Μετατροπή της Crosscap σε επιφάνεια Boy, διαμέσου της επιφάνειας Steiner-Roman
Πώς μετατρέπεται μία Crosscap σε επιφάνεια Boy (δεξιά ή αριστερά, επιλογή στην αρεσκεία) διαμέσου της επιφάνειας Steiner-Roman.
27 Σεπτεμβρίου 2003
Σελίδα 4
Παρουσιάζεται τώρα το μοντέλο από άλλη γωνία:
Πίνακας 14: Επαναλαμβάνεται η ίδια ενέργεια δημιουργώντας την τρίτη «αυχένα» της καμπύλης αυτοτομής. Σε πολυεδρική μορφή αυτή έχει τη μορφή τριών τετραγώνων που έχουν κοινή κορυφή: το τριπλό σημείο T.
Πίνακας 15: Κάνοντας περιστροφή του αντικειμένου, επανακαλείτε την πολυεδρική έκδοση της επιφάνειας Boy που είχα προτείνει και παρουσίασα στο Topologicon (όπου υπάρχει και μία κοπή που επιτρέπει την κατασκευή της).
Τελευταίος πίνακας: Προσπάθησα να απεικονίσω την επιφάνεια Steiner (του 4ου βαθμού, ενώ η Boy είναι 6ου) να στρέφεται και να μετατρέπεται σε επιφάνεια Boy.
Φαίνεται ότι, σε «κυκλική» προοπτική, χρειάζεται μεγάλη εξοικείωση για να κατανοήσει κανείς το αντικείμενο. Το μάτι μας είναι πολύ ανάσχετο όταν πρόκειται για την κατανόηση ενός αντικειμένου όπου σε μία κοινή γραμμή θέασης συμπίπτουν περισσότερα από δύο φύλλα. Γι’ αυτό η πολυεδρική μορφή είναι χρήσιμη, γιατί καθιστά προσβάσιμη σε όλους τις μετατροπές που θεωρούνται πολύπλοκες στη γεωμετρία, εφόσον οι άνθρωποι κάνουν την προσπάθεια να κατασκευάσουν τα μοντέλα μόνοι τους. Κατά τη διάρκεια αυτής της διαδικασίας παρατηρούμε ότι, ανάλογα με τα ζεύγη κορυφών που επιλέγουμε, προκύπτει μία επιφάνεια Boy «δεξιά» ή «αριστερά» (λέξεις πλήρως τυχαίες). Το επίπεδο του προβολικού μεταφέρεται με δύο «εναντιόμορφες» αναπαραστάσεις, αντικατοπτρικές. Φαίνεται ότι μπορούμε να περάσουμε από μία δεξιά Boy σε μία αριστερή Boy μέσω ενός «κεντρικού» μοντέλου, που είναι η επιφάνεια Steiner-Roman.
Θα ήταν πιθανόν ευχάριστο να δημοσιεύονταν τέτοια σχέδια στο Pour la Science ή στη La Recherche. Αλλά εδώ και είκοσι χρόνια είμαι «απαγορευμένος από τη δημοσίευση» σε αυτά τα περιοδικά λόγω «εκτροπής» σχετικά με τα UFO. Ευχαριστώ, κύριοι Hervé This και Philippe Boulanger. Δεν μετρώ πια τα άρθρα αυτού του είδους που έστειλα σε αυτά τα περιοδικά και που μου επέστρεψαν με ευγένεια. Τελικά συνηθίζεις τον κατάστασή σου ως εξορισμένος.
Παρατηρητέο: Στη Γαλλία υπάρχει ένα «Βραβείο Alembert» που απονέμεται σε συγγραφείς βιβλίων δημοσίευσης στα μαθηματικά. Η ιστορία μου διηγήθηκε ένα μέλος της επιτροπής που είχε την ευθύνη να αποφασίσει σε ποιον θα απονεμόταν το βραβείο (υπάρχουν και λίγα χρήματα στο τέλος). Διάλογος:
-
Αλλά τελικά, δεν θα μπορούσαμε να δώσουμε το βραβείο στο Petit; Έχει κάνει εξαιρετικά βιβλία όπως το Géométricon, το Trou Noir και το Topologicon.
-
Ναι, αλλά δεν έκανε μόνο αυτά τα βιβλία.
-
Τι εννοείτε;
-
Έγραψε και το Mur du Silence.
-
Α, σε αυτή την περίπτωση...
Ναι, το Mur du Silence, που εκδόθηκε το 1983, είναι ένα βιβλίο αφιερωμένο στη MHD. Και, όπως όλοι γνωρίζουμε, αυτή η επιστήμη με το δικό της επικίνδυνο χαρακτήρα έχει την ιδιότητα, ή την έμπνευση, να επιτρέπει στα πιάτα να κινούνται με υπερηχητική ταχύτητα χωρίς να προκαλούν «Bang».
Κρύψτε αυτή την επιστήμη, γιατί δεν την αντέχω να δω
Έχω στα αρχεία μου μία υπέροχη έκδοση της «αναστροφής του κύβου» με ένα κεντρικό μοντέλο απόλυτης ομορφιάς, που δεν είναι η πολυεδρική έκδοση της εκδοχής Morin. Όλα από τη δική μου δημιουργία. Σε μία από αυτές τις μέρες...
22 Οκτωβρίου 2003: Δεν υπάρχει πολύ κόσμος σε αυτές τις σελίδες, αν κρίνω από τον αριθμό του μετρητή. Την Παρασκευή 13 Οκτωβρίου 2003 έδωσα μία διάλεξη στο CMI (Κέντρο Μαθηματικών και Πληροφορικής του Château-Gombert-Marseille) επί πρόσκληση του Trotman. Κατά τη διάρκεια της διάλεξης είχα τη δυνατότητα να τοποθετήσω μία συλλογή περίπου τριάντα μοντέλων από χαρτί, τα οποία θα δείτε σύντομα, καθώς έχουν φωτογραφηθεί από τον Christophe Tardy.
Όταν δίνεις μία διάλεξη, δημιουργείται μία συγκεκριμένη ατμόσφαιρα. Στην επόμενη φωτογραφία, ένας γεωμέτρης που εκφράζει την απορία του.
Στο πίσω μέρος, μέρος των μοντέλων που είχαν εκθέσει. Σε μία στιγμή έθεσα την ερώτηση:
- Ποιοι από εσάς έχουν ήδη δει μία επιφάνεια Steiner-Roman; Ανασηκώστε το χέρι σας.
Κανείς δεν είχε την ευκαιρία να τη δει. Έτσι έκρινα ότι ήταν σκόπιμο να παρουσιάσω το αντικείμενο, σε πραγματικό χρόνο, στο φορητό υπολογιστή που είχα μαζί μου, έργο που επιτελέστηκε με τη συνεργασία του Christophe Tardy, μηχανικού, και του Frédéric Descamp, από το Ινστιτούτο Laue Langevin του Grenoble (ILL). Φαίνεται ότι αυτή η παρουσίαση προκαλεί σύγχυση στην ακρόαση, λίγο συνηθισμένη στο να βλέπει τις μαθηματικές επιφάνειες να περιστρέφονται ελεύθερα.
Δύο πλακίδια από χαρτί, που είναι ορατά στο προσκήνιο, επέτρεψαν την παρουσίαση των επόμενων μοντέλων σε λογική σειρά. Τα μοντέλα «πράσινο-κίτρινα» απεικονίζουν, σε πολυεδρική μορφή, το θεμελιώδες εργαλείο δημιουργίας-καταστροφής μίας ζεύγους κορυφών. Το πιο μακρινό λευκό αντικείμενο είναι μία πολυεδρική έκδοση της Cross Cap, η οποία μετατρέπεται πρώτα σε πολυεδρική έκδοση της επιφάνειας Steiner-Roman, ένα μέτρο πιο μακριά, και στη συνέχεια, επιλογή, σε επιφάνεια Boy «δεξιά» ή «αριστερά».
Η ανάλυση των μοντέλων προκαλεί διάφορες παρατηρήσεις στην ακρόαση. Ένας γεωμέτρης ρωτά:
- Αν, ακολουθώντας τα μοντέλα σε αυτή την κατεύθυνση, μπορούμε να περάσουμε από τη Cross Cap στη Boy, φαίνεται ότι αν το κάνουμε αντίστροφα, μπορούμε να μετατρέψουμε μία Boy σε Cross Cap.
Απαντώ θετικά. Ενθαρρυνμένος, ο συνομιλητής προσθέτει:
- Αν, φτάνοντας στο στάδιο της επιφάνειας Steiner-Roman, σταματήσουμε, τότε γίνεται δυνατό να επανέλθουμε προς μία επιφάνεια Boy σε αντίστροφη μορφή.
Εγκρίνω για δεύτερη φορά. Αλλά δυστυχώς κανείς δεν προσφέρεται να δώσει εξηγήσεις για αυτό το περίεργο κόσμο όπου προσδίδουμε σε εμβυθισμένες επιφάνειες κλειστές κορυφές, δημιουργούμε ή καταστρέφουμε αυτές σε ζεύγη, και το σύνολο αποτελεί μία είδους επέκταση του κόσμου των εμβυθισμάτων. Το λέξη «submersions» μου φαίνεται πιο κατάλληλη. Αν κάποιος ανακαλύψει εξηγήσεις, θα