Το Κεντρικό Μοντέλο της Αναστροφής του Κύβου
31 Δεκ 2001
Έχετε όλοι δει να περιστρέφεται, ακούραστα, ένα παράξενο αντικείμενο στο αριστερό μέρος της αρχικής σελίδας του ιστότοπου. Περί τίνος πρόκειται;
Μια μέρα, όταν θα έχω χρόνο, θα εγκαταστήσω στον ιστότοπο μια περιγραφή της αναστροφής της σφαίρας, όπως την είχα εικονογραφήσει στο τεύχος Ιανουαρίου 1979 του Pour la science, δηλαδή πριν από... 22 χρόνια. Όλο αυτό θα απαιτούσε προφανώς πολλές λεπτομέρειες και εισαγωγή. Να αναστρέφεις μια σφαίρα, τι σημαίνει αυτό; Μια σφαίρα δεν έχει την ίδια σημασία για τον άνθρωπο του δρόμου και για τον μαθηματικό-γεωμέτρη. Για τον άνθρωπο του δρόμου, αυτή ορίζεται ως, σε έναν τρισδιάστατο χώρο, ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που βρίσκονται σε απόσταση R από ένα σταθερό σημείο O αυτού. Ένας γεωμέτρης θα εξακολουθήσει να αποκαλεί «σφαίρα» ένα αντικείμενο που θα αντιστοιχούσε σε μια «παραμορφωμένη σφαίρα», ένα είδος «πατάτας». Για να κατανοήσετε όλες αυτές τις έννοιες με περισσότερη ακρίβεια, προμηθευτείτε το CD Lanturlu που φέρει το κόμικ «Le Topologicon». Αλλά ο μαθηματικός πηγαίνει ακόμη πιο μακριά. Όταν μια επιφάνεια λέγεται «κανονική», μπορεί κανείς σε κάθε σημείο της να ορίσει ένα εφαπτόμενο επίπεδο. Αυτό επιτρέπει ήδη να προβλέψει κανείς ένα άπειρο παραμορφώσεων της «αρχικής σφαίρας» σε ένα άπειρο πατατών, όταν επιπλέον το εμβαδόν της εν λόγω επιφάνειας μπορεί να είναι οποιοδήποτε. Τούτου λεχθέντος, σε ένα «φυσικό σύμπαν» το άτομο που παραμορφώνει αυτή τη σφαίρα θα προσκρούσει στην αδυναμία να την κάνει να διαπεράσει τον εαυτό της. Αν αυτές οι διαπεράσεις ή ακόμη και αυτές οι επαφές απαγορεύονται, τότε θα μιλήσουμε για εμβυθίσεις της σφαίρας S2. Αλλά ένας μαθηματικός δίνει στον εαυτό του όλα τα δικαιώματα. Μια σφαίρα είναι, γι' αυτόν, ένα «εικονικό» αντικείμενο όπου οι διαπεράσεις στρωμάτων καθίστανται δυνατές. Η σειρά σχεδίων που ακολουθεί δείχνει μια σφαίρα που «αυτοδιαπεράστηκε». Αποκαλούμε τότε αυτή την αναπαράσταση της σφαίρας εμβύθιση.
Μια εμβύθιση διαθέτει ένα σύνολο αυτοτομής ή αυτοδιατομής (εδώ μια απλή κυκλική καμπύλη). Το εφαπτόμενο επίπεδο πρέπει να μεταβάλλεται συνεχώς. Τούτου λεχθέντος, όταν κοιτάζει κανείς τα παραπάνω σχέδια, βλέπει ότι η πράξη γυρίζει πράγματι ένα μέρος (που αναπαρίσταται με το πράσινο χρώμα) του εσωτερικού της σφαίρας προς τα έξω. Για να ολοκληρωθεί μια τέτοια αναστροφή θα έπρεπε να συνθλίψουμε αυτό το είδος ισημερινού λουκάνικου. Το πράγμα φαίνεται εκ πρώτης όψεως προβληματικό. Αυτή η σύνθλιψη θα έσπαγε τη συνέχεια του εφαπτόμενου επιπέδου. Η πράξη θα περιλάμβανε επομένως ένα στάδιο που δεν θα ήταν εμβύθιση.
Μια μέρα ένας Αμερικανός μαθηματικός, ο Stephen Smale, απέδειξε ότι «Η σφαίρα S2 δεν διέθετε παρά μία μόνο κλάση εμβύθισης». Το πόρισμα αυτής της σιβυλλικής φράσης ήταν ότι θα έπρεπε να μπορεί κανείς να συνδέσει μια ακολουθία εμβυθίσεων της σφαίρας που να επιτρέπει το πέρασμα από την «τυπική σφαίρα» στην «αντιποδική» αναπαράστασή της, δηλαδή εκείνη της οποίας όλα τα σημεία θα είχαν αντικατασταθεί από το αντίποδό τους. Με λίγα λόγια... μια ανεστραμμένη σφαίρα, μέσα-έξω. Ο Raoul Bott ήταν το αφεντικό του Smale. Όσο η απόδειξη του τελευταίου, καθαρά τυπική, φαινόταν άψογη, άλλο τόσο κανείς δεν έβλεπε πώς να το χειριστεί για να πραγματοποιήσει την πράξη. Ο Bott έλεγε αδιάκοπα στον Smale «δείξε μου πώς θα σκεφτόσουν να προχωρήσεις», στο οποίο ο Smale, με το περίφημο τραύλισμά του, απαντούσε «δεν έχω την παραμικρή ιδέα». Ο Smale έλαβε στη συνέχεια το μετάλλιο Fields, που ισοδυναμεί με βραβείο Νόμπελ, αλλά για τα μαθηματικά. Παρεμπιπτόντως, μπορεί να αναρωτηθείτε γιατί ο Νόμπελ δεν είχε ποτέ θελήσει να δημιουργήσει βραβείο Νόμπελ μαθηματικών. Η απάντηση είναι απλή: η γυναίκα του έφυγε με έναν μαθηματικό.
Τα πράγματα έμειναν ως είχαν για αρκετά χρόνια, μέχρι που ένας Αμερικανός μαθηματικός ονόματι Anthony Phillips δημοσίευσε το 1967 στο Scientific American μια πρώτη εκδοχή αυτής της αναστροφής, φρικτά περίπλοκη. Η δεύτερη επινοήθηκε στις αρχές της δεκαετίας του εβδομήντα από τον Γάλλο (τυφλό) μαθηματικό Bernard Morin. Ήμουν ο πρώτος που σχεδίασε αυτή τη σειρά μετασχηματισμών που θα αποτελέσει, όπως είπα ήδη, το αντικείμενο ενός επόμενου άρθρου στον ιστότοπο, αρκετά εκτενούς άλλωστε. Εν πάση περιπτώσει, αυτό μας οδηγεί σε ένα παράπλευρο συμπέρασμα. Οι επιφάνειες μπορούν να αποτελέσουν αντικείμενο πολυεδρικών αναπαραστάσεων. Ένας κύβος ή ένα τετράεδρο μπορούν να θεωρηθούν ως πολυεδρικές αναπαραστάσεις της σφαίρας, στον βαθμό που αυτά τα αντικείμενα έχουν την ίδια τοπολογία. Σε αυτό το σημείο, συμβουλευτείτε το κόμικ μου το Topologicon. Επιπλέον, θα κατανοήσει κανείς ότι αν είναι δυνατόν να αναστρέψει κανείς μια σφαίρα, είναι επίσης δυνατόν να αναστρέψει έναν κύβο. Ο μετασχηματισμός που επινόησε ο Bernard Morin (τον οποίο εικονογράφησα στο άρθρο του Ιανουαρίου 1979 του Pour la Science) περνά από ένα κεντρικό μοντέλο. Υπάρχει μια συμμετρία σε αυτή την ακολουθία. Αυτό είναι αυτό που αποκαλούμε «το κεντρικό μοντέλο με τέσσερα αυτιά». Και εδώ προτρέχω. Αλλά όπως η σφαίρα μπορεί να προσφερθεί σε πολυεδρικές αναπαραστάσεις, το ίδιο ισχύει και για τα διαδοχικά στάδια αυτών των μετασχηματισμών. Το αντικείμενο που βλέπετε να περιστρέφεται στην αρχική μου σελίδα είναι έτσι η πολυεδρική εκδοχή του κεντρικού μοντέλου της αναστροφής της σφαίρας, ένα μοντέλο που επινόησα πριν από περίπου δέκα χρόνια. Το ενδιαφέρον αυτών των πολυεδρικών μοντέλων είναι ότι μπορεί κανείς να τα κατασκευάσει με επίπεδες επιφάνειες. Μπορεί μάλιστα να τα διατάξει σύμφωνα με σχέδια κοπής. Ρίξτε μια ματιά στο παρακάτω σχέδιο (ευχαριστώ παρεμπιπτόντως τον φίλο μου Christophe Tardy, που παρήγαγε τα στοιχεία του σωστά διαστασιολογημένα).
Αυτό είναι ένα σχέδιο που θα εκτυπωνόταν στον εκτυπωτή σας σε μικρή μορφή, μη αξιοποιήσιμη.
Για να εκτυπώσετε αυτό το σχήμα σε ένα φύλλο A4
Πρέπει τότε να κάνετε τέσσερα φωτοαντίγραφα σε χαρτί μπρίστολ A4, δύο φύλλα ενός χρώματος, δύο φύλλα ενός άλλου
Αυτό είναι ένα σχέδιο κοπής του οποίου έχετε εδώ μια γενική άποψη. Αλλά για να το εκτυπώσετε είναι προτιμότερο να μεταβείτε στη σελίδα κοπής. Εκτυπώστε την. Έπειτα, εφοδιασμένος με αυτό το αντίτυπο που εκτυπώθηκε στο κανονικό χαρτί του εκτυπωτή σας, πηγαίνετε σε ένα φωτοαντιγραφικό και κάντε τέσσερα πανομοιότυπα αντίγραφα αυτού του σχεδίου, δύο σε δύο φύλλα πράσινου μπρίστολ και δύο σε κίτρινα. Θα είστε σε θέση, με τη βοήθεια αυτού του σχεδίου κοπής, να κατασκευάσετε το κεντρικό μοντέλο της αναστροφής του κύβου.
Έχετε, σε αυτά τα κομμένα στοιχεία, ζεύγη γραμμάτων: a, b c, d, e, f κ.λπ.... Αρκεί να κάνετε τις διπλώσεις φέρνοντας τα ίδια γράμματα σε σύμπτωση, και έπειτα να συναρμολογήσετε αυτές τις έδρες με διαφανή κολλητική ταινία. Τα σχέδια που ακολουθούν δείχνουν τον τρόπο συναρμολόγησης ενός από τα τέσσερα στοιχεία. Ιδού πρώτα πώς πρέπει να αρχίσει το δίπλωμα ενός από τα τέσσερα στοιχεία:
Ιδού δύο από αυτά τα τέσσερα στοιχεία, που φαίνονται από διαφορετικές γωνίες.
Αυτά διατάσσονται έπειτα για να δώσουν ένα αντικείμενο που έχει συμμετρία τάξης τέσσερα ή εναλλάσσει πράσινα και κίτρινα στοιχεία. Για να το δείτε σε 3D, ρίξτε μια ματιά στις υλοποιήσεις του κυρίου Tardy, σε «εικονική πραγματικότητα». Το πλήρως συναρμολογημένο κεντρικό μοντέλο παράγεται επίσης σε «vrml» σε αυτή την ενότητα. Ιδού αυτό το αντικείμενο, που φαίνεται από διαφορετικές γωνίες:
Δεν μπορεί κανείς να πει ότι μια άποψη αντιστοιχεί στο «πάνω» και η άλλη στο «κάτω», αφού αυτοί οι χαρακτηρισμοί θα ήταν εντελώς αυθαίρετοι. Στην αριστερή άποψη το «κεντρικό» σημείο αντιστοιχεί στο «διπλό σημείο» (όπου δύο στρώματα διασταυρώνονται) του κεντρικού μοντέλου του Morin, ενώ το κεντρικό σημείο στα δεξιά ισοδυναμεί με το «τετραπλό σημείο» αυτού του ίδιου μοντέλου (όπου τέσσερα στρώματα διασταυρώνονται). Έπρεπε να προσανατολίσω προσεκτικά το αντικείμενο, ώστε το αριστερό σχήμα να μην θυμίζει σβάστικα. Κατά τα άλλα, αρχιτεκτονικά μιλώντας, αυτή η πολυεδρική αναπαράσταση του κεντρικού μοντέλου του Morin θα μπορούσε να αποτελέσει ένα πολύ καλό σχέδιο για ένα σπίτι του εθνικοσοσιαλιστικού πολιτισμού.
Τελευταία άποψη:
Μια τελευταία παρατήρηση: δεν υπάρχει καλή πολυεδρική αναπαράσταση της αναστροφής της σφαίρας (άλλως της αναστροφής του κύβου). Με το «καλή» πρέπει να εννοήσουμε μια ακολουθία μοντέλων αρκετά σαφών που μπορούν να συναρμολογηθούν υπό μορφή σχεδίων κοπής με σχετικά εύκολο τρόπο, όπως το παραπάνω μοντέλο. Θα έπρεπε να γίνει μια έρευνα προς αυτή την κατεύθυνση, που είναι προσιτή σε οποιονδήποτε, ενδεχομένως σε έναν μη μαθηματικό, σε έναν εικαστικό, για παράδειγμα. Πριν από περισσότερα από είκοσι χρόνια ήμουν δάσκαλος γλυπτικής στην École des Beaux-Arts της Aix en Provence, τον καιρό που αυτή διοικούνταν ακόμη από τον εξαίρετό μου φίλο Jacques Boullier. Σε αυτούς τους χώρους γεννήθηκε η πρώτη μεσημβρινή αναπαράσταση της επιφάνειας του Boy με τη βοήθεια ελλείψεων, κλειδί για την κατασκευή της πρώτης άρρητης εξίσωσης από τον Apéry. Πρέπει να πω ότι εκείνη την εποχή πάντα με εξέπληττε η γεωμετρική φαντασία των φοιτητών τεχνών, που ξεπερνούσε πολύ συχνά εκείνη... των γεωμετρών.
Μετρητής αρχικοποιημένος στις 31 Δεκεμβρίου 2001. Αριθμός συνδέσεων:
Επιστροφή στο ευρετήριο μαθηματικών Εικονική πραγματικότητα Επιστροφή στα Νέα