Μαθηματική Φυσική και Γεωμετρία

Φυσική και Γεωμετρία

2 Νοεμβρίου 2004

Η μαθηματική φυσική, της οποίας ένας από τους πρωτοπόρους ήταν ο μαθηματικός Jean-Marie Souriau, περνά από τη γεωμετρία. Κατά τη διάρκεια αυτής της διαδικασίας, οι ποσότητες που ανήκουν στη φυσική, όπως η ενέργεια, η μάζα, η ορμή, το σπιν, το ηλεκτρικό φορτίο, γίνονται ποσότητες μόνο γεωμετρικής φύσης, με τη βοήθεια ενός εργαλείου, τη θεωρία των ομάδων. Τι χρειάζεται για να προχωρήσεις σε αυτόν τον κόσμο, ή αυτήν την προσέγγιση του κόσμου; Πολλά πράγματα: να μπορείς να χειρίζεσαι πίνακες. Αν αυτά τα αντικείμενα σου είναι άγνωστα, κάνε την προσπάθεια να τα γνωρίσεις, το παιχνίδι αξίζει την κούραση. Αν "τα έχεις δει παλιότερα", αποκοιμίστε τις γνώσεις σας, θα μπορούσαν να σας οδηγήσουν πολύ μακριά και να απαντήσουν σε ερωτήματα όπως:

• Ποια είναι η πραγματική φύση του σπιν των σωματιδίων;

• Τι είναι το αντιύλιο;

Για να κατεβάσετε το αρχείο pdf "Φυσική και Γεωμετρία"

Η αντίστροφη δράση της ομάδας Poincaré στο χώρο της ορμής

Προσοχή: μόνο για αναγνώστες που είναι ιδιαίτερα "επιστημονικά κατευθυνόμενοι". Αυτό δεν είναι επιστημονική εκπαίδευση

24 Οκτωβρίου 2004

Η φυσική έχει πάντα έχει στενή σχέση με τη γεωμετρία. Ο μαθηματικός Jean-Marie Souriau είναι ένας από τους ιδρυτές της μαθηματικής φυσικής. Αυτή περνά από μια γεωμετρική αναπαράσταση της φυσικής, πολύ ευφάνταστη. Τα πάντα βασίζονται σε ομάδες, με πραγματικά συντελεστές, όπως η ομάδα Lorentz και η ομάδα Poincaré που είναι εδώ αναπαραστατικές με πίνακες με πραγματικούς συντελεστές. Σε αυτό που θα ακολουθήσει, όλα ξεκινούν από έναν μοναδικό πίνακα G που σχετίζεται με τη μετρική του χώρου Minkowski που είναι αυτός της Ειδικής Σχετικότητας. Με τη βοήθεια αυτού του πίνακα ορίζουμε μια πρώτη ομάδα L, αναπαραστατική με πίνακες διαστάσεων (4,4). Αυτή η ομάδα δρα στο χώρο-χρόνο, που αποτελείται από σημεία-γεγονότα. Από αυτούς τους πίνακες και ένα "διάνυσμα μεταφοράς χωροχρονικό" C κατασκευάζουμε μια δεύτερη ομάδα αναπαραστατική με πίνακες (5,5) που επίσης δρα στο χώρο-χρόνο. Σε αυτόν τον χώρο-χρόνο θα θεωρήσουμε "κινήσεις". Το έννοια της τροχιάς είναι φτωχή. Η κίνηση ενός σωματιδίου πρέπει να συνδεθεί με ποσότητες όπως η ενέργεια E, η ορμή p. Για ένα θεωρητικό φυσικό, ένα σωματίδιο που είναι ένα "υλικό σημείο" πρέπει να διαθέτει επίσης σπιν. Αλλά τι είναι ένα τέτοιο αντικείμενο; Μπορεί ένα υλικό σημείο να "στρέφεται γύρω από τον εαυτό του;".

Ο Souriau έχει εισάγει γεωμετρικά αυτές τις ποσότητες ξεκινώντας μόνο από τις ομάδες. Αυτά είναι, το αναγνωρίζω, αρκετά δύσκολα. Μια ομάδα "δρα". Αρχίζει λοιπόν με την έννοια της δράσης. Η ομάδα δρα στις κινήσεις στον νόημα ότι ένα στοιχείο της ομάδας Poincaré μετασχηματίζει μια κίνηση σε μια άλλη κίνηση, η οποία εμφανίζεται στο χώρο των κινήσεων, το χώρο-χρόνο. Μια ομάδα "μεταφέρει". Η ομάδα του Ευκλείδη περιλαμβάνει για παράδειγμα τις μεταφορές και τις περιστροφές σε ένα 3D χώρο. Επιτρέπει τη μεταφορά σημείων ή συνόλων σημείων. Αυτή η ιδέα είναι αρκετά φυσική. Όταν πρόκειται για το χώρο-χρόνο, μεταφέρουμε "κινήσεις". Ας θεωρήσουμε δύο παρόμοια καπνιστικά, τοποθετημένα σε διαφορετικές θέσεις σε ένα 3D χώρο. Υπάρχει πάντα ένα στοιχείο της ομάδας του Ευκλείδη που με τη βοήθεια μιας μεταφοράς και μιας περιστροφής μπορεί να φέρει το πρώτο καπνιστικό στο δεύτερο. Με τη βοήθεια της ομάδας, αν γνωρίζουμε την περιγραφή ενός καπνιστικού κάπου στο χώρο, μπορούμε να κατασκευάσουμε "όλα τα δυνατά καπνιστικά", σε όλες τις θέσεις του χώρου και σε όλες τις δυνατές κατευθύνσεις.

Στο χώρο-χρόνο, το αντικείμενο είναι μια "κίνηση". Οι κινήσεις που χειρίζεται η ομάδα Poincaré αντιστοιχούν σε ένα "υλικό σημείο σχετικιστικό". Με τον ίδιο τρόπο, με τη βοήθεια της ομάδας, αν γνωρίζουμε μια από αυτές τις κινήσεις, τις γνωρίζουμε όλες. Ωστόσο, ένα σωματίδιο είναι μια συγκεκριμένη κίνηση του υλικού σημείου. Μπορούμε να συνοψίσουμε αυτή την προσέγγιση της παρατήρησης των πραγμάτων, όπως λέει:

Πες μου πώς κινείσαι, θα σου πω τι είσαι

Ο Souriau έδειξε ότι ο χώρος των κινήσεων θα πρέπει να συνδεθεί με ένα δεύτερο χώρο, αυτόν που τον ονόμασε "χώρος των ορμών". Με "ορμή", ο Souriau εννοεί τις παραμέτρους που συνδέονται με ένα σωματίδιο. Όταν αυτό το σωματίδιο παρατηρείται με έναν συγκεκριμένο τρόπο, δηλαδή περιγράφεται σε ένα κατάλληλο σύστημα συντεταγμένων, τρεις ποσότητες προκύπτουν:

*E , p , s *

Η ενέργεια E, η ορμή p και αυτό το μυστηριώδες αντικείμενο που είναι το σπιν s. Αυτά τα αντικείμενα εμφανίζονται τότε ως καθαρά γεωμετρικές ποσότητες μέσω της αντίστροφης δράσης της ομάδας στο χώρο των ορμών.

Σήμερα οι αστροφυσικοί παίζουν με ένα αντικείμενο που το ονομάζουν "σκοτεινή ενέργεια", το μόνο νέο συστατικό του κόσμου που φαίνεται να είναι ικανό να εξηγήσει το φαινόμενο της δεύτερης επιτάχυνσης του σύμπαντος, που σχετίζεται με απωθητικές δυνάμεις. Αυτή η "σκοτεινή ενέργεια" είναι ... αρνητική. Θα δούμε ότι η προσέγγιση που παρουσιάζεται εδώ οδηγεί επίσης στην ύπαρξη υλικών σημείων με αρνητική ενέργεια, ως απλή συνέπεια των ιδιοτήτων της ομάδας Poincaré, η οποία μπορεί να παράγει κινήσεις αυτού του τύπου. Πριν προχωρήσουμε σε αυτό θα ήταν απαραίτητο για τον επιστημονικό αναγνώστη να διαβάσει αυτό το έγγραφο και να το απορροφήσει. Σε τεχνική έννοια, αυτή η ανάγνωση δεν απαιτεί τίποτα περισσότερο από τη γνώση της χρήσης πινάκων. Πριν 15 χρόνια ήταν επίπεδο της τάξης της Β΄ Λυκείου, αλλά φαίνεται ότι τα πίνακες δεν διδάσκονται πλέον σε αυτό το επίπεδο. Πολύ λυπηρό, είναι ένα θεμελιώδες εργαλείο, αλλά αυτή η κατάργηση σίγουρα συνδέεται με μια "ενημέρωση των προγραμμάτων".

Για να κατεβάσετε το έγγραφο στη μορφή pdf

Σωματίδια με αρνητική ενέργεια

25 Οκτωβρίου 2004

Στη σύγχρονη αστροφυσική οι θεωρητικοί τείνουν να επικεντρώνονται σε αυτό που ονομάζουν "σκοτεινή ενέργεια", αρνητική, που είναι η αιτία της δεύτερης επιτάχυνσης του σύμπαντος, όπως προκύπτει από την παρατήρηση των μακρινών υπερνομών.

Η θεωρία