την ακολουθία. Είναι αυτή που ονομάζω "κεντρικό μοντέλο με τέσσερα αυτιά". Προλαμβάνω κάτι. Ωστόσο, όπως η σφαίρα προσφέρεται σε πολυεδρικές αναπαραστάσεις, το ίδιο ισχύει για τα επόμενα βήματα αυτού του μετασχηματισμού. Αυτό που βλέπετε να στρέφεται στην αρχική μου σελίδα είναι η πολυεδρική έκδοση του κεντρικού μοντέλου της αναστροφής της σφαίρας, που εφεύρα μία δεκαετία πριν. Το ενδιαφέρον των πολυεδρικών μοντέλων βρίσκεται στο γεγονός ότι μπορούν να κατασκευαστούν με επίπεδες επιφάνειες. Μπορούν επίσης να κατασκευαστούν με χαρτί και ψαλίδια. Κοιτάξτε το σχέδιο παρακάτω (ευχαριστώ εν παρενθέσει τον φίλο μου