Μετασχηματισμός της Crosscap σε επιφάνεια Boy, μέσω της επιφάνειας Steiner-Roman
Πώς να μετατρέψουμε μια Crosscap σε επιφάνεια Boy (δεξιά ή αριστερά, ανάλογα με την επιλογή) περνώντας από την επιφάνεια Steiner-Roman.
27 Σεπτεμβρίου 2003
Σελίδα 4
Παρουσιάζεται τώρα το μοντέλο από άλλη γωνία:
Πίνακας 14: Επαναλαμβάνουμε την ίδια ενέργεια δημιουργώντας την τρίτη "αυχένα" της καμπύλης αυτοεπικάλυψης. Στην πολυεδρική μορφή αυτή έχει τη μορφή τριών τετραγώνων που έχουν ένα κοινό κορυφή: το τριπλό σημείο T.
Πίνακας 15: Κάνοντας περιστροφή του αντικειμένου, ανακαλύπτετε την πολυεδρική μορφή της επιφάνειας Boy που είχα επινοήσει και παρουσίασα στο Topologicon (όπου υπάρχει μία κοπή που επιτρέπει την κατασκευή της).
Τελευταίος πίνακας: Προσπάθησα να απεικονίσω την επιφάνεια Steiner (4ου βαθμού, ενώ η Boy είναι 6ου) να στρέφεται και να μετατρέπεται σε επιφάνεια Boy.
Βλέπετε ότι για να κατανοήσει κανείς το αντικείμενο, χρειάζεται μεγάλη εξοικείωση. Το μάτι μας είναι πολύ ανάξιο όταν πρόκειται να κατανοήσει ένα αντικείμενο όπου σε μία ίδια γραμμή θέασης επικαλύπτονται περισσότερες από δύο φάσεις. Γι' αυτό το λόγο είναι ενδιαφέρον η πολυεδρική μορφή, που καθιστά προσβάσιμη στον κοινό άνθρωπο τις μετασχηματισμούς που θεωρούνται πολύπλοκοι στη γεωμετρία, εφόσον οι άνθρωποι κάνουν την προσπάθεια να κατασκευάσουν τα μοντέλα μόνοι τους. Κατά τη διάρκεια αυτής της διαδικασίας παρατηρούμε ότι ανάλογα με το ζεύγος των κορυφών που επιλέγουμε, παίρνουμε μία επιφάνεια Boy "δεξιά" ή "αριστερά" (λέξεις πλήρως τυχαίες). Το επίπεδο του προβολικού εμβαπτίζεται με δύο αντίστροφες αναπαραστάσεις, σε καθρέφτη. Βλέπουμε ότι μπορούμε να περάσουμε από μία δεξιά Boy σε μία αριστερή Boy μέσω ενός "κεντρικού" μοντέλου, που είναι η επιφάνεια Steiner-Roman.
Θα ήταν πιθανόν χαριτωμένο να δημοσιεύονταν τέτοια σχέδια στο Pour la Science ή στη La Recherche. Αλλά εδώ και είκοσι χρόνια είμαι "απαγορευμένος από τη δημοσίευση" σε αυτά τα περιοδικά λόγω αποκλίνουσας σκέψης σχετικά με τα UFO. Ευχαριστώ, κύριοι Hervé This και Philippe Boulanger. Δεν μετράω πια τα άρθρα που έστειλα σε αυτά τα περιοδικά και που μου επέστρεψαν με ευγένεια. Τελικά συνηθίζεις τον κατάστασή σου ως αποκλεισμένος.
Παρατηρητήριο: Στη Γαλλία υπάρχει ένας "Πρίζας Alembert" για να τιμήσει συγγραφείς βιβλίων δημοσίευσης στα μαθηματικά. Η ιστορία μου την ακούστηκε από ένα μέλος της επιτροπής που είχε την ευθύνη να αποφασίσει ποιος θα πήρε το βραβείο (υπάρχουν κάποια χρήματα). Διάλογος:
-
Αλλά τελικά, δεν θα μπορούσαμε να δώσουμε το βραβείο στο Petit; Έχει φτιάξει εκπληκτικά βιβλία όπως το Géométricon, το Trou Noir και το Topologicon.
-
Ναι, αλλά δεν έχει γράψει μόνο αυτά τα βιβλία.
-
Τι εννοείτε;
-
Έχει γράψει και το Mur du Silence.
-
Α, σε αυτή την περίπτωση...
Ναι, το Mur du Silence, που εκδόθηκε το 1983, είναι ένα βιβλίο αφιερωμένο στη MHD. Και, όπως όλοι γνωρίζουμε, αυτή η επιστήμη με την οποία ασχολείται είναι διακριτή, και έχει την ιδιότητα, ή την παραμονή, να επιτρέπει στα φανταστικά αντικείμενα να κινούνται με υπερηχητική ταχύτητα χωρίς να προκαλέσουν κραδασμό.
Κρύψτε αυτή την επιστήμη, γιατί δεν μπορώ να τη δω
Έχω στα αρχεία μου μία υπέροχη έκδοση του "αναστροφής του κύβου" με ένα κεντρικό μοντέλο απόλυτης ομορφιάς, που δεν είναι η πολυεδρική έκδοση της εκδοχής του Morin. Όλα είναι δική μου δημιουργία. Μία μέρα αυτή η μέρα...
22 Οκτωβρίου 2003: Δεν προσέρχονται πολλοί σε αυτές τις σελίδες, αν κρίνω από τον αριθμό του μετρητή. Τη Δευτέρα 13 Οκτωβρίου 2003 έδωσα μία διάλεξη στο CMI (Κέντρο Μαθηματικών και Πληροφορικής του Château-Gombert-Marseille) με πρόσκληση του Trotman. Κατά τη διάρκεια της διάλεξης μπόρεσα να τοποθετήσω μία συλλογή περίπου τριάντα μοντέλων από χαρτί, τα οποία θα δείτε σύντομα, αφού έχουν φωτογραφηθεί από τον Christophe Tardy.
Όταν δίνεις μία διάλεξη, δημιουργείται μία ορισμένη ατμόσφαιρα. Στην επόμενη φωτογραφία, ένας γεωμέτρης που εκφράζει την απορία του.
Στο πίσω μέρος, μέρος των εκθεμένων μοντέλων. Σε ένα σημείο έθεσα την ερώτηση:
*- Ποιοι από εσάς έχουν ήδη δει μία επιφάνεια Steiner-Roman; Ανασηκώστε το χέρι σας. *
Κανείς δεν την είχε δει ποτέ. Επομένως έκρινα ότι ήταν χρήσιμο να παρουσιάσω το αντικείμενο, σε πραγματικότητα ψηφιακή, στο φορητό υπολογιστή που είχα μαζί μου, αντικείμενο που είχε δημιουργηθεί με τη συνεργασία του Christophe Tardy, μηχανικού, και του Frédéric Descamp, από το Ινστιτούτο Laue Langevin του Grenoble (ILL). Φαίνεται ότι αυτή η παρουσίαση σύγχυσε την αίθουσα, που δεν είναι συνηθισμένη να βλέπει τα μαθηματικά επιφάνειες να περιστρέφονται ελεύθερα.
Δύο πλακίδια από χαρτί, που είναι ορατά στο προσκείμενο μέρος, επέτρεψαν την παρουσίαση της σειράς των μοντέλων σε λογική σειρά. Τα μοντέλα "πράσινα και κίτρινα" παρουσιάζουν, σε πολυεδρική μορφή, το βασικό εργαλείο δημιουργίας-καταστροφής ενός ζεύγους κορυφών. Το πιο απομακρυσμένο λευκό αντικείμενο είναι μία πολυεδρική έκδοση της Cross Cap, που μετατρέπεται πρώτα σε πολυεδρική έκδοση της επιφάνειας Steiner-Roman, ένα μέτρο πιο μακριά, και στη συνέχεια, επιλογικά, σε επιφάνεια Boy "δεξιά" ή "αριστερά".
Η ανάλυση των μοντέλων προκάλεσε διάφορες παρατηρήσεις από την αίθουσα. Ένας από τους γεωμέτρες ρώτησε:
*- Αν, ακολουθώντας τα μοντέλα σε αυτή την κατεύθυνση, μπορούμε να περάσουμε από τη Cross Cap στη Boy, φαίνεται ότι αν κάνουμε το αντίθετο, μπορούμε να μετατρέψουμε μία Boy σε Cross Cap. *
Απάντησα θετικά. Ανακουφισμένος, ο συνομιλητής πρόσθεσε:
*- Αν, φτάνοντας στο στάδιο της επιφάνειας Steiner-Roman, σταματήσουμε, τότε είναι δυνατό να ξαναρχίσουμε προς μία επιφάνεια Boy σε καθρέφτη. *
Έδωσα δεύτερη συναίνεση. Αλλά δυστυχώς κανείς δεν πρότεινε να δώσει εξηγήσεις για αυτό το περίεργο κόσμο όπου δίνουμε στις εμβατικές επιφάνειες κλειστών επιφανειών κορυφές, που δημιουργούνται ή καταστρέφονται σε ζεύγη, και το σύνολο αποτελεί μία είδους επέκταση του κόσμου των εμβατικών επιφανειών. Το λέξη "υποβάθμιση" μου φαίνεται κατάλληλη.