Μετατροπή της Crosscap σε επιφάνεια Boy, μέσω της επιφάνειας Steiner-Roman
Πώς να μετατρέψεις μια Crosscap σε επιφάνεια Boy (δεξιά ή αριστερά, ανάλογα με την επιλογή) διαμέσου της επιφάνειας Steiner-Roman.
27 Σεπτεμβρίου - 25 Οκτωβρίου 2003
σελίδα 2
Εδώ έχουμε μια Crosscap (όπως θα την ανακαλύψετε στις εικόνες πραγματικότητας). Έχει δύο κορυφωτά σημεία που περικλείουν μια γραμμή αυτοτομής. Μπορεί να δημιουργηθεί σφίγγοντας ένα μπαλόνι με ένα κολλητή. Αλλά μπορείτε επίσης να δημιουργήσετε πολυεδρικές αναπαραστάσεις της. Η κάτω από αυτή θα μας ενδιαφέρει ιδιαίτερα.
Στην πλάκα 4 βρίσκεται το δυσκολότερο σημείο για να κατανοηθεί. Μου φαίνεται σχεδόν αδύνατο να κατανοήσει κάποιος τυχαίος αυτές τις εικόνες απλώς κοιτάζοντας τα σχέδια. Κατασκευάστε αυτά τα μοντέλα. Απλά τραβάμε το κορυφωτό σημείο C2 προς το "εσωτερικό της επιφάνειας" (που δεν έχει κανένα νόημα, επειδή, όπως θα έχετε προσέξει αμέσως, η Crosscap είναι μονόπλευρη. Με την πίεση, η επιφάνεια διασχίζει τον εαυτό της και το σύνολο της αυτοτομής συμπληρώνεται με μια καμπύλη σχήματος 8. Κατά τη διαδικασία δημιουργείται ένα τριπλό σημείο T.
Η επιφάνεια είναι πιο κατανοητή στην πολυεδρική της μορφή, και στο κάτω μέρος έχουμε μεγεθύνει ορισμένα στοιχεία για να δείξουμε το πρόβλημα που μας οδηγεί στη μετατροπή αυτού του αντικειμένου σε επιφάνεια Steiner-Roman (βλ. πραγματικότητα). Η απλούστερη πολυεδρική μορφή της αποτελείται από τη συναρμολόγηση τεσσάρων κύβων (εδώ φαίνονται μόνο τρεις).
Πλάκα 5: Το πολυεδρικό στα αριστερά, το "rondouillard" στα δεξιά. Η βέλος περνάει από ένα σημείο που θα "σφίξουμε". Στο κάτω μέρος την αρχή της σφίξης.
Πλάκα 6: Η σφίξη πραγματοποιείται δημιουργώντας ένα απομονωμένο σημείο B. Στην πραγματικότητα, επειδή σφίγγουμε από τις δύο πλευρές, για να κερδίσουμε χρόνο, δημιουργούνται δύο απομονωμένα σημεία S1 και S1, καθώς και δύο ζεύγη κορυφωτών σημείων. Εκεί, χωρίς χαρτόνι, ψαλίδια και ταινία κόλλας, είστε σε δύσκολη θέση.
Πλάκα 7: Απλώς μετακινήσαμε τα διάφορα κορυφωτά σημεία. Αν το σημείο C2 είναι "εμφανές", θα έχετε λίγο περισσότερη δυσκολία να αναγνωρίσετε τα σημεία C3 και C4 ως κορυφωτά σημεία. Αλλά είναι πράγματι παρόντα στα άκρα μιας γραμμής αυτοτομής. Πάνω από το σημείο C3 βρίσκεται απλώς αυτό που ονόμασα "posicoin", ένα σημείο συγκέντρωσης θετικής καμπυλότητας (ένα σημείο συγκέντρωσης αρνητικής καμπυλότητας είναι ένα "négacoin"). Με μια μικρή παραμόρφωση αυτού του αντικειμένου πέφτουμε σε μια πολυεδρική μορφή της επιφάνειας Steiner-Roman (επιφάνεια τέταρτης τάξης που εφεύρε ο Steiner στη Ρώμη. Δείτε την παρουσίασή της σε πραγματικότητα).
Έτσι, το παιχνίδι έχει τελειώσει. Υπάρχουν διάφορα είδη επιφανειών, ανάλογα με τους κανόνες που θέτουμε. Οι επιφάνειες που δεν τομίζονται αυτές τους ονομάζονται "εμβυθίσεις" (της σφαίρας, του τόρου στο R³). Όταν τομίζονται, αλλά το εφαπτόμενο επίπεδο μεταβάλλεται συνεχώς, τις ονομάζουμε εμβυθίσεις. Παράδειγμα: η μπουκαλιά Klein στην κλασική της αναπαράσταση. Δεν υπάρχει στο R³ αναπαράσταση της μπουκαλιάς Klein ως εμβύθιση. Πρέπει αναγκαστικά να τομίζεται αυτή της. Οι εμβυθίσεις έχουν σύνολα αυτοτομής χωρίς κορυφωτά σημεία. Αυτές οι καμπύλες είναι συνεχείς, αλλά μπορούν να τομίζονται σε σημεία διπλών ή τριπλών. Παρατήρηση: η σφαίρα μπορεί να παρουσιαστεί ως εμβύθιση, απλώς την κάνοντας να τομίζει τον εαυτό της. Ακριβώς με αυτόν τον τρόπο επιτεύχθηκε η αναστροφή της (A. Phillips, 1967, με κεντρικό στάδιο την διπλή κάλυψη μιας επιφάνειας Boy· B. Morin και J.P. Petit, 1979, με κεντρικό μοντέλο το μοντέλο με τέσσερα αυτιά του Morin, το οποίο παρουσιάζεται παρακάτω με μια πολυεδρική αναπαράσταση που εφηύρα πριν από δέκα χρόνια.
Σχέδιο για την κατασκευή αυτού του αντικειμένου με κοπή
Αν επεκτείνουμε τους κανόνες του παιχνιδιού υποθέτοντας ότι αυτά τα αντικείμενα έχουν κορυφωτά σημεία, παίρνουμε υποβολές (η Crosscap, η επιφάνεια Steiner-Roman). Δεν ξέρω αν είναι η σωστή λέξη, αλλά επειδή δεν βρήκα κανένα μαθηματικό που να με φωτίσει, βρήκα ενδιαφέρον να την εφεύρω προσωρινά, μέχρι να εμφανιστεί κάποιος ειδικός γεωμέτρης. Έτσι, η Crosscap και η επιφάνεια Steiner-Roman θα ήταν υποβολές του "επίπεδου προβολικού".
Για να σας πω την αλήθεια, μετά τις δυσκολίες μου στον τομέα της MHD για είκοσι πέντε χρόνια είχα αρχίσει αυτή την έρευνα επειδή μου φαινόταν ότι ήταν τόσο μακριά από κάθε στρατιωτική εφαρμογή. Αλλά, όπως παρατήρησε ο γηραιός μου φίλος Mihn, η λέξη "υποβολή" μπορεί να προκαλέσει σύγχυση και να υπονοήσει στη Ναυτική Αρχή ότι προσπαθώ να κρύψω κάποια πρόοδο σε θέματα υποβρύχιας προώθησης.
Η κανόνας "δημιουργίας-καταστροφής" ζευγών κορυφωτών σημείων επιτρέπει τη μετάβαση από μία υποβολή ενός αντικειμένου σε μία άλλη, και αυτό ακριβώς κάναμε, δείχνοντας ότι η Crosscap και η επιφάνεια Steiner-Roman είναι δύο υποβολές του ίδιου αντικειμένου που ονομάζεται επίπεδο προβολικό. Μην προσπαθείτε να μαντέψετε πώς μοιάζει ένα "επίπεδο προβολικό". Αυτό το αντικείμενο δεν μπορεί να κατανοηθεί παρά μόνο μέσω των διαφόρων αναπαραστάσεών του. Όσον αφορά τη λέξη "επίπεδο προβολικό", αυτή είναι απλώς μία από χίλιες άλλες που εφεύραν οι μαθηματικοί για να τρομάξουν όσους θέλουν να εισέλθουν στο κλειστό τους κύκλο. Το Larousse δεν θα σας ωφελήσει καθόλου στα μαθηματικά.
Τώρα μας απομένει να περάσουμε στην επιφάνεια Boy, η οποία είναι μια εμβύθιση του επιπέδου προβολικού
Προηγούμενη σελίδα Επόμενη σελίδα
Επιστροφή στο περιεχόμενο "Μετατροπή Crosscap σε Boy"
Επιστροφή στον Οδηγό Επιστροφή στην Αρχική Σελίδα
Αριθμός επισκέψεων από 25 Οκτωβρίου 2003:
Εικόνες
