Κεντρικό μοντέλο (πολύεδρο) της αναστροφής του κύβου
Το Κεντρικό Μοντέλο της Αναστροφής του Κύβου
31 Δεκεμβρίου 2001
Όλοι σας έχετε δει να στρέφεται απαράστατα ένα περίεργο αντικείμενο στην αριστερή πλευρά της αρχικής σελίδας του ιστολογίου. Τι είναι αυτό;
Μια μέρα, όταν θα έχω χρόνο, θα τοποθετήσω στο ιστολόγιο μια περιγραφή της αναστροφής της σφαίρας, όπως την είχα εικονογραφήσει στον τεύχος του Ιανουαρίου 1979 του περιοδικού "Pour la science", δηλαδή πριν από ... 22 χρόνια. Φυσικά, αυτό θα απαιτούσε πολλές λεπτομέρειες και μια εισαγωγή. Τι σημαίνει να αναστρέψεις μια σφαίρα; Η σφαίρα δεν έχει την ίδια σημασία για τον κοινό άνθρωπο και τον μαθηματικό-γεωμέτρη. Για τον κοινό άνθρωπο, αυτή ορίζεται ως το σύνολο των σημείων που βρίσκονται σε απόσταση R από ένα σταθερό σημείο O σε ένα χώρο τριών διαστάσεων. Ένας γεωμέτρης θα συνέχιζε να αποκαλεί "σφαίρα" ένα αντικείμενο που θα αντιστοιχούσε σε μια "παραμορφωμένη σφαίρα", ένα είδος "πατάτας". Για να αντιληφθείτε αυτές τις έννοιες με μεγαλύτερη ακρίβεια, αποκτήστε το CD Lanturlu που περιέχει την επικεφαλίδα "Le Topologicon". Ωστόσο, ο μαθηματικός πηγαίνει ακόμα πιο μακριά. Όταν μια επιφάνεια ονομάζεται "κανονική", μπορούμε να ορίσουμε σε κάθε σημείο της ένα εφαπτόμενο επίπεδο. Αυτό επιτρέπει ήδη να σκεφτούμε μια άπειρη ποικιλία παραμορφώσεων της "αρχικής σφαίρας" σε μια άπειρη ποικιλία πατάτων, όταν επιπλέον το εμβαδό της επιφάνειας μπορεί να είναι οποιοδήποτε. Παρ' όλα αυτά, σε ένα "φυσικό κόσμο", ο άνθρωπος που παραμορφώνει αυτή τη σφαίρα θα συναντήσει την αδυναμία να την κάνει να διαπεράσει τον εαυτό της. Αν αυτές οι διαπερασμοί ή ακόμα και οι επαφές είναι απαγορευμένες, τότε μιλάμε για "εμβάθυνση" της σφαίρας S2. Ωστόσο, ένας μαθηματικός δίνει σε εαυτόν όλα τα δικαιώματα. Μια σφαίρα, για αυτόν, είναι ένα "εικονικό" αντικείμενο όπου οι διαπερασμοί επιφανειών γίνονται δυνατοί. Τα επόμενα σχέδια δείχνουν μια σφαίρα που έχει "διαπεράσει τον εαυτό της". Τότε αυτή η αναπαράσταση της σφαίρας ονομάζεται "εμβάθυνση".
Μια εμβάθυνση έχει ένα σύνολο αυτοτομών ή αυτοεπικαλύψεων (εδώ μια απλή κυκλική καμπύλη). Το εφαπτόμενο επίπεδο πρέπει να μεταβάλλεται συνεχώς. Παρ' όλα αυτά, όταν κοιτάξετε τα σχέδια παραπάνω, βλέπετε ότι η ενέργεια περιστρέφει μια μερίδα (αναπαριστάται με πράσινο) του εσωτερικού της σφαίρας προς τα έξω. Για να ολοκληρώσεις αυτή την αναστροφή, θα έπρεπε να συμπιέσεις αυτό το είδος του ισχυρού ισημερινού σωλήνα. Η πράξη φαίνεται εν προκειμένω προβληματική. Αυτή η συμπίεση θα διακόπτει τη συνέχεια του εφαπτόμενου επιπέδου. Η ενέργεια θα περιλάμβανε ένα βήμα που δεν θα ήταν εμβάθυνση.
Μια μέρα, ένας Αμερικανός μαθηματικός, ο Stephen Smale, απέδειξε ότι "η σφαίρα S2 διαθέτει μόνο μία κλάση εμβαθύνσεων". Το συμπέρασμα αυτής της αινιγματικής πρότασης ήταν ότι θα ήταν δυνατό να συνδέσουμε μια ακολουθία εμβαθύνσεων της σφαίρας που θα επέτρεπε τη μετάβαση από τη "κανονική σφαίρα" στην "αντίθετη αναπαράσταση" της, δηλαδή μια αναπαράσταση όπου όλα τα σημεία θα είχαν αντικατασταθεί από τα αντίθετα τους. Απλώς... μια αναστραμμένη σφαίρα, από τη μία πλευρά στην άλλη. Ο Raoul Bott ήταν ο επιβλέπων του Smale. Όσο η απόδειξη του τελευταίου, πλήρως τυπική, φαινόταν αδιαβάθμιστη, κανείς δεν μπορούσε να δει πώς να εφαρμόσει τη διαδικασία. Ο Bott έλεγε συνεχώς στον Smale "δείξτε μου πώς θα το κάνατε", στο οποίο ο Smale, με το διάσημο του μαλλί στο στόμα, απαντούσε "δεν έχω καμία ιδέα". Ο Smale θα λάβει αργότερα το βραβείο Field, το οποίο αντιστοιχεί στο Νόμπελ για τα μαθηματικά. Κατά τη διάρκεια αυτού, ίσως να σκεφτείτε γιατί ο Nobel δεν είχε ποτέ θέληση να δημιουργήσει ένα βραβείο Nobel για τα μαθηματικά. Η απάντηση είναι απλή: η γυναίκα του έφυγε με ένα μαθηματικό.
Τα πράγματα παρέμειναν έτσι για πολλά χρόνια, μέχρι που ένας Αμερικανός μαθηματικός, ο Anthony Phillips, δημοσίευσε το 1967 στο Scientific American μια πρώτη έκδοση αυτής της αναστροφής, απαράστατα περίπλοκη. Η δεύτερη εφευρέθηκε στις αρχές της δεκαετίας του '70 από τον γάλλο μαθηματικό (τυφλό) Bernard Morin. Ήμουν ο πρώτος που σχεδίασα αυτή την ακολουθία μετασχηματισμών, η οποία, όπως είχα ήδη πει, θα αποτελέσει το αντικείμενο ενός μελλοντικού άρθρου στο ιστολόγιο, αρκετά περίπλοκου επίσης. Παρ' όλα αυτά, αυτό μας οδηγεί σε μια πλευρική συμπέρασμα. Οι επιφάνειες μπορούν να αναπαρασταθούν πολύεδρα. Ένας κύβος ή ένα τετράεδρο μπορούν να θεωρηθούν ως πολύεδρες αναπαραστάσεις της σφαίρας, εφόσον τα αντικείμενα αυτά έχουν την ίδια τοπολογία. Σε αυτό το σημείο, επισκεφθείτε τη δική μου επικεφαλίδα "Le Topologicon". Επιπλέον, κατανοούμε ότι αν είναι δυνατό να αναστρέψεις μια σφαίρα, είναι επίσης δυνατό να αναστρέψεις έναν κύβο. Ο μετασχηματισμός που εφεύρε ο Bernard Morin (που εικονογράφησα στο άρθρο του Ιανουαρίου 1979 του "Pour la science") περνά από ένα κεντρικό μοντέλο. Υπάρχει μια συμμετρία σε αυτή την ακολουθία. Αυτό ονομάζεται "το κεντρικό μοντέλο με τέσσερα αυτιά". Πάλι, προλαμβάνω. Ωστόσο, όπως η σφαίρα μπορεί να υποστεί πολύεδρες αναπαραστάσεις, το ίδιο ισχύει και για τα διαδοχικά βήματα αυτών των μετασχηματισμών. Το αντικείμενο που βλέπετε να στρέφεται στη σελίδα μου είναι έτσι η πολύεδρη έκδοση του κεντρικού μοντέλου της αναστροφής της σφαίρας, ένα μοντέλο που εφεύρα πριν από δέκα χρόνια. Το ενδιαφέρον των πολύεδρων μοντέλων είναι ότι μπορούν να κατασκευαστούν με επίπεδες επιφάνειες. Μπορείς ακόμα να τα διατάξεις με κοπές. Κοίταξε το σχέδιο παρακάτω (ευχαριστώ στο παρελθόν τον φίλο μου Christophe Tardy, που παρήγαγε τα σωστά στοιχεία).
Αυτό είναι ένα σχέδιο που θα εκτυπωθεί σε μικρή μορφή στην εκτυπωτή σας, ακατάλληλο για χρήση.
Για εκτύπωση αυτής της εικόνας σε φύλλο A4 Πρέπει να κάνετε τέσσερις αντιγραφές σε χαρτί A4 παχύ, δύο φύλλα μιας χρωματικής προέλευσης, δύο φύλλα μιας άλλης.
Αυτό είναι ένα σχέδιο που έχει μια γενική εικόνα. Ωστόσο, για εκτύπωση, είναι προτιμότερο να πάτε στη σελίδα κοπή. Εκτυπώστε την. Στη συνέχεια, με το εκτυ