Σφαίρα τοπολογία μαθηματικά μοντέλα
Ιταλικά: Andrea Sambusetti, πανεπιστήμιο Ρώμης
Κάντε κλικ εδώ για να εμφανιστεί η εικόνα του μοντέλου σε κλίμακα 1:1, για εκτύπωση και κοπή.
Με την εκτύπωση τεσσάρων αντιγράφων σε χαρτί μεγάλης ποιότητας δύο διαφορετικών χρωμάτων, μπορείτε να κατασκευάσετε το μοντέλο μόνοι σας, ακολουθώντας τις οδηγίες για τη συναρμολόγησή του.
Σίγουρα έχετε δει ένα περίεργο αντικείμενο να στρέφεται αναπάντεχα στην αριστερή πλευρά της αρχικής σελίδας αυτού του ιστοτόπου. Τι είναι αυτό;
Ένας μέρα, όταν βρω χρόνο, θα εγκαταστήσω σε αυτόν τον ιστότοπο μια περιγραφή της αναστροφής της σφαίρας, όπως την είχα εικονογραφήσει στον τόμο του Pour la Science του Ιανουαρίου 1979, δηλαδή... πριν από 22 χρόνια! Αυτό θα απαιτήσει πολλές λεπτομέρειες και μια εισαγωγή. Τι σημαίνει "αναστροφή μιας σφαίρας"; Η σφαίρα δεν έχει το ίδιο νόημα για τον κοινό άνθρωπο και για τον μαθηματικό-γεωμέτρη. Για τον κοινό άνθρωπο, δεν είναι τίποτα άλλο παρά ο χώρος των σημείων του χώρου που βρίσκονται σε απόσταση R από ένα προκαθορισμένο σημείο O. Ο γεωμέτρης, ωστόσο, θα συνεχίσει να αποκαλεί "σφαίρα", ακόμη και ένα αντικείμενο που αντιστοιχεί σε μια "σφαίρα παραμορφωμένη", όπως μια πατάτα για παράδειγμα. Για να κατανοήσετε ακριβέστερα αυτές τις έννοιες, προμηθευτείτε το CD του Lanturlu που περιέχει την κόμικ "Topologicon". Ωστόσο, ο μαθηματικός πηγαίνει ακόμη πιο μακριά. Μια επιφάνεια ονομάζεται "κανονική" όταν σε κάθε σημείο της μπορεί να οριστεί ένα εφαπτόμενο επίπεδο. Αυτό επιτρέπει ήδη να σκεφτούμε μια άπειρη ποικιλία κανονικών παραμορφώσεων της σφαίρας, σε όλες τις δυνατές μορφές μιας πατάτας, με την προσθήκη της δυνατότητας να μεταβάλλεται ελεύθερα το εμβαδόν αυτής της επιφάνειας. Παρ' όλα αυτά, στο φυσικό μας σύμπαν, μια άτομο που θα προσπαθήσει να αναστρέψει τη σφαίρα (δηλαδή να φέρει την εσωτερική επιφάνεια στο εξωτερικό) θα συναντήσει την αδυναμία να την κάνει να διαπεράσει τον εαυτό της. Όταν υποθέσουμε αυτή την υπόθεση, δηλαδή απαγορεύουμε την αυτοδιαπέραση της επιφάνειας ή ακόμη και την απλή επαφή της, ο μαθηματικός μιλά για την "εμφύτευση" της σφαίρας S2. Ωστόσο, ο μαθηματικός επιτρέπει πάντα όλα. Μια σφαίρα είναι, για αυτόν, ένα "εικονικό" αντικείμενο και όχι υλικό, όπου η διαπέραση μιας επιφάνειας θεωρείται δυνατή. Η σειρά των σχεδίων παρακάτω δείχνει μια σφαίρα που αυτοδιαπερνάται. Μια τέτοια αναπαράσταση, που επιτρέπει δηλαδή αυτοδιαπερασμούς, ονομάζεται "εμβύθιση".
Μια εμβύθιση διαθέτει ένα σύνολο αυτοτομών (εδώ πρόκειται για μια απλή κυκλική καμπύλη). Ωστόσο, το εφαπτόμενο επίπεδο πρέπει να μεταβάλλεται συνεχώς. Με αυτή την προϋπόθεση, όταν κοιτάζετε το παραπάνω σχέδιο, βλέπετε καθαρά ότι η ενέργεια φέρνει μια περιοχή της εσωτερικής επιφάνειας (απεικονισμένη σε πράσινο) στο εξωτερικό. Για να ολοκληρώσετε την αναστροφή, θα έπρεπε να συμπιέσετε αυτό το είδος του ισοδύναμου ισημερινού σωλήνα. Εδώ φαίνεται να υπάρχει ένα πρόβλημα: αυτή η συμπίεση θα καταστρέψει τη συνέχεια του εφαπτόμενου επιπέδου, και η μετατροπή θα περιλαμβάνει ένα βήμα που δεν είναι εμβύθιση.
Μια μέρα, ένας Αμερικανός μαθηματικός, Stephen Smale, απέδειξε ότι "η σφαίρα S2 διαθέτει μόνο μία κλάση εμβυθίσεων". Αυτή η αινιγματική πρόταση είχε ως συνέπεια ότι θα έπρεπε να μπορεί να περάσει, μέσω μιας μετατροπής που περιλαμβάνει μόνο πραγματικές εμβυθίσεις, από τη "συνηθισμένη" σφαίρα στην "αντιποδική" της απεικόνιση, δηλαδή εκείνη στην οποία κάθε σημείο αντικαθίσταται με το αντίποδό του: με άλλα λόγια... μια αναστραμμένη σφαίρα. Ο Raoul Bott ήταν ο επικεφαλής του Smale. Αν και η επίσημη απόδειξη αυτού του γεγονότος φαινόταν σωστή, κανείς δεν φαινόταν ικανός να υλοποιήσει πρακτικά αυτή τη διαδικασία αναστροφής. Ο Bott συνέχιζε να ρωτά τον Smale "δείξε μου πώς θα έκανες"; και ο Smale, γνωστός για την άμεση φύση του, απαντούσε "δεν έχω καμία ιδέα". Ο Smale κέρδισε αργότερα το βραβείο Field, το ισοδύναμο του Νόμπελ για τα μαθηματικά. Εν παρεκτέρω, ίσως να ρωτήσετε γιατί δεν υπάρχει το βραβείο Νόμπελ για τα μαθηματικά. Η απάντηση είναι απλή: η γυναίκα του έφυγε με έναν μαθηματικό.
Τα πράγματα παρέμειναν έτσι για πολλά χρόνια, μέχρι που ένας Αμερικανός μαθηματικός, ο Anthony Phillips, δημοσίευσε το 1967 στο Scientific American μια πρώτη έκδοση αυτής της αναστροφής, πολύ περίπλοκη. Η δεύτερη εφευρέθηκε στις αρχές της δεκαετίας του 1970 από τον Γάλλο μαθηματικό (τυφλό) Bernard Morin. Εγώ ήμουν ο πρώτος που σχεδίασα τη σειρά των μετατροπών, που θα είναι αντικείμενο, όπως σας ανακοίνωσα, ενός προσεχούς άρθρου σε αυτόν τον ιστότοπο, πολύ πλούσιο. Ωστόσο, όλα αυτά μας οδηγούν σε μια σκέψη. Οι επιφάνειες μπορούν να αναπαρασταθούν σε πολυεδρική μορφή. Ένας κύβος ή ένα τετράεδρο μπορούν να θεωρηθούν ως πολυεδρικές αναπαραστάσεις της σφαίρας, στο νόημα ότι αυτά τα αντικείμενα έχουν την ίδια τοπολογία. Σε αυτό το σημείο, επισκεφθείτε το Topologicon μου. Επίσης, καταλαβαίνετε ότι, αν είναι δυνατή η αναστροφή της σφαίρας, θα είναι επίσης δυνατή η αναστροφή ενός κύβου. Η μετατροπή που εφεύρεται από τον Bernard Morin (που εικονογράφησα στο άρθρο του Ιανουαρίου 1979 στο Pour la Science) περνά από ένα κεντρικό μοντέλο. Υπάρχει μια συμμετρία σε αυτή τη σειρά. Αυτή είναι αυτή που ονομάζω "κεντρικό μοντέλο με τέσσερα αυτιά". Προπομπεύω κάτι. Ωστόσο, όπως η σφαίρα προσφέρεται σε πολυεδρικές αναπαραστάσεις, το ίδιο ισχύει για τα επόμενα βήματα αυτής της μετατροπής. Αυτό που βλέπετε να στρέφεται στην αρχική σελίδα μου είναι η πολυεδρική έκδοση του κεντρικού μοντέλου της αναστροφής της σφαίρας, που εφεύρα μία δεκαετία πριν. Το ενδιαφέρον των εν λόγω πολυεδρικών μοντέλων βρίσκεται στο γεγονός ότι μπορούν να κατασκευαστούν με επίπεδες επιφάνειες. Μπορούν επίσης να κατασκευαστούν με χαρτί και ψαλίδι. Ανατρέξτε στο σχέδιο παρακάτω (ευχαριστώ εν παρενθέσει τον φίλο μου Christophe Tardy, που παρήγαγε τα στοιχεία της σωστής μέτρησης).
Είναι ένα σχέδιο συναρμολόγησης, για το οποίο έ