Πώς να μετατρέψετε ένα crosscap
σε επιφάνεια Boy (δεξιά ή αριστερά, κατ' επιλογή) περνώντας από την επιφάνεια Romaine
του Steiner.
27 Σεπτεμβρίου - 25 Οκτωβρίου 2003
σελίδα 2
Ιδού ένα Cross Cap (όπως θα το
είχατε ανακαλύψει στις εικόνες εικονικής πραγματικότητας).
Περιλαμβάνει δύο κορυφαία σημεία που οριοθετούν μια γραμμή αυτο-τομής.
Μπορείτε να το κατασκευάσετε τσιμπώντας ένα μπαλόνι με ένα σίδερο για μπούκλες.
Αλλά μπορείτε επίσης να κατασκευάσετε πολυεδρικές αναπαραστάσεις του.
Αυτή η κάτω θα μας ενδιαφέρει ιδιαίτερα.
Σε αυτή την πλάκα 4 βρίσκεται η στιγμή
που είναι πιο δύσκολο να κατανοηθεί. Μου φαίνεται σχεδόν
αδύνατο ο πρώτος τυχών να καταλάβει αυτές τις μορφές κοιτάζοντας
απλώς τα σχέδια. Κατασκευάστε αυτά τα μακέτα. Με απλά λόγια τραβάμε το κορυφαίο σημείο
C2 προς το "εσωτερικό της επιφάνειας"
(το οποίο παρεμπιπτόντως δεν έχει κανένα νόημα αφού, όπως θα έχετε σίγουρα παρατηρήσει
αμέσως, το Cross Cap είναι μονόπλευρο. Επιμένοντας η επιφάνεια
αυτο-διασταυρώνεται και το σύνολο αυτο-τομής συμπληρώνεται, με "στρογγυλεμένο"
τρόπο, από μια καμπύλη σε σχήμα 8. Παρεμπιπτόντως δημιουργείται ένα τριπλό σημείο T.
Η επιφάνεια είναι πιο κατανοητή
στην πολυεδρική της μορφή και, παρακάτω, έχουμε μεγεθύνει ορισμένα στοιχεία
για να δείξουμε τι μας ωθεί να μετατρέψουμε αυτό το αντικείμενο σε Επιφάνεια Romaine
του Steinder (βλ. εικονική πραγματικότητα) της οποίας η απλούστερη πολυεδρική μορφή
συνίσταται στη συναρμολόγηση τεσσάρων κύβων (εδώ βλέπουμε μόνο
τρεις).
Πλάκα 5: Το πολυεδρικό στα
αριστερά, το στρογγυλεμένο στα δεξιά. Το βέλος ακολουθεί ένα πέρασμα
που θα "τσιμπήσουμε". Παρακάτω η αρχή του τσιμπήματος.
Πλάκα 6: το τσίμπημα πραγματοποιείται
δημιουργώντας ένα μοναδικό σημείο B. Στην πραγματικότητα καθώς τσιμπάμε και από τις δύο
πλευρές, για να κερδίσουμε χρόνο, σχηματίζονται δύο μοναδικά σημεία
S1 και S1 και στη συνέχεια δύο ζεύγη κορυφαίων σημείων. Εκεί, χωρίς
χαρτόνι, ψαλίδι και κολλητική ταινία, είστε χαμένοι.
Πλάκα 7: απλώς μεταναστεύσαμε
τα διάφορα κορυφαία σημεία. Αν το σημείο C2 είναι "προφανές"
θα δυσκολευτείτε λίγο περισσότερο να αναγνωρίσετε τα σημεία C3 και C4
ως κορυφαία σημεία. Ωστόσο είναι παρόντα στο άκρο μιας
γραμμής αυτο-τομής. Πάνω από το σημείο C3 βρίσκεται απλώς
αυτό που ονόμασα "posicoin", ένα σημείο συγκέντρωσης
θετικής καμπυλότητας (ένα σημείο συγκέντρωσης αρνητικής καμπυλότητας
είναι ένα "négacoin"). Παραμορφώνοντας ελαφρώς αυτό το αντικείμενο
πέφτουμε σε μια πολυεδρική μορφή της επιφάνειας Romaine του Steiner (επιφάνεια
4ου βαθμού που εφευρέθηκε από τον Steiner στη Ρώμη. Δείτε
την παρουσίασή της σε εικονική πραγματικότητα).
Έτσι, το κόλπο έγινε. Υπάρχουν
διάφοροι τύποι επιφανειών, ανάλογα με τους κανόνες που επιβάλλουμε στον εαυτό μας.
Οι επιφάνειες που δεν τέμνονται οι ίδιες λέγονται εμβαπτίσεις
(της σφαίρας, του τόρου στον R3). Όταν τέμνονται αλλά
το εφαπτόμενο επίπεδο μεταβάλλεται συνεχώς τις ονομάζουμε immersions.
Παράδειγμα: το μπουκάλι του Klein στην κλασική του αναπαράσταση. Δεν
υπάρχει στον R3 αναπαράσταση του μπουκαλιού του Klein
υπό μορφή εμβάπτισης. Αναγκαστικά τέμνεται το ίδιο.
Οι immersions διαθέτουν σύνολα αυτο-τομής χωρίς
κορυφαία σημεία. Αυτές οι καμπύλες είναι συνεχείς αλλά μπορούν να διασταυρώνονται
όπου βρίσκονται διπλά ή τριπλά σημεία. Σημείωση: η
σφαίρα μπορεί να παρουσιαστεί υπό μορφή immersion, απλώς
κάνοντάς την να τέμνεται η ίδια. Εξάλλου έτσι
καταφέρνουμε να την αναστρέψουμε (A.Phillips, 1967, με κεντρικό στάδιο
το διφυλλικό κάλυμμα μιας επιφάνειας Boy· B.Morin και
J.P.Petit, 1979 με κεντρικό μοντέλο το μοντέλο με τέσσερα
αυτιά του Morin, του οποίου ακολουθεί μια πολυεδρική αναπαράσταση
που εφηύρα πριν από περίπου δέκα χρόνια.
Σχέδιο για συναρμολόγηση αυτού του αντικειμένου
με τη βοήθεια κοψίματος
Αν επεκτείνουμε τον κανόνα του παιχνιδιού
υποθέτοντας ότι αυτά τα αντικείμενα διαθέτουν κορυφαία σημεία παίρνουμε
submersions (το Cross Cap, η Επιφάνεια Romaine του Steiner). Δεν
ξέρω αν είναι η ακριβής λέξη, αλλά καθώς δεν βρήκα κανέναν μαθηματικό
που να μπορεί να με διαφωτίσει βρήκα διασκεδαστικό να εφεύρω μία, προσωρινά,
μέχρι να εμφανιστεί κάποιος ειδικός γεωμέτρης. Έτσι
το Cross Cap και η Επιφάνεια Romaine του Steiner θα ήταν submersions του "προβολικού
επιπέδου".
Για να σας τα πω όλα, μετά τις απογοητεύσεις μου
στο θέμα της MHD επί είκοσι πέντε χρόνια είχα ξεκινήσει
αυτές τις εργασίες επειδή μου φαίνονταν όσο το δυνατόν πιο μακρινές
από κάθε στρατιωτική εφαρμογή. Αλλά, όπως παρατηρούσε ο παλιός
μου φίλος Mihn, ο όρος submersion θα μπορούσε να προκαλέσει σύγχυση και να αφήσει
να υπονοηθεί στο Ναυτικό ότι μέσω αυτών των ερευνών
προσπαθούσα να κρύψω κάποια πρόοδο στον τομέα της υποβρύχιας
πρόωσης.
Ο κανόνας της "δημιουργίας-καταστροφής"
ζευγών κορυφαίων σημείων επιτρέπει να περάσουμε από μια submersion ενός αντικειμένου σε
μια άλλη και αυτό μόλις κάναμε δείχνοντας ότι το Cross Cap
και η Επιφάνεια Romaine του Steiner ήταν δύο submersions του ίδιου
αντικειμένου που ονομάζεται προβολικό επίπεδο. Μην ψάξετε πώς μοιάζει
ένα "προβολικό επίπεδο". Αυτό το αντικείμενο μπορεί να κατανοηθεί μόνο
μέσα από τις διάφορες αναπαραστάσεις του. Όσο για τη λέξη προβολικό επίπεδο
είναι μόνο μία από τις χίλιες που εφηύραν οι μαθηματικοί
για να παραπλανήσουν όσους θα ήθελαν να διεισδύσουν στον κλειστό
τους κύκλο. Το Larousse δεν θα σας φανεί καθόλου χρήσιμο στα μαθηματικά.
Μας μένει τότε να περάσουμε στην επιφάνεια
Boy, που είναι μια immersion του προβολικού επιπέδου
Προηγούμενη σελίδα
Επόμενη
σελίδα
Επιστροφή στο ευρετήριο " Μετασχηματισμός
ενός Cross Cap σε Boy "
Επιστροφή στα Νέα Επιστροφή
στον Οδηγό Επιστροφή
στην Αρχική Σελίδα
Αριθμός επισκέψεων από τις 25 Οκτωβρίου 2003 :