Πώς να μετατρέψουμε μια crosscap σε επιφάνεια του Boy (δεξιά ή αριστερά, κατά την επιλογή) μέσω της Ρωμαϊκής επιφάνειας του Steiner.
27 Σεπτεμβρίου 2003
σελίδα 4
Εμφανίζεται τότε το μοντέλο από μια άλλη οπτική γωνία:
Πίνακας 14: Επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία δημιουργώντας το τρίτο «αυτί» της καμπύλης αυτοτομής. Στην πολυεδρική μορφή, αυτό έχει τη μορφή τριών τετραγώνων με κοινή κορυφή: το σημείο τριπλής τομής T.
Πίνακας 15: Περιστρέφοντας το αντικείμενο, ανακαλύπτετε την πολυεδρική έκδοση της επιφάνειας του Boy που είχα εφεύρει και παρουσιάσει στο Topologicon (όπου υπάρχει ένα σχέδιο που επιτρέπει την κατασκευή της).
Τελευταίος πίνακας: Προσπάθησα να απεικονίσω την επιφάνεια του Steiner (βαθμού 4, ενώ η επιφάνεια του Boy είναι βαθμού 6) καθώς στριφογυρίζει και μετατρέπεται σε επιφάνεια του Boy.
Βλέπουμε ότι σε «στρογγυλή» μορφή, απαιτείται μια considerable εξοικείωση για να κατανοήσει κανείς το αντικείμενο. Το μάτι μας είναι πολύ άβολο όταν πρόκειται να κατανοήσει ένα αντικείμενο όπου, στην ίδια γραμμή ορατότητας, συμπίπτουν περισσότερα από δύο φύλλα. Από εδώ προκύπτει το ενδιαφέρον της πολυεδρικής προσέγγισης, η οποία καθιστά προσιτές σε όλους τις μεταβολές που θεωρούνται εξειδικευμένες στη γεωμετρία, εφόσον οι άνθρωποι καταβάλλουν την προσπάθεια να κατασκευάσουν οι ίδιοι τα μοντέλα. Στο περιθώριο, παρατηρούμε ότι ανάλογα με τα ζεύγη των σημείων αιχμής που επιλέγονται, λαμβάνουμε μια επιφάνεια του Boy «δεξιά» ή «αριστερά» (λέξεις εντελώς αυθαίρετες). Το προβολικό επίπεδο βυθίζεται (immerge) σύμφωνα με δύο «εναντιόμορφες» αναπαραστάσεις, σε镜像 (καθρέφτη). Βλέπουμε ότι μπορούμε να περάσουμε από μια δεξιά Boy σε μια αριστερή Boy μέσω ενός «κεντρικού» μοντέλου, που είναι η Ρωμαϊκή επιφάνεια του Steiner.
Θα ήταν πιθανώς ευχάριστο αν τέτοια σχέδια δημοσιεύονταν στο Pour la Science ή στο La Recherche. Αλλά εδώ και είκοσι χρόνια είμαι «απαγορευμένος για δημοσίευση» σε αυτά τα περιοδικά λόγω «ουφολογικού αποκλίνοντος». Ευχαριστώ κύριοι Hervé This και Philippe Boulanger. Δεν μετρώ πια τα άρθρα αυτού του είδους που έχω στείλει σε αυτά τα περιοδικά και που μου έχουν επιστραφεί ευγενικά. Τελικά, συνηθίζεις το καθεστώς του «αφορισμένου».
Ως anecdote, υπάρχει στη Γαλλία ένα «βραβείο d'Alembert» προορισμένο να τιμήσει συγγραφείς βιβλίων μαθηματικής διάχυσης. Η ιστορία μου αφηγήθηκε από ένα μέλος της επιτροπής που όριζε σε ποιον θα απονεμόταν το βραβείο (υπάρχει πάντως κάποιο ποσό). Διάλογος:
-
Αλλά τελικά, δεν θα μπορούσαμε να απονέμετε το βραβείο στον Petit; Έχει κάνει εξαιρετικά έργα όπως το Géométricon, το Trou Noir και το Topologicon.
-
Ναι, αλλά δεν έκανε μόνο αυτά τα άλμπουμ.
-
Σε τι αναφέρεστε;
-
Έχει επίσης γράψει το Mur du Silence.
-
Α, υπό αυτές τις συνθήκες....
Ναι, το Mur du Silence, που εκδόθηκε το 83, είναι ένα άλμπουμ αφιερωμένο στην MHD (Μαγνητοϋδροδυναμική). Και, όπως όλοι γνωρίζουν, αυτή η «θολή» επιστήμη έχει την αρετή, ή την κακία, να επιτρέπει στα ιπτάμενα δίσκα να κινούνται με υπερηχητική ταχύτητα χωρίς να προκαλούν Boom.
Κρύψτε αυτή την επιστήμη, που δεν θα μπορούσα να τη δω
Έχω στα αρχεία μου μια έκδοση του «αναποδογυρίσματος του κύβου» υπέροχη, με ένα κεντρικό μοντέλο εξαιρετικής ομορφιάς, που δεν είναι η πολυεδρική έκδοση της παραλλαγής του Morin. Όλο αυτό δικό μου έργο. Κάποια από αυτά.....
22 Οκτωβρίου 2003: Δεν συνωστίζονται σε αυτές τις σελίδες, αν πιστεύω τον αριθμό του μετρητή. Δώσα τη Δευτέρα 13 Οκτωβρίου 2003 ένα σεμινάριο στο CMI (Κέντρο Μαθηματικών και Πληροφορικής στο Château-Gombert-Marseille) με πρόσκληση του Trotman. Κατά την περίσταση, μπόρεσα να παρατάξω μια συλλογή από τριάντα περίπου μοντέλα από χαρτόνι, για τα οποία θα έχετε σύντομα την αποκλειστικότητα, αφού φωτογραφίστηκαν από τον Christophe Tardy.
Όταν δίνεται ένα σεμινάριο, δημιουργείται μια ατμόσφαιρα. Στην επόμενη φωτογραφία, ένας γεωμέτρης που εκφράζει την απορία του.
Στο βάθος, μέρος των εκτεθειμένων μοντέλων. Κάποια στιγμή έθεσα το ερώτημα:
- Ποιοι έχουν ήδη δει μια Ρωμαϊκή επιφάνεια του Steiner; Σηκώστε το χέρι.
Κανείς δεν είχε δει ποτέ. Θεώρησα λοιπόν χρήσιμο να παρουσιάσω το αντικείμενο, σε πραγματική εικονικότητα (VR), στο φορητό υπολογιστή που είχα φέρει, αντικείμενο που δημιουργήθηκε με τη συνεργασία του Christophe Tardy, μηχανικού, και του Frédéric Descamp, από το Institut Laue Langevin στο Grenoble (ILL). Φαίνεται ότι αυτή η παρουσίαση προκαλεί έκπληξη στο ακροατήριο, που δεν είναι συνηθισμένο να βλέπει μαθηματικές επιφάνειες να στριφογυρίζουν κατά βούληση.
Δύο πίνακες από χαρτόνι, ορατοί στο πρώτο πλάνο, επέτρεψαν να παρουσιαστεί η σειρά των μοντέλων στη λογική τους σειρά. Τα μοντέλα «πράσινο και κίτρινο» απεικονίζουν, σε πολυεδρική μορφή, το βασικό εργαλείο δημιουργίας-καταστροφής ενός ζεύγους σημείων αιχμής. Το πιο μακρινό λευκό αντικείμενο είναι μια πολυεδρική έκδοση της Cross Cap, που μετατρέπεται πρώτα σε πολυεδρική έκδοση της Ρωμαϊκής επιφάνειας του Steiner, ένα μέτρο πιο μακριά, και έπειτα, κατά βούληση, σε επιφάνεια του Boy «δεξιά» ή «αριστερά».
Η ανάλυση των μακετών αναδεικνύει διάφορες παρατηρήσεις στο ακροατήριο. Ένας από τους γεωμέτρες ρωτά:
- Αν, ακολουθώντας τις μακέτες προς αυτή την κατεύθυνση, μπορούμε να περάσουμε από την Cross Cap στη Boy, φαίνεται ότι κάνοντας το αντίστροφο, θα πρέπει να μπορούμε να μετατρέψουμε μια Boy σε Cross Cap.
Απαντώ καταφατικά. Ενθαρρυμένος, ο συνομιλητής μου προσθέτει:
- Αν, φτάνοντας στο στάδιο της Ρωμαϊκής επιφάνειας του Steiner, σταματήσουμε, γίνεται τότε δυνατό να συνεχίσουμε προς μια επιφάνεια του Boy σε镜像 (καθρέφτη).
Επικροτώ για δεύτερη φορά. Αλλά δυστυχώς κανείς δεν θα προταθεί να δώσει διευκρινίσεις για αυτόν τον παράξενο κόσμο όπου赋予 (δίνουμε) σε βυθίσεις (immersions) κλειστών επιφανειών σημεία αιχμής, δημιουργημένα ή εξαφανιζόμενα κατά ζεύγη, το σύνολο αποτελώντας μια sortes (είδος) επέκτασης του κόσμου των βυθίσεων. Η λέξη «submersions» μου φαίνεται κατάλληλη. Αν ένας αναγνώστης βρει διευκρινίσεις, θα είναι ευπρόσδεκτες.
Καμπυλότητα συγκεντρωμένη σε ένα σημείο αιχμής
Θα υπολογιστεί αθροίζοντας τις γωνίες στις κορυφές και συγκρίνοντας αυτό το άθροισμα με το ευκλείδειο άθροισμα: 2π.
Στην πάνω αριστερή γωνία, έχει απεικονιστεί μία από τις πολυεδρικές αναπαραστάσεις του σημείου αιχμής. Η «αποσυναρμολόγηση» του αντικειμένου (δεξιά) οδηγεί σε ένα άθροισμα που υπερβαίνει το ευκλείδειο άθροισμα 2π κατά μια τιμή 2α. Συνάγεται ότι η γωνιακή καμπυλότητα συγκεντρωμένη κοντά σε αυτό το σημείο C είναι -2α. Αν η γωνία α είναι ίση με π/2, τότε η αρνητική καμπυλότητα ισούται με c (σχέδιο κάτω αριστερά). Στην πραγματικότητα, η καμπυλότητα συγκεντρωμένη σε ένα σημείο αιχμής μπορεί να λάβει άπειρες τιμές. Κάτω δεξιά, ενισχύουμε το γωνιακό άθροισμα και η καμπυλότητα γίνεται τότε < 2α. Ενισχύουμε την αρνητική καμπυλότητα.
Ενεργώντας αντίστροφα, μπορούμε να καταλήξουμε σε μια αρκετά έκπληκτική κατάσταση: να κάνουμε την (γωνιακή) καμπυλότητα συγκεντρωμένη στο C να είναι ... μηδέν:
Μπορούμε τώρα να ξεκινήσουμε από μια πολυεδρική αναπαράσταση της Crosscap όπου φιγούρα δύο σημεία αιχμής που αντιστοιχούν各自 (σε) μια αρνητική καμπυλότητα ίση με -π:
Υπάρχουν οκτώ «posicoins» που αντιστοιχούν σε μια τιμή +π/2. Προσθέτουμε τέσσερα άλλα «posicoins» με καμπυλότητα +π/4 και τέσσερα «negacoins» με καμπυλότητα -π/4.
Συν τα δύο σημεία αιχμής με καμπυλότητα -π.
Σύνολο: 2π
Διαιρώντας αυτή την συνολική καμπυλότητα με 2π, ανακαλύπτουμε την χαρακτηριστική Euler-Poincaré όλων των αναπαραστάσεων του προβολικού επιπέδου (όπως η επιφάνεια του Boy).
Κατά τη διάρκεια της ομιλίας μου, ανέφερα την τέχνη και τον τρόπο να μεταθέσουμε τα δύο σημεία αιχμής μιας Cross Cap, χρησιμοποιώντας το αναποδογύρισμα της σφαίρας. Δεν θυμάμαι αν το έβαλα κάπου στον ιστότοπό μου. Είναι ένα τέτοιο μπερδεμένο. Θα πρέπει να ψάξω, αλλιώς θα το βάλω κάπου. Είναι αρκετά διασκεδαστικό. Πάντως, αυτή η επίδειξη δεν άρεσε πολύ σε έναν από τους παρόντες, κατά το σεμινάριο.
- Δεν βλέπω γιατί ο Petit χρησιμοποιεί ένα τέτοιο εξοπλισμό για να δείξει τη συμμετρία που ενώνει τα δύο σημεία αιχμής μιας Cross Cap. Υπάρχει πολύ πιο απλό.
Και ζωγράφισε στον πίνακα την εικόνα μιας σφαίρας συμπιεσμένης από δύο χάρακες που γίνονται συνεχόμενοι και που δίνει πράγματι ένα σύνολο αυτοτομής με τη μορφή ενός τμήματος οριοθετημένου από δύο σημεία αιχμής, όπως συμβαίνει με την Cross Cap. Δυστυχώς, και ο άνθρωπος το κατάλαβε, αυτό δεν είναι Cross Cap.
- Που να πάρνεις, αλλά τότε τι είναι; Ρώτησε κάποιος.
Είναι απλά μια σφαίρα, εφοδιασμένη με δύο σημεία αιχμής. Αν τα κάνουμε να συγκλίνουν, λαμβάνουμε μια γραμμή αυτοτομής που γίνεται τότε ένας απλός κύκλος. Και λαμβάνουμε κάτω αριστερά (σε τομή) μια βύθιση (immersion) της σφαίρας που δεν έχουμε παρά να μετατρέψουμε σε την ενσωμάτωσή της (plongement). Μπορούμε επιπλέον να περάσουμε σε μια πολυεδρική αναπαράσταση αυτής της επιφάνειας:
Είναι διμερής (bilatère) και η καμπυλότητα είναι 2π.
Μπορούμε λοιπόν να διασκεδάσουμε αρκετά με αυτές τις «submersions». Πάρτε μια βύθιση του τόρου που consiste (συνίσταται) στο να περιστρέψουμε το σύμβολο «άπειρο» ή ένα «οκτώ», γύρω από έναν άξονα.
Η τεχνική της σύγκλισης των σημείων αιχμής θα μας επιτρέψει να φτάσουμε πολύ γρήγορα στην standard ενσωμάτωση (plongement) του τόρου, όπως φαίνεται στη σειρά των σχεδίων.
Αλλά τα πράγματα δεν αποδεικνύονται πάντα τόσο εύκολα και προφανή. Πάρτε για παράδειγμα μια σφαίρα που συμπιέζω μεταξύ δύο τμημάτων που, αυτή τη φορά, έχουν μήκη μικρότερα από τη διάμετρο. Λαμβάνουμε πάλι δύο σημεία αιχμής.
Επειδή μπορούμε να εγγράψουμε σε αυτήν μια ταινία Moebius, αυτή η επιφάνεια είναι μονομερής (unilatère). Έχει απεικονιστεί η πολυεδρική αναπαράστασή της που επιτρέπει τον υπολογισμό της συνολικής καμπυλότητας. Βρίσκουμε τότε μηδέν. Αν δεν κάνω λάθος, θα ήταν τότε μια φιάλη του Klein. Γνωρίζουμε γενικά μόνο την πιο κλασική βύθιση όπου η γραμμή αυτοτομής είναι ένας απλός κύκλος. Αλλά υπάρχουν και άλλες, όπως αυτή. Ομολογώ ότι δεν έχω βρει ακόμα πώς να μετατρέψω το παραπάνω αντικείμενο σε μια βύθιση της φιάλης του Klein. Δεν ξέρω εξάλλου αν οι διάφορες βύθισες ανήκουν στην ίδια ομάδα ομοτοπίας (η σφαίρα έχει μόνο μία). Καταρχήν όχι, αφού ο τόρος μπορεί να βυθιστεί με τέσσερις διαφορετικούς τρόπους, που δεν μπορούν να συνδεθούν μεταξύ τους με μια κανονική ομοτοπία. Εν τω μεταξύ, διασκέδασα μετατρέποντας αυτή την επιφάνεια δημιουργώντας δύο επιπλέον σημεία αιχμής και λαμβάνουμε τότε δύο Cross Caps συνδεδεμένες με έναν σωλήνα. Τεμαχίζοντάς τις, ανακαλύπτουμε μια χαρακτηριστική Euler-Poincaré ίση με μηδέν.
Αυτή η «παράξενη επιφάνεια» θα πρέπει να μπορεί να μετατραπεί σε μία από τις βύθισες της φιάλης του Klein. Αλλά ποια; Σε κάθε περίπτωση, εδώ είναι μία που λαμβάνεται περιστρέφοντας το «Οκτώ» γύρω από έναν άξονα και κάνοντάς το να εκτελέσει επιπλέον μια ημιπεριστροφή:
Επιστροφή στον πίνακα «Μεταβολή μιας Cross Cap σε Boy»
Επιστροφή στα Νέα Επιστροφή στον Οδηγό Επιστροφή στην Αρχική Σελίδα
Αριθμός επισκέψεων από τις 6 Οκτωβρίου 2003: