Έχουμε «καθαρίσει» το σχήμα εδώ για να το καταστήσουμε λίγο πιο ευκρινές. Μια επιφάνεια είναι ένα 2D αντικείμενο, εδώ «βυθισμένο» σε έναν άλλως ευκλείδειο 3D χώρο στον R3. Μπορούμε να το «δούμε» από πάνω. Τυχαίνει ότι αυτή η επιφάνεια είναι βυθίσιμη στον χώρο R3 «με ισόμετρο τρόπο». Δηλαδή, αν κολλήσουμε κάποια ταινία πάνω της, αυτή θα εγγράφεται αποτελεσματικά σε μια γεωδαιτική που ενώνει δύο σημεία της επιφάνειας, Α και Β. Το μήκος που μετριέται κατά μήκος του γεωδαιτικού τόξου είναι επίσης σωστό. Είναι ισομετρικό, ετυμολογικά «το ίδιο μήκος». Κάτω υπάρχει μια 2D αναπαράσταση που δεν είναι ισόμετρη... το μήκος του τόξου Α'Β' δεν είναι ίσο με αυτό του τόξου ΑΒ. Κατασκευάστε το ακόλουθο αντικείμενο με τη βοήθεια ενός φύλλου χαρτί, ενός μολυβιού και ενός ψαλιδιού:
Αυτό το σχέδιο δεν είναι ισόμετρο. Πρώτα απ' όλα, η καμπύλη που φαίνεται δεν είναι γεωδαιτική του επιπέδου. Δεύτερον, το πλάτος του τόξου ΑΒ δεν είναι το «πραγματικό μήκος» που θα μπορούσε να μετρηθεί στην «πραγματική επιφάνεια», η οποία «δεν έχει τρύπα». Το φύλλο χαρτί με την τρύπα είναι απλώς μια χρήσιμη αναπαράσταση, τίποτα περισσότερο. Το ίδιο ισχύει για την τεχνική σχεδίασης στη μία πλευρά του φύλλου και μετά στην άλλη, με ολόκληρη την καμπύλη να εμφανίζεται μόνο διαφανώς.
Στο ακόλουθο σχήμα, έχουμε δείξει τις γεωδαιτικές της επιφάνειας, υπολογισμένες από υπολογιστή (που εμφανίζονται στο άρθρο).
Οι διακεκομμένες γραμμές των καμπυλών αντιστοιχούν στα κλάδια «στην άλλη πλευρά» (σαν να βλέπαμε την επιφάνεια «από πάνω»).
Τώρα μια ερώτηση: μπορούμε να κατασκευάσουμε μια επίπεδη και ισόμετρη αναπαράσταση αυτών των γεωδαιτικών; Η απάντηση είναι ναι. Έχουμε δει ότι μπορούμε να αλλάξουμε τη μεταβλητή r σε μεταβλητή r. Άρα οι γεωδαιτικές μπορούν να απεικονιστούν σε ένα επίπεδο «πολικών συντεταγμένων» (r, j). Οι γεωδαιτικές (εδώ μια μη-ακτινική γεωδαιτική) μοιάζουν με το ακόλουθο:
Αυτή είναι μια ισόμετρη αναπαράσταση. Δηλαδή, τρία σημεία Α, Β και C που ανήκουν στην επιφάνεια, situated (βρίσκονται) στην ίδια γεωδαιτική. Τα Α', Β' και C' είναι ομόλογα σημεία σε αυτή την αναπαράσταση [r, j]. Τα σημεία Α και Β βρίσκονται στο ίδιο ημι-στρώμα και το γεωδαιτικό τόξο που τα ενώνει δεν διασχίζει τον κύκλο της «χαράδρας». Μετρημένο σε αυτό το επίπεδο, κατά μήκος της εικόνας της γεωδαιτικής (που προφανώς δεν είναι γεωδαιτική αυτού του επιπέδου), το μήκος του τόξου Α'Β' είναι ίσο με αυτό του τόξου ΑΒ, μετρημένο στην επιφάνεια.
Το τόξο BC διασχίζει τη σφαίρα της χαράδρας. Το ίδιο πράγμα.
Αλλά αυτή η ισometry δεν ισχύει για όλες τις γεωδαιτικές της επιφάνειας. Υπάρχει μία, μοναδική στον τύπο της: ο κύκλος της χαράδρας, μειωμένος εδώ σε ένα σημείο. Είναι η μόνη επιφάνεια που κλείνει στον εαυτό της.
Οι γεωδαιτικές είναι τα μόνα πράγματα που έχουμε για να κατανοήσουμε μια επιφάνεια ή, πιο γενικά, έναν μη-επίπεδο, μη-ευκλείδειο χώρο. Είναι χρήσιμα markers (δείκτες) (ακόμη και αν έχουμε μια παραμορφωμένη άποψη στα συστήματα αναπαράστασης 2D και 3D μας (σε προοπτική)). Γνωρίζουμε ότι αυτές οι γεωδαιτικές υπάρχουν, ότι είναι εγγενείς (intrinsic). Αυτές μιας σφαίρας, για παράδειγμα, είναι μεγάλοι κύκλοι. Στην περίπτωση του χώρου-χρόνου, είναι γεμάτες με μια άπειρη ποσότητα χωροχρονικών γεωδαιτικών. Οι γεωδαιτικές υπάρχουν εγγενώς και για να τις κατανοήσουμε (ετυμολογικά: κρατάμε, λαμβάνουμε στα arms (χέρια) μας) προσπαθούμε να τις «αισθανόμαστε» σαν τυφλοί. Ωστόσο, οι γραμμές συντεταγμένων του χώρου και του χρόνου δεν έχουν εγγενή πραγματικότητα, ούτε είναι τα δύο σύνολα μεσημβρινών και παραλλήλων αναπόσπαστο μέρος μιας σφαίρας. Δεν είναι «παρεχόμενα εντός». Η γεωμετρία του Schwarzschild, μια λύση της εξίσωσης πεδίου του Einstein, είναι μια 4D υπερεπιφάνεια. Οι θεωρητικοί έχουν κολλήσει ολόκληρες οικογένειες καμπυλών σε αυτή, «σταθερό t», «σταθερό r» κ.λπ.
Ποτέ μην ξεχνάτε ότι αυτές οι χειρονομίες είναι εντελώς αυθαίρετες, αν και οι ειδήμονες στην θεωρητική κοσμολογία συχνά χάνουν sight (όραση) αυτού του σημείου και, από καιρό σε καιρό, πρέπει να καλούνται σε τάξη από τους μαθηματικούς-γεωμέτρες. Ήταν therefore (επομένως) perfectly (τέλεια) licit (νόμιμο) να αλλάξουμε τις συντεταγμένες του χώρου-χρόνου.
Σε αυτό το σημείο θα λέτε: λοιπόν, τι μας λέει ότι μια επιλογή συντεταγμένων είναι καλύτερη από μια άλλη; Τι είναι λογικό και παράλογικό; Είναι θέμα γούστου. Η επιλογή συντεταγμένων χώρου-χρόνου σημαίνει τοποθέτηση μιας φυσικής όρασης σε ένα μαθηματικό αντικείμενο. Στην περίπτωση της Γης, της έχουμε δώσει πόλους όταν περιστρέφεται. Ο Βόρειος Πόλος είναι απλώς η κάθετος (normal) της επιφάνειας «Γη» που δείχνει προς τον Αστερίσκο (Pole Star), ένα αστέρι που παραμένει σταθερό στον ουρανό.
Στο θέμα της ισometry και μη-ισometry, η χαρτογραφία illustrates (περιγράφει) τις δυσκολίες στο να προσπαθήσουμε να αναπαραστήσουμε μια σφαίρα σε ένα επίπεδο. Η προβολή του Mercator (προβολή της σφαίρας της Γης σε έναν κύλινδρο εφαπτόμενο στον Ισημερινό) είναι πολύ nice (καλή) για αυτούς που ζουν κοντά στον Ισημερινό. Ωστόσο, κάποιος που ζει σε έναν από τους πόλους θα έχει μια nasty (άσχημη) έκπληξη: η punctual (σημειακή) περιοχή του turns (γίνεται) σε μια ευθεία γραμμή...
Υπάρχουν εκατοντάδες τρόποι για να προβληθεί μια σφαίρα σε ένα επίπεδο. Ας φανταστούμε αυτό:
Φανταστείτε ότι φτιάχνουμε χάρτες από αυτό το μοντέλο και τους πουλάμε. Άμεση επιτυχία μεταξύ αυτών που ζουν στους δύο πόλους: οι προβολές είναι quasi-isometric (σχεδόν ισόμετρες) σε αυτές τις περιοχές. Χρήσιμες για να πάρουμε μια ιδέα των αποστάσεων σε εκείνες τις περιοχές. Αν η Γη είχε been (ήταν) habitable (κατοικήσιμη) στους πόλους και relatively (σχετικά) inhospitable (μικροβιακή) elsewhere (αλλού), οι χάρτες θα had been (είχαν) made (φτιαχτεί) like this (έτσι). Ωστόσο, θα βλέπαμε ότι ο border (σύνορο) κύκλος της προβολής σε ένα επίπεδο δεν αντιστοιχεί πλέον στον Ισημερινό αλλά σε έναν παράλληλο (στο βόρειο ημισφαίριο εδώ). Near (Κοντά) αυτή την περιοχή ο χάρτης θα είναι way off (μακριά) από την ισometry. As well as that (Επίσης), σε αυτόν τον strange (παράξενο) χάρτη, ένα μέρος της landmass (χερσαίας μάζας) θα πρέπει να φαίνεται με μια normal (κανονική), full (πλήρη) γραμμή και ένα μέρος με μια broken (σπασμένη), dotted (διακεκομμένη) γραμμή επειδή βρίσκεται beyond (πέρα) από τον παράλληλο όπου το αντικείμενο, oddly (παράξενα), seems (φαίνεται) να «fold back on itself» (διπλώνεται στον εαυτό του). Ίσως θα μπορούσαμε να provide (παρέχουμε) maps (χάρτες) σε ένα paper (χαρτί) disc (δίσκο) με το υπόλοιπο της landmass (χερσαίας μάζας) να φαίνεται στην άλλη πλευρά του sheet (φύλλου).
Ας προσπαθήσουμε να «φανταστούμε all that (όλα αυτά) in 3D». Δείξαμε τον Lanturlu να βυθίζει το αριστερό του arm (βραχίονα) στη σφαίρα της χαράδρας μέσω δύο separate (ξεχωριστών) drawings (σχεδίων), που θα could seem (φαίνονταν) να imply (υπονοούν) ότι ο δεύτερος 3D space (χώρος) είναι «elsewhere (αλλού)». Για να είναι correct (σωστό), τα δύο perspective (προοπτική) drawings (σχήματα) θα πρέπει να είναι superposed (επικαλυμένα) με την emerging (αναδυόμενη) (δεξιά) hand (χέρι) να αναπαρίσταται με μια dotted (διακεκομμένη) γραμμή.
Προσπάθησα να το κάνω αν και δεν ήταν easy (εύκολο). Θα could have (μπορούσε) used (χρησιμοποιήσει) δύο διαφορετικά colours (χρώματα), κόκκινο για τα parts (μέρη) στην πρώτη 3D side (πλευρά) του μη-απλά συνδεδεμένου 3D space (χώρου) μας και πράσινο για την άλλη. Ένας κόκκινος Lanturlu θα could see (μπορούσε να δει) ένα κόκκινο «αριστερό» χέρι που had thrust (έσπρωξε) στη σφαίρα να come out (βγαίνει) ως ένα πράσινο «δεξί» χέρι.
Obviously (Προφανώς) «inside» (μέσα) στη σφαίρα της χαράδρας δεν υπάρχει τίποτα. Η appearance (εμφάνιση) ενός interior (εσωτερικού), ενός volumetric content (ογκομετρικού περιεχομένου), είναι απλώς due (λόγω) της επιλογής μας αυτού του 3D representation space (χώρου αναπαράστασης). Just as (Όπως) στο hole (τρύπα) cut (κομμένο) στο φύλλο χαρτί δεν υπάρχει χαρτί either (ούτε). Ήταν just (απλώς) ένα accident (τυχαίο) linked (συνδεδεμένο) με την επιλογή αυτού του planar (επίπεδου) representation space (χώρου αναπαράστασης). Αν κάποιος insisted (επέμενε) να χρησιμοποιήσει μια planar (επίπεδη) αναπαράσταση χωρίς να remove (αφαιρέσει) τον disc (δίσκο) cut (κομμένο) στο χαρτί και who (που) repeatedly (επαναλαμβανόμενα) asked (ρωτούσε) «what's inside» (τι υπάρχει μέσα) θα ήταν completely (εντελώς) «off the field» (εκτός πεδίου) (ή rather (μάλλον) ... in it (σε αυτό)). Το πεδίο δεν υπάρχει.
Ας επιστρέψουμε στο 3D. Όταν ο Lanturlu βυθίζει τον arm (βραχίονα) του στη σφαίρα της χαράδρας, αυτό δεν έχει interior (εσωτερικό) either (ούτε). Η appearance (εμφάνιση) ενός interior (εσωτερικού) είναι απλώς due (λόγω) της επιλογής μας του representation space (χώρου αναπαράστασης). Θα could consider (μπορούσε να θεωρήσει) ότι ο Lanturlu και η emerging (αναδυόμενη) hand (χέρι) του έχουν been drawn (σχεδιαστεί) σε ένα φύλλο χαρτί having (έχοντας) three dimensions (τρεις διαστάσεις) και από το οποίο had removed (είχαμε αφαιρέσει) ... μια σφαίρα (η 3D equivalent (ισοδύναμη) του disc (δίσκου) του φύλλου χαρτί). Mathematically (Μαθηματικά), ένα disc (δίσκος) είναι ένα «b2 ball» (σφαίρα) και ένα «sphere volume» (όγκος σφαίρας) είναι ένα «b3 ball». By (Με) «ball» (σφαίρα) εννοούμε ένα contractile cell (συρρικνώμενο κελί) (δείτε το Topologicon στο «CD-Lanturlu») δηλαδή ένα object (αντικείμενο) που μπορεί να contract (συρρικνωθεί) σε σχέση με ένα point (σημείο) by going over itself (περνώντας πάνω στον εαυτό του). Τα 2D και 3D examples (παραδείγματα) είναι there (εκεί) για να illustrate (περιγράφουν) το battle plan (σχέδιο μάχης) του άρθρου: η σφαίρα του Schwarzschild δεν έχει «interior» (εσωτερικό), δεν έχει «centre» (κέντρο). When (Όταν) την cross (διασχίζουμε) (hypertoric passage (υπερτορική διάβαση)) ourselves (βρίσκουμε) ourselves ( ourselves) «on the other side of space-time» (στην άλλη πλευρά του χώρου-χρόνου).
What (Τι) είναι η justification (δικαιολογία) για αυτή τη new (νέα) interpretation (ερμηνεία) της «γεωμετρίας του Schwarzschild»?
Answer (Απάντηση): η elimination (εξάλειψη) των singularities (ιδιότυπων σημείων). Ο Kruskal, με την «analytic prolongation» (αναλυτική παράταση), έκανε everything possible (ότι ήταν δυνατό) για να penetrate (διεισδύσει) αυτή τη «blasted sphere» (καταραμένη σφαίρα). Μόνο managed (κατάφερε) να pack (συμπιέσει) τη singularity (ιδιότυπο σημείο) (μια role (ρολή) που initially (αρχικά) held (κατείχε) η σφαίρα του Schwarzschild) σε ένα point (σημείο) situated (βρίσκεται) «at the centre of this object» (στο κέντρο αυτού του αντικειμένου). People (Άνθρωποι) satisfied themselves (ικανοποιήθηκαν) με αυτό το conjuring trick (μαγικό κόλπο). Ωστόσο, εμείς think (νομίζουμε) ότι είναι better (καλύτερο) χωρίς singularity (ιδιότυπο σημείο).
Nature (Φύση) protests (διαμαρτύρεται), when (όταν) την look (βλέπουμε) από τη wrong side (λάθος πλευρά), by secreting (εκκρίνοντας) singularities (ιδιότυπα σημεία). That (Αυτό) είναι how (πώς) βλέπουμε τα πράγματα. Είναι μια preconceived (προκαταληκτική) view (άποψη) του «real» (πραγματικού). Πιστεύουμε ότι αυτές οι singularities (ιδιότυπα σημεία) δεν υπάρχουν στη nature (φύση). Εμείς also (επίσης) think (νομίζουμε) ότι η infinity (άπειρο) δεν υπάρχει either (ούτε). But (Αλλά) as (όπως) ο Kipling said (είπε), that's another story (αυτή είναι άλλη ιστορία). Είχα animated (ζωντανές) discussions (συζητήσεις) με τον Souriau sobre (σχετικά με) το question (ερώτημα) a year ago (πριν από ένα χρόνο).
-
What (Τι) proves (αποδεικνύει) ότι η infinity (άπειρο) exists (υπάρχει)? ....
-
But (Αλλά), without (χωρίς) την infinity (άπειρο) δεν υπάρχει mathematics (μαθηματικά)! ....
-
Have (Έχετε) ever (ποτέ) met (συναντήσει) την infinity (άπειρο)? Seen (Δει) την, held (Κρατήσει) την in your hand (στο χέρι σας)?
-
It's (Είναι) ένα .... convenience (ευκολία).
-
We (Εμείς) generate (παράγουμε) infinitely large numbers (άπειρα μεγάλα αριθμούς) by supposing (υποθέτοντας) ότι μπορούμε να add (προσθέσουμε) 1 σε έναν αριθμό indefinitely (αορίστως). Χρησιμοποιούμε μια sequential (διαδοχική) infinity (άπειρο) για να generate (παράγουμε) μια numeric (αριθμητική) infinity (άπειρο). It eats its own tail (Το φαίνεται να τρώει την ουρά του), your thing (το πράγμα σας).
-
OK, let us say (ας πούμε) ότι είναι ένα convenience (ευκολία). Ο Man (Άνθρωπος) έχει invented (εφεύρει) δύο πράγματα importance (σημασίας) during (κατά) την history (ιστορία) του: την infinity (άπειρο) και τα toilets (τουαλέτες)...
Ούτε εγώ πιστεύω ότι το infinitely small (άπειρα μικρό) exists (υπάρχει), either (ούτε) physically (φυσικά) ή mathematically (μαθηματικά). But (Αλλά) αυτό θα είναι το subject (θέμα) άλλων papers (εργασιών). Ας αφήσουμε αυτές τις questions (ερωτήσεις) aside (πέρα) για την moment (στιγμή). Μια simple (απλή) digression (παρέκβαση).
In passing (Παρεμβολή), see (δείτε) «Scale Invariant Cosmology» από τους P. Midy και J.P. Petit, International Journal of Modern Physics D, Ιούνιος 1999, σελίδες 271-280, όπου κάναμε «την initial singularity (αρχική ιδιότυπη) του σύμπαντος» να disappear (εξαφανιστεί). Είναι μια more mathematically constructed (περισσότερο μαθηματικά κατασκευασμένη) reformulation (αναδιατύπωση) μιας ιδέας που δημοσίευσα στο 88-89 στο Modern Physics Letters A (papers (εργασίες) στο site (ιστότοπο)).
As (Όπως) ο Archimedes (Αρχιμήδης) said (είπε), πιστεύω, στο entry (είσοδο) ενός sanctuary (ναού) της science (επιστήμης), «κανείς δεν enters (μπαίνει) εδώ που δεν είναι γεωμετρικός». Αυτά τα tensors (τάνυσματα) και stuff (πράγματα), ένα field (πεδίο) που ο Midy loves (αγαπά), είναι as indigestible (δυσπεπτα) όσο το English pudding (βρετανικό πουτίγκα).
Μπορούμε therefore (επομένως) να see (δούμε), through (μέσω) αυτής της discussion (συζήτησης), ότι η physical (φυσική) vision (όραση) μας αυτών των phenomena (φαινομένων) comes (προέρχεται) από τον τρόπο που decide (αποφασίζουμε) να τα represent (αναπαραστήσουμε). Modifying (Τροποποιώντας) τις spatial (χωρικές) coordinates (συντεταγμένες) έχουμε changed (αλλάξει) «local topology» (τοπική τοπολογία), ένας όρος που requires (απαιτεί) μια mathematical (μαθηματική) clarification (διευκρίνιση) according to (σύμφωνα με) τον Souriau. In fact (Πράγματι), η phrase (φράση) είναι ένα gentle (ευγενές) euphemism (ευφημισμός): απλώς began (άρχισε) να rave (ορμή) όταν το είπα και εγώ και η γάτα Pioum του Souriau had (είχαμε) τη greatest (μεγαλύτερη) difficulty (δυσκολία) να calm (ηρεμήσουμε) τον. Ο Souriau είναι ο Professor Tournesol (Καθηγητής Τουρνεσόλ) των mathematics (μαθηματικών). Είναι ένας willing (πρόθυμος) practitioner (πρακτικός) της high (υψηλής) mathematical (μαθηματικής) indignation (αγανάκτησης). Ωστόσο, αυτή η indignation (αγανάκτηση) δεν πρέπει να confuse (συγχέεται) με anger (θυμό) στην trivial (τετριμμένη) sense (σημασία) της λέξης. Rather (Μάλλον), ότι εγώ play (παίζω) τον «Monsieur Jourdain» του Molière (Μολιέρου) είναι αυτό το area (πεδίο). Οι Physicists (Φυσικοί) συχνά use (χρησιμοποιούν) mathematics (μαθηματικά) χωρίς να το know (γνωρίζουν) (και vice-versa (αντίστροφα) in fact (πραγματικά)).
In admitting (Επιτρέποντας), provisionally (προσωρινά), τη use (χρήση) «non specified» (μη καθορισμένων) words (λέξεων), everything (όλα) happens (συμβαίνει) as if (σαν) να had considered (είχαμε θεωρήσει) μόνο ότι «local topology» (τοπική τοπολογία) της γεωμετρίας του Schwarzschild ήταν «hyperspheric» (υπερσφαιρική) (ότι η σφαίρα του Schwarzschild «contains» (περιέχει) ένα «B3 ball» (B3 σφαίρα)). We have made (Το κάναμε) «hypertoric» (υπερτορικό). That's why (Γι' αυτό) I proposed (πρότεινα) τον term (όρο) «hypertoric geometries» (υπερτορικές γεωμετρίες).
We mentioned (Αναφέραμε) earlier (νωρίτερα) την inversion (αντιστροφή) του space (χώρου). Είναι negotiated (διαπραγματεύεται) με τις groups (ομάδες). Can (Μπορούμε) να understand (κατανοήσουμε) αυτό differently (διαφορετικά)? We saw (Είδαμε) ότι ο Lanturlu βύθισε το αριστερό του hand (χέρι) στη σφαίρα της χαράδρας και είδε ένα δεξί hand (χέρι) να come out (βγαίνει). In fact (Πράγματι), κάθε atom (άτομο) του hand (χέρι) του followed (ακολούθησε) μια «radial» (ακτινική) γεωδαιτική, perpendicular (κάθετη) στην surface (επιφάνεια).
Ας μην ξεχνάμε να mention (αναφέρουμε) in passing (παρεμβολή) ότι αυτό το system (σύστημα) αναπαράστασης δεν είναι isometric (ισόμετρο). As with (Όπως με) το χαρτί με την τρύπα. Αν μετρήσουμε την distance (απόσταση) που καλύπτεται στα δύο half spaces (ημι-χώρους) από ένα test atom (δοκιμαστικό άτομο) που ανήκει στο hand (χέρι) του Lanturlu (Archibald Higgin's (Αρχιβάλλου Χίγκινς) σε English (Αγγλικά) issues (εκδόσεις)) δεν θα coincide (συμπίπτει) με την real (πραγματική) distance (απόσταση) που μετριέται με ένα piece (κομμάτι) string (σχοινί).
Ας επιστρέψουμε στο figure (σχήμα) που δείχθηκε previously (προηγουμένως).
Εδώ έχουμε δείξει ένα γεωδαιτικό τόξο ΑΒ που διασχίζει τον κύκλο της χαράδρας και την image (εικόνα) του στον planar (επίπεδο) representation space (χώρο αναπαράστασης) κάτω. Ο non-isometric (μη-ισόμετρος) χαρακτήρας της αναπαράστασης γίνεται even more (ακόμα περισσότερο) apparent (φανερή). Τα lengths (μήκη) των τόξων ΑΒ και Α'Β' είναι very (πολύ) different (διαφορετικά).
Obviously (Προφανώς) είναι fairly (αρκετά) difficult (δύσκολο) να imagine (φανταστεί) ότι μπορούμε να thread (περάσουμε) ένα string (σχοινί) στη σφαίρα της χαράδρας μιας hypertoric passage (υπερτορικής διάβασης). In tightening (Σφίγγοντας) το string (σχοινί) θα obtain (παίρναμε) μια γεωδαιτική (γραμμή της shortest path (συντομότερης διαδρομής)). After all (Εξάλλου), αν μετρήσουμε το length (μήκος) του string (σχοινιού) στον 3d representation space (3D χώρο αναπαράστασης) (Lanturlu pushing (σπρώχνοντας) in (μέσα) τον arm (βραχίονα) του) και decide (αποφασίσουμε) να μετρήσουμε το length (μήκος) του string (σχοινιού) σε αυτόν τον space (χώρο), θα find (βρίσκουμε) ένα shorter (μικρότερο) length (μήκος) Α'Β'. Το real (πραγματικό) length (μήκος), μετρημένο στην 3d hypersurface (3D υπερεπιφάνεια), θα είναι longer (μεγαλύτερο), όπως φαίνεται στο 2d drawing (2D σχέδιο). Το 3D representation (3D αναπαράσταση) με τον Lanturlu είναι therefore (επομένως) non-isometric (μη-ισόμετρο), όπως είναι η planar (επίπεδη) αναπαράσταση above (πάνω).
With (Με) τη help (βοήθεια) μερικών drawings (σχεδίων) αυτές οι subtle (λεπτομερείς) concepts (έννοιες), developed (αναπτυχθεί) από την group theory (θεωρία ομάδων), become (γίνονται) less hermetic (λιγότερο ασαφείς) providing (εφόσον) «sees into space» (βλέπει μέσα στον χώρο). That's what (Αυτό είναι) που προσπαθώ να teach (διδάξω) you (σε εσάς) how (πώς) to do (να κάνετε), see (να βλέπετε) into (μέσα) σε έναν 3d curved (καμπύλο) space (χώρο).
Ας επιστρέψουμε στο question (ερώτημα) της enantiomorphy (εναντιομορφίας), την inversion (αντιστροφή) των objects (αντικειμένων) όταν διασχίζουν την 2d ή 3d gorge structure (δομή χαράδρας). Ας φανταστούμε radial (ακτινικές) γεωδαιτικές σε 2D. Η λέξη έχει become (γίνει) incorrect (λανθασμένη) επειδή in principal (καταρχικά) μια radius (ακτίνα) είναι μια ευθεία γραμμή που off (φεύγει) από ένα point (σημείο). In fact (Πράγματι), είναι question (θέμα) γεωδαιτικών σταθερού j. Δείτε το earlier (προηγούμενο) drawing (σχήμα) που showed (έδειξε) αυτή την azimuthal (αζιμουθιακή) coordinate (συντεταγμένη). Ωστόσο, για more concision (περισσότερη conciseness (συντομία)), θα continue (συνεχίσουμε) να use (χρησιμοποιούμε) τη λέξη «radial» (ακτινική) με inverted commas (απόσβεση). Mark you (Προσοχή), η λέξη «radial» (ακτινική) είναι ήδη ένα result (αποτέλεσμα) της επιλογής του representation space (χώρου αναπαράστασης). Imagine (Φανταστείτε) ότι ένα letter (γράμμα) R (που δεν είναι identical (ταυτόσημο) με την mirror image (κατοπτρική εικόνα) του, την enantiomorphic (εναντιομορφική) εικόνα του) slips (γλιστρά) σαν ένα badly fixed (κακώς κολλημένο) transfer (μεταφορά) κατά μήκος της toric passage (τορικής διάβασης) μας, κάθε point (σημείο) του moving (κινούμενο) according to (σύμφωνα με) μια γεωδαιτική. Το letter (γράμμα) θα find itself (βρίσκεται) «on the other side» (στην άλλη πλευρά). Είναι interesting (ενδιαφέρον) να look (δούμε) το result (αποτέλεσμα) της operation (εργασίας) σε μια planar (επίπεδη) projection (προβολή) στον representation space (χώρο αναπαράστασης).
Έχουμε δείξει ένα είδος ribbon (κορδέλας) των οποίων οι edges (άκρες) είναι made (φτιαγμένες) από δύο γεωδαιτικές. What (Τι) notice (παρατηρούμε)? In the representation space (Στον χώρο αναπαράστασης) το letter (γράμμα) R είναι inverted (αντιστραμμένο) για να become (γίνει) ένα Russian «ia» (Ρωσικό «ia»), ένα reversed (αντιστραμμένο) R, enantiomorphic (εναντιομορφικό). We are starting (Αρχίζουμε) να understand (κατανοήσουμε) γιατί το hand (χέρι) του Lanturlu seems (φαίνεται) να είναι inverted (αντιστραμμένο) όταν emerges (αναδύεται) στον «3d representation space» (3D χώρο αναπαράστασης), γίνεται enantiomorphic (εναντιομορφικό).
