Οι Κουατέρνιον

Η σφαίρα S3 και τα κουατέρνιον

BK

Αν η σφαίρα S3 μοιάζει περισσότερο με τον κύκλο S1 παρά με τη σφαίρα S2, αυτό συμβαίνει επειδή και οι δύο αντιστοιχούν στην ομάδα των μονάδων ενός σώματος αριθμών: στο σώμα των μιγαδικών αριθμών για την S1 και στο σώμα των κουατέρνιον για την S3. Αλλά αυτό δεν λειτουργεί με την S2, διότι το R3 δεν είναι σώμα αριθμών.

Για να κατανοήσουμε αυτές τις δομές, θα υπενθυμίσω πώς κάνουμε το R2 σώμα αριθμών βυθίζοντάς το στην άλγεβρα των τετραγωνικών πινάκων 2×2 με πραγματικούς συντελεστές. Θα δούμε στη συνέχεια ότι μια παρόμοια κατασκευή επιτρέπει να εφοδιάσουμε το R4 με δομή σώματος (το σώμα των κουατέρνιον) βυθίζοντάς το στην άλγεβρα των τετραγωνικών πινάκων 2×2 με μιγαδικούς συντελεστές.

1. Το σώμα των μιγαδικών αριθμών

Έστω M2(R) ο χώρος των πινάκων 2×2 με πραγματικούς συντελεστές. Είναι ο χώρος των πινάκων

ö ÷ ÷ ø | d |
|---|

όπου a,b,c,d είναι πραγματικοί αριθμοί. Γνωρίζουμε πώς να:

1. προσθέτουμε δύο πίνακες του M2(R),

2. πολλαπλασιάζουμε έναν πίνακα του M2(R) με έναν πραγματικό αριθμό,

3. πολλαπλασιάζουμε δύο πίνακες του M2(R) μεταξύ τους.

Συνοψίζοντας αυτές τις τρεις ιδιότητες, λέμε ότι το M2(R) είναι μια άλγεβρα. Έχει διάσταση 4, διότι χρειάζονται 4 παράμετροι για να την περιγράψουμε.

Σε κάθε διάνυσμα (x,y) του επιπέδου R2, μπορούμε να αντιστοιχίσουμε τον τετραγωνικό πίνακα με πραγματικούς συντελεστές

ö ÷ ÷ ø | x |
|---|

Παρατηρούμε τότε ότι

1. το άθροισμα 2 τέτοιων πινάκων είναι ακόμη της ίδιας μορφής

(y

1

• y

2

)

ö ÷ ÷ ø ,| x | 1 | + x | 2 |
|---|---|---|---|

2. το γινόμενο ενός τέτοιου πίνακα z με έναν πραγματικό αριθμό l είναι ακόμη αυτού του τύπου

ö ÷ ÷ ø ,| l | x |
|---|---|

3. το γινόμενο πινάκων 2 τέτοιων πινάκων επίσης

x

1

x

2

y

1

y

2

y

1

x

2

• x

1

y

2

• (y 1 x 2 + x 1 y 2 )

x

1

x

2

y

1

y

2

x

1

x

2

y

1

y

2

ö ÷ ÷ ø .

x

1

x

2

y

1

y

2

Έχουμε επομένως κατασκευάσει έναν υποχώρο του M2(R), τον οποίο θα συμβολίσουμε C, σταθερό ως προς την πρόσθεση, τον πολλαπλασιασμό με βαθμωτό και τον πολλαπλασιασμό πινάκων. Λέμε ότι το C είναι μια υποάλγεβρα του M2(R). Έχει διάσταση 2. Μπορούμε να παρατηρήσουμε μια σημαντική ιδιότητα αυτής της άλγεβρας: είναι αντιμεταθετική

z

1

z

2

= z

2

z

1

.

z

1

z

2

= z

2

z

1

.

Η ορίζουσα ενός πίνακα z Î C γράφεται

ê ê ê ê = x2 + y2 ,| x |
|---|

κατά συνέπεια, κάθε μη μηδενικός πίνακας z στο C είναι αντιστρέψιμος και ο αντίστροφός του

--- ****

æ ç ç è

| - | y |
|---|

ö ÷ ÷ ø | x |
|---|

ανήκει επίσης στο C. Λέμε ότι το C είναι σώμα. Μόλις ανακαλύψαμε εκ νέου το σώμα των μιγαδικών αριθμών.

Ο πίνακας που αντιστοιχεί στο διάνυσμα (1,0) είναι ο μοναδιαίος πίνακας ****

ö ÷ ÷ ø | 1 |
|---|

Ο πίνακας που αντιστοιχεί στο διάνυσμα (0,1), τον συμβολίζουμε i ****

ö ÷ ÷ ø | 0 |
|---|

Έχει την αξιοσημείωτη ιδιότητα

i

2

=

1

i

2

=

1

Με αυτούς τους συμβολισμούς, βλέπουμε ότι κάθε μιγαδικός αριθμός γράφεται με μοναδικό τρόπο

όπου x και y είναι πραγματικοί αριθμοί.

Ο συζυγής ενός στοιχείου z στο C ορίζεται ως ο ανάστροφος του πίνακα z

| - | y |
|---|

ö ÷ ÷ ø | x |
|---|

Στο σώμα των μιγαδικών αριθμών υπάρχουν δύο αξιοσημείωτοι υποχώροι. Αφενός υπάρχουν τα πολλαπλάσια του μοναδιαίου πίνακα 1, δηλαδή το σύνολο των πινάκων της μορφής

ö ÷ ÷ ø | x |
|---|

το οποίο είναι σταθερό ως προς την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό. Είναι ο πραγματικός χώρος, ταυτόσημος με το σώμα των πραγματικών αριθμών και εμφανίζεται ως υπόσωμα του C. Ορίζεται επίσης από την εξίσωση

| z = | - | z |
|---|

Υπάρχει επίσης ο υποχώρος των πινάκων z με μηδενικό ίχνος (το ίχνος ενός πίνακα είναι το άθροισμα των διαγώνιων στοιχείων του)

ö ÷ ÷ ø | 0 |
|---|

Ονομάζεται φανταστικός χώρος. Είναι σταθερός ως προς την πρόσθεση αλλά όχι ως προς τον πολλαπλασιασμό. Παρατηρούμε ότι είναι επίσης ο χώρος των 2×2 πινάκων που είναι αντισυμμετρικοί.

Με αυτούς τους ορισμούς, το συνηθισμένο εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων του R2 υπολογίζεται εύκολα. Αν z1 είναι ο πίνακας που αντιστοιχεί στο (x1,y1) και z2 είναι ο πίνακας που αντιστοιχεί στο (x2,y2), τότε --- ****

(x 1 ,y 1 )·(x 2 ,y 2 ) = 1 2 Tr (z 1 - z 2 )

(x 1 ,y 1 )·(x 2 ,y 2 ) = 1 2 Tr (z 1 - z 2 )

Η νόρμα ενός διανύσματος (x,y) που αντιστοιχεί στο z γράφεται

**** --- ****

\ \ (x,y) \ \ 2 = x 2 + y 2 = Det (z) = 1 2 Tr (z - z )

\ \ (x,y) \ \ 2 = x 2 + y 2 = Det (z) = 1 2 Tr (z - z )

Ονομάζεται επίσης μέτρο ή νόρμα του μιγαδικού z και συμβολίζεται | z|. Έχουμε βεβαίως | z1z2| = | z1|| z2|.

Η υποομάδα των μονάδων του σώματος C, την οποία συμβολίζουμε U(1), είναι το σύνολο των στοιχείων z του C που ικανοποιούν

\ z\ 2 = z - z = x 2 + y 2 = 1 .

\ z\ 2 = z - z = x 2 + y 2 = 1 .

Αυτό το σύνολο είναι σταθερό ως προς τον πολλαπλασιασμό. Το στοιχείο 1 ανήκει στο U(1). Κάθε στοιχείο του U(1) είναι αντιστρέψιμο και ο αντίστροφός του ανήκει επίσης στο U(1). Λέμε ότι το U(1) είναι ομάδα. Προσοχή, το άθροισμα δύο στοιχείων του U(1) δεν ανήκει γενικά στο U(1). Η προηγούμενη κατασκευή ανέδειξε επομένως τον κύκλο S1 ως ομάδα, την ομάδα των μοναδιαίων στοιχείων του C. Η εφαπτομένη στον κύκλο S1 στο σημείο 1, αυτό που ονομάζουμε άλγεβρα Lie της ομάδας U(1), είναι η φανταστική ευθεία που ορίζεται από

2 Το σώμα των κουατέρνιον

Ορισμός.

Ας επαναλάβουμε την προηγούμενη κατασκευή για να εφοδιάσουμε το R4 με δομή σώματος. Έστω M2(C) ο χώρος των πινάκων 2×2 με μιγαδικούς συντελεστές. Σε κάθε ζεύγος μιγαδικών αριθμών (a,b) μπορούμε να αντιστοιχίσουμε τον τετραγωνικό πίνακα με μιγαδικούς συντελεστές

ö ÷ ÷ ÷ ø | - | a |
|---|

| - | a |
|---|

Παρατηρούμε τότε ότι:

1. το άθροισμα 2 τέτοιων πινάκων είναι ακόμη της ίδιας μορφής

(b

1

• b

2

)

a

1

a

2

a

1

a

2

ö ÷ ÷ ÷ ø ,

a

1

a

2

2. το γινόμενο ενός τέτοιου πίνακα q με έναν πραγματικό αριθμό l είναι ακόμη αυτού του τύπου

ö ÷ ÷ ÷ ø ,| l | - | a |
|---|---|---|

| l | - | a |
|---|

3. το γινόμενο πινάκων 2 τέτοιων πινάκων επίσης

a 1 a 2 - b 1 - b 2

a

1

b

2

• b

1

a

2

• a 1 - b 2 - - b 2 - a 1

• a 1 - a 2 - - b 1 - b 2

• a 1 - a 2 - - b 1 - b 2

ö ÷ ÷ ÷ ø .

• a 1 - a 2 - - b 1 - b 2

Έχουμε επομένως κατασκευάσει μια υποάλγεβρα του M2(C) την οποία θα συμβολίσουμε K. Αλλά σε αντίθεση με το C, αυτή η άλγεβρα δεν είναι αντιμεταθετική. Πράγματι, έχουμε για παράδειγμα

ö ÷ ÷ ø æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø = æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø | 0 |
|---|

ενώ

ö ÷ ÷ ø æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø = æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø | 0 |
|---|

Η ορίζουσα ενός πίνακα q Î K γράφεται

ê ê ê ê ê = | a|2 + | b|2 ,| - | a |
|---|---|---|

| - | a |
|---|

κατά συνέπεια, κάθε μη μηδενικός πίνακας q στο K είναι αντιστρέψιμος και ο αντίστροφός του

--- ****

æ ç ç ç è

ö ÷ ÷ ÷ ø | a |
|---|

ανήκει επίσης στο K. Ονομάζουμε K το σώμα των κουατέρνιον. Είναι επίσης ένας πραγματικός διανυσματικός χώρος διάστασης 4. Μπορούμε να γράψουμε κάθε κουατέρνιον q με τη μορφή

q = t

1

• x

I

• y

J

• z

K

q = t

1

• x

I

• y

J

• z

K

όπου

ö ÷ ÷ ø I = æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø J = æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø K = æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø | 0 |
|---|

Επαληθεύουμε χωρίς κόπο τις ακόλουθες σχέσεις:

I2 = J2 = K2 = - 1,

IJ = - JI = K , ** JK** = - KJ = I , KI = - IK = J.

Το συνηθισμένο εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων στο R4 που παριστάνονται από τα κουατέρνιον

q

1

= t

1

1

• x

1

I

• y

1

J

• z

1

K

q 1 = t 1 1 + x 1 I + y 1 J + z 1 K

και

q

2

= t

2

1

• x

2

I

• y

2

J

• z

2

K

q 2 = t 2 1 + x 2 I + y 2 J + z 2 K

γράφεται

--- ****

(t 1 ,x 1 ,y 1 ,z 1 )·(t 2 ,x 2 ,y 2 ,z 2 ) = 1 2 Tr (q 1 - q 2 )

(t 1 ,x 1 ,y 1 ,z 1 )·(t 2 ,x 2 ,y 2 ,z 2 ) = 1 2 Tr (q 1 - q 2 )

Η νόρμα ενός διανύσματος (t,x,y,z) που παριστάνεται από το q γράφεται

**** --- ****

\ \ (t,x,y,z) \ \ 2 = t 2 + x 2 + y 2 + z 2 = Det (q) = 1 2 Tr (q - q )

\ \ (t,x,y,z) \ \ 2 = t 2 + x 2 + y 2 + z 2 = Det (q) = 1 2 Tr (q - q )

Ονομάζεται επίσης μέτρο ή νόρμα του κουατέρνιον q και συμβολίζεται | q|. Έχουμε βεβαίως | q1q2| = | q1|| q2|.

Πραγματικά και φανταστικά κουατέρνιον.

Ο συζυγής ενός στοιχείου q στο K ορίζεται ως ο ανάστροφος του συζυγούς πίνακα του q

ö ÷ ÷ ÷ ø | a |
|---|

Ένα κουατέρνιον q λέγεται πραγματικό αν είναι της μορφής

ö ÷ ÷ ø | t |
|---|

όπου t είναι πραγματικός αριθμός. Αυτό επιτρέπει να ταυτίσουμε το R με ένα υπόσωμα του K. Ο υποχώρος των πραγματικών κουατέρνιον ορίζεται από την εξίσωση

| q = | - | q |
|---|

Ορίζουμε επίσης τον χώρο των φανταστικών κουατέρνιον H από την εξίσωση

| Tr | (q) = 0 . |
|---|

Είναι ένας χώρος διάστασης 3, που παράγεται από τα I,J,K. Ορίζεται επίσης ως ο χώρος των πινάκων M του M2(C) που είναι αντιερμιτιανοί

M = t`M = - M*

(M* είναι ο ανάστροφος του πίνακα των συζυγών μιγαδικών στοιχείων) με μηδενικό ίχνος

| Tr | (M) =0 |
|---|

Παρατήρηση 1: * Στην περίπτωση του σώματος C, είχαμε διαπιστώσει ότι ο φανταστικός χώρος αποτελούνταν από τους πραγματικούς 2×2 αντισυμμετρικούς πίνακες. Αλλά το ίχνος ενός αντισυμμετρικού πίνακα *

tM = - M * είναι αναγκαστικά μηδενικό, πράγμα που δεν συμβαίνει με έναν αντιερμιτιανό πίνακα *

M = t`M = - M .*

*Η ομάδα των μονάδων. * * *

Η υποομάδα των μονάδων του σώματος K, την οποία συμβολίζουμε SU(2), είναι το σύνολο των στοιχείων q του K που ικανοποιούν

\ q\ 2 = z - z = t 2 + x 2 + y 2 + z 2 = 1 .

\ q\ 2 = z - z = t 2 + x 2 + y 2 + z 2 = 1 .

Είναι το σύνολο των σημείων που ανήκουν στη σφαίρα S3, η οποία εμφανίζεται έτσι εφοδιασμένη με μια δομή ομάδας, την ομάδα SU(2). Ο εφαπτόμενος χώρος (διάστασης 3) στη σφαίρα S3, τον οποίο ονομάζουμε άλγεβρα Lie της ομάδας SU(2), είναι ο φανταστικός χώρος που ορίζεται από

| Tr | (q) = 0 . |
|---|

Θα μπορούσε κανείς να επαληθεύσει ότι η αγκύλη Lie δύο στοιχείων του H, X και Y

| [X,Y] = XY | - | YX |
|---|

ανήκει ακόμη στο H.

Ο εφαπτόμενος χώρος στη σφαίρα S3 σε ένα οποιοδήποτε σημείο q προκύπτει πολλαπλασιάζοντας από αριστερά με q τα στοιχεία του φανταστικού χώρου H

T

q

S

3

= q H.

T

q

S

3

= q H.

Κάθε γεωδαισιακή της σφαίρας S3 που ξεκινά από το σημείο 1 προς την κατεύθυνση X (όπου X ανήκει στο H και | X| = 1) ορίζεται από

| q(s) = exp(sX) = cos(s) | 1 | + sin(s) X |
|---|

Επιστροφή στην αρχική σελίδα

Αριθμός επισκέψεων από τις 14 Μαΐου 2004: