Κεντρικό μοντέλο (πολύεδρο) της αναστροφής του κύβου
Το Κεντρικό Μοντέλο της Αναστροφής του Κύβου
31 Δεκεμβρίου 2001
Όλοι σας έχετε δει να στρέφεται αναλήθως ένα περίεργο αντικείμενο στην αριστερή πλευρά της αρχικής σελίδας του ιστοτόπου. Τι είναι αυτό;
Μια μέρα, όταν θα έχω χρόνο, θα εγκαταστήσω στον ιστοτόπο μια περιγραφή της αναστροφής της σφαίρας, όπως την είχα εικονογραφήσει στον τεύχος του Ιανουαρίου 1979 του «Pour la science», δηλαδή πριν από... 22 χρόνια. Αυτό φυσικά θα απαιτούσε πολλά λεπτομερή στοιχεία και μια εισαγωγή. Τι σημαίνει να αναστρέψεις μια σφαίρα; Η σφαίρα δεν έχει την ίδια σημασία για τον κοινό άνθρωπο και τον μαθηματικό-γεωμέτρη. Για τον κοινό άνθρωπο, η σφαίρα ορίζεται ως το σύνολο των σημείων σε τρισδιάστατο χώρο που βρίσκονται σε απόσταση R από ένα σταθερό σημείο O. Ο γεωμέτρης θα συνεχίσει να αποκαλεί «σφαίρα» ένα αντικείμενο που θα αντιστοιχούσε σε μια «σφαίρα παραμορφωμένη», ένα είδος «πατάτας». Για να κατανοήσετε αυτές τις έννοιες με μεγαλύτερη ακρίβεια, αγοράστε το CD Lanturlu που φέρει την καρτούν «Le Topologicon». Αλλά ο μαθηματικός πάει ακόμη πιο μακριά. Όταν μια επιφάνεια ονομάζεται «κανονική», μπορούμε σε κάθε σημείο της να ορίσουμε ένα εφαπτόμενο επίπεδο. Αυτό επιτρέπει ήδη να σκεφτούμε άπειρες παραμορφώσεις της «αρχικής σφαίρας» σε άπειρες πατάτες, ενώ επιπλέον η επιφάνεια μπορεί να έχει οποιαδήποτε εμβαδό. Ωστόσο, σε ένα «φυσικό κόσμο», ο άνθρωπος που παραμορφώνει τη σφαίρα θα συναντήσει την αδυναμία να την κάνει να διαπεράσει τον εαυτό της. Αν αυτές οι διαπερασμοί ή ακόμη και οι επαφές είναι απαγορευμένοι, τότε μιλάμε για «προβολές» της σφαίρας S2. Αλλά ο μαθηματικός δίνει σε εαυτόν όλα τα δικαιώματα. Μια σφαίρα, για αυτόν, είναι ένα «εικονικό» αντικείμενο όπου οι διαπερασμοί επιφανειών γίνονται δυνατοί. Τα επόμενα σχέδια δείχνουν μια σφαίρα που έχει «διαπεράσει τον εαυτό της». Τότε αυτή η αναπαράσταση της σφαίρας ονομάζεται «εμφύτευση».
Μια εμφύτευση διαθέτει ένα σύνολο αυτοτομών ή αυτοτομών (εδώ μια απλή κυκλική καμπύλη). Το εφαπτόμενο επίπεδο πρέπει να μεταβάλλεται συνεχώς. Ωστόσο, όταν κοιτάξετε τα παραπάνω σχέδια, βλέπετε ότι η ενέργεια στρέφει κάποια μέρη (αναπαριστούμενα με πράσινο) του εσωτερικού της σφαίρας προς τα έξω. Για να ολοκληρώσεις αυτή την αναστροφή, θα έπρεπε να συμπιέσεις αυτό το είδος του «σωλήνα» στην ισημερινή ζώνη. Αυτό φαίνεται αρχικά προβληματικό. Αυτή η συμπίεση θα διατάρασσε τη συνέχεια του εφαπτόμενου επιπέδου. Η ενέργεια θα περιλάμβανε ένα βήμα που δεν θα ήταν εμφύτευση.
Μια μέρα, ένας Αμερικανός μαθηματικός, ο Stephen Smale, απέδειξε ότι «η σφαίρα S2 διαθέτει μόνο μία κλάση εμφυτεύσεων». Το συμπέρασμα αυτής της αινιγματικής πρότασης ήταν ότι θα ήταν δυνατό να συνδέσουμε μια ακολουθία εμφυτεύσεων της σφαίρας που θα μας οδηγούσε από τη «συνηθισμένη σφαίρα» στην «αντίποδη αναπαράσταση» της, δηλαδή μια αναπαράσταση όπου όλα τα σημεία έχουν αντικατασταθεί από τα αντίποδά τους. Απλά... μια αναστραμμένη σφαίρα, από τη μία πλευρά στην άλλη. Ο Raoul Bott ήταν ο καθηγητής του Smale. Όσο η απόδειξη του τελευταίου, πλήρως μαθηματική, φαινόταν αδιαβάθμιστη, τόσο κανείς δεν καταλάβαινε πώς θα μπορούσε να εφαρμοστεί αυτή η ενέργεια. Ο Bott έλεγε συνεχώς στον Smale «δείξε μου πώς θα το κάνατε», στο οποίο ο Smale, με το γνωστό του μακρύ μαλλί, απαντούσε «δεν έχω καμία ιδέα». Ο Smale θα λάβει αργότερα το βραβείο Field, το ισοδύναμο του Νόμπελ για τα μαθηματικά. Κατά τη διάρκεια αυτού, ίσως να ρωτήσετε γιατί ο Nobel δεν είχε θέληση να δημιουργήσει ένα βραβείο για τα μαθηματικά. Η απάντηση είναι απλή: η γυναίκα του είχε φύγει με έναν μαθηματικό.
Τα πράγματα έμειναν έτσι για πολλά χρόνια, μέχρι που ένας Αμερικανός μαθηματικός, ο Anthony Phillips, δημοσίευσε το 1967 στο «Scientific American» μια πρώτη έκδοση αυτής της αναστροφής, πολύ περίπλοκη. Η δεύτερη εφευρέθηκε στις αρχές της δεκαετίας του 1970 από τον Γάλλο μαθηματικό (τυφλό) Bernard Morin. Εγώ ήμουν ο πρώτος που σχεδίασα αυτή την ακολουθία μετασχηματισμών που, όπως είπα, θα αποτελέσει το αντικείμενο ενός επόμενου άρθρου στον ιστοτόπο, αρκετά περίπλοκο. Ανεξάρτητα, αυτό μας οδηγεί σε μια πλευρική συμπέρασμα. Οι επιφάνειες μπορούν να αναπαρασταθούν πολύεδρα. Ένας κύβος ή ένα τετράεδρο μπορούν να θεωρηθούν ως πολύεδρες αναπαραστάσεις της σφαίρας, εφόσον αυτά τα αντικείμενα έχουν την ίδια τοπολογία. Σχετικά, ανατρέξτε στην καρτούν μου «Le Topologicon». Επιπλέον, καταλαβαίνετε ότι αν είναι δυνατό να αναστραφεί μια σφαίρα, είναι επίσης δυνατό να αναστραφεί ένας κύβος. Ο μετασχηματισμός που εφεύρε ο Bernard Morin (που εικονογράφησα στο άρθρο του Ιανουαρίου 1979 του «Pour la science») περνά από ένα κεντρικό μοντέλο. Υπάρχει μια συμμετρία σε αυτή την ακολουθία. Αυτό ονομάζεται «το κεντρικό μοντέλο με τέσσερα αυτιά». Πάλι, προλαμβάνω. Αλλά όπως η σφαίρα μπορεί να αναπαρασταθεί με πολύεδρα, το ίδιο συμβαίνει και με τα επιμέρους βήματα αυτών των μετασχηματισμών. Το αντικείμενο που βλέπετε να στρέφεται στη σελίδα μου είναι έτσι η πολύεδρη έκδοση του κεντρικού μοντέλου της αναστροφής της σφαίρας, ένα μοντέλο που εφεύρα πριν περίπου δέκα χρόνια. Το ενδιαφέρον αυτών των πολύεδρων μοντέλων είναι ότι μπορούν να κατασκευαστούν με επίπεδες επιφάνειες. Μπορείτε ακόμη να τα συνδυάσετε με κοπές. Κοιτάξτε το παρακάτω σχέδιο (ευχαριστώ εν παραλλήλω τον φίλο μου Christophe Tardy, που παρέχει τα σωστά στοιχεία).
Αυτό είναι ένα σχέδιο που θα εκτυπωθεί σε μικρό μέγεθος από την εκτυπωτή σας, ακατάλληλο για χρήση.
Για εκτύπωση της εικόνας σε φύλλο A4 Πρέπει να κάνετε τέσσερις αντιγραφές σε χαρτί A4 σκληρό, δύο φύλλα με μία χρωματική ένδειξη, δύο με μία άλλη.
Αυτή είναι μια κοπή που βλέπετε γενικά. Ωστόσο, για την εκτύπωση, προτιμότερο είναι να περάσετε στη σελίδα κοπή. Εκτυπώστε την. Στη συνέχεια, με το εκτυπωμένο φύλλο στο χαρτί της εκτυπωτής σας, πηγαίνετε σε ένα φωτοαντίγραφο και κάντε τέσσερις ακριβείς αντιγραφές αυτού του σχεδίου, δύο σε φύλλα πράσινου καρτονιού