Μετατροπή της Crosscap σε επιφάνεια Boy, μέσω της επιφάνειας Steiner-Roman
Πώς να μετατρέψεις μια Crosscap σε επιφάνεια Boy (αριστερή ή δεξιά, όπως επιλέξεις), περνώντας από την επιφάνεια Steiner-Roman.
27 Σεπτεμβρίου - 25 Οκτωβρίου 2003
Σελίδα 2
Αυτή είναι μια Crosscap (όπως την ανακάλυψες στις εικόνες πραγματικότητας). Έχει δύο κορυφωτά σημεία που περικλείουν μια γραμμή αυτοτομής. Μπορείς να τη φτιάξεις με την πίεση μιας μπάλας με ένα κολλητή. Αλλά μπορείς επίσης να φτιάξεις πολυεδρικές αναπαραστάσεις της. Αυτή στο κάτω μέρος μας ενδιαφέρει ιδιαίτερα.
Σε αυτή την πλάκα 4 βρίσκεται το δυσκολότερο σημείο για να κατανοηθεί. Μου φαίνεται περίπου αδύνατο να κατανοήσει κάποιος τυχαίος αυτές τις εικόνες απλώς κοιτάζοντας τα σχέδια. Κατασκεύασε αυτά τα μοντέλα. Απλώς τραβάμε το κορυφωτό σημείο C2 προς το "εσωτερικό της επιφάνειας" (που δεν έχει κανένα νόημα, επειδή, όπως θα έχεις προσέξει αμέσως, η Crosscap είναι μονόπλευρη. Με την πίεση, η επιφάνεια διασχίζει τον εαυτό της και το σύνολο των αυτοτομών συμπληρώνεται με μια καμπύλη σχήματος 8. Κατά τη διάρκεια αυτής της διαδικασίας δημιουργείται ένα τριπλό σημείο T.
Η επιφάνεια είναι πιο κατανοητή στην πολυεδρική της μορφή, και στο κάτω μέρος έχουμε μεγεθύνει κάποια στοιχεία για να δείξουμε το πρόβλημα που μας οδηγεί στη μετατροπή του αντικειμένου σε επιφάνεια Steiner-Roman (βλέπε πραγματικότητα). Η απλούστερη πολυεδρική μορφή της επιφάνειας Steiner-Roman αποτελείται από τη συναρμολόγηση τεσσάρων κύβων (εδώ βλέπουμε μόνο τρεις).
Πλάκα 5: Το πολυεδρικό στα αριστερά, το σχήμα στο δεξιά. Η βέλος περνάει από μια διάβαση που θα "σφίξουμε". Στο κάτω μέρος η αρχή της σφίξης.
Πλάκα 6: Η σφίξη πραγματοποιείται δημιουργώντας ένα ιδιαίτερο σημείο B. Στην πραγματικότητα, επειδή σφίγγουμε από τις δύο πλευρές, για να κερδίσουμε χρόνο, δημιουργούνται δύο ιδιαίτερα σημεία S1 και S1, καθώς και δύο ζεύγη κορυφωτών σημείων. Εδώ, χωρίς χαρτί, ψαλίδι και κολλητή, είσαι σε δύσκολη θέση.
Πλάκα 7: Απλώς μετακινήσαμε τα διάφορα κορυφωτά σημεία. Αν το σημείο C2 είναι "εμφανές", θα έχεις λίγο πιο δύσκολο να αναγνωρίσεις τα σημεία C3 και C4 ως κορυφωτά σημεία. Αλλά είναι πράγματι παρόντα στο τέλος μιας γραμμής αυτοτομής. Από πάνω του σημείου C3 βρίσκεται απλώς αυτό που ονομάζω "ποσικοίν", ένα σημείο συγκέντρωσης θετικής καμπυλότητας (ένα σημείο συγκέντρωσης αρνητικής καμπυλότητας είναι ένα "νεγκακοίν"). Με μια μικρή παραμόρφωση αυτού του αντικειμένου, προκύπτει μια πολυεδρική μορφή της επιφάνειας Steiner-Roman (επιφάνεια τέταρτης τάξης που εφεύρε ο Steiner στη Ρώμη. Δες την παρουσίασή της σε πραγματικότητα).
Έτσι, το παιχνίδι τελείωσε. Υπάρχουν διάφορα είδη επιφανειών, ανάλογα με τους κανόνες που θέτουμε. Οι επιφάνειες που δεν τέμνονται με τον εαυτό τους ονομάζονται εμβυθίσεις (της σφαίρας, του τόρου στο R3). Όταν τέμνονται, αλλά το εφαπτόμενο επίπεδο μεταβάλλεται συνεχώς, τις ονομάζουμε εμβυθίσεις. Παράδειγμα: η μπουκάλα Klein στη συνηθισμένη αναπαράστασή της. Δεν υπάρχει στο R3 αναπαράσταση της μπουκάλας Klein ως εμβύθιση. Πρέπει αναγκαστικά να τέμνεται με τον εαυτό της. Οι εμβυθίσεις έχουν σύνολα αυτοτομής χωρίς κορυφωτά σημεία. Αυτές οι καμπύλες είναι συνεχείς, αλλά μπορεί να τέμνονται σε σημεία διπλών ή τριπλών. Σημείωση: η σφαίρα μπορεί να παρουσιαστεί ως εμβύθιση, απλώς την κάνοντας να τέμνει τον εαυτό της. Ακριβώς έτσι επιτυγχάνεται η αναστροφή της (A. Phillips, 1967, με κεντρικό στάδιο το διπλό επίπεδο της επιφάνειας Boy; B. Morin και J.P. Petit, 1979, με κεντρικό μοντέλο το μοντέλο με τις τέσσερις ακούστες του Morin, το οποίο παρουσιάζεται παρακάτω με πολυεδρική μορφή που εφεύρα πριν από δέκα χρόνια.
Σχέδιο για την κατασκευή αυτού του αντικειμένου με κόψιμο
Αν επεκτείνουμε τους κανόνες του παιχνιδιού, υποθέτοντας ότι αυτά τα αντικείμενα έχουν κορυφωτά σημεία, παίρνουμε τις υποβολές (η Crosscap, η επιφάνεια Steiner-Roman). Δεν ξέρω αν είναι η σωστή λέξη, αλλά επειδή δεν βρήκα κανένα μαθηματικό που να με φωτίσει, βρήκα ενδιαφέρον να τη δημιουργήσω προσωρινά, μέχρι να εμφανιστεί κάποιος ειδικός γεωμέτρης. Έτσι, η Crosscap και η επιφάνεια Steiner-Roman θα είναι υποβολές του "επίπεδου προβολής".
Για να σου πω την αλήθεια, μετά τις δυσκολίες μου στο θέμα της MHD για είκοσι πέντε χρόνια είχα αρχίσει αυτές τις εργασίες επειδή μου φαινόταν ότι ήταν τόσο μακριά από κάθε στρατιωτική εφαρμογή. Αλλά, όπως είπε ο παλιός μου φίλος Mihn, η λέξη υποβολή μπορεί να προκαλέσει σύγχυση και να υπονοήσει στην Εθνική Ναυτική Υπηρεσία ότι με αυτές τις έρευνες προσπαθώ να κρύψω κάποια πρόοδο σε θέματα υποβρυχίας προώθησης.
Η κανόνας της "δημιουργίας-καταστροφής" ζευγών κορυφωτών σημείων επιτρέπει τη μετάβαση από μία υποβολή ενός αντικειμένου σε μία άλλη, και αυτό είναι ακριβώς αυτό που κάναμε, δείχνοντας ότι η Crosscap και η επιφάνεια Steiner-Roman είναι δύο υποβολές του ίδιου αντικειμένου που ονομάζεται επίπεδο προβολής. Μην προσπαθείς να φανταστείς πώς μοιάζει ένα "επίπεδο προβολής". Αυτό το αντικείμενο δεν μπορεί να κατανοηθεί παρά μόνο μέσω των διαφόρων αναπαραστάσεών του. Όσον αφορά τη λέξη επίπεδο προβολής, αυτή είναι απλώς μία από χίλιες άλλες που εφεύραν οι μαθηματικοί για να τρομάξουν αυτούς που θέλουν να εισέλθουν στο κλειστό τους κύκλο. Το Larousse δεν θα σου χρησιμεύσει στα μαθηματικά.
Τώρα μας απομένει να περάσουμε στην επιφάνεια Boy, η οποία είναι μία εμβύθιση του επιπέδου προβολής
Προηγούμενη σελίδα Επόμενη σελίδα
Επιστροφή στον τίτλο "Μετατροπή μιας Crosscap σε Boy"
Επιστροφή στον Οδηγό Επιστροφή στην Αρχική Σελίδα
Αριθμός επισκέψεων από την 25η Οκτωβρίου 2003:
Εικόνες
