Αλλά υπάρχουν επιφάνειες που είναι εσωτερικά ιδιόμορφες, διαθέτοντας ιδιόμορφα σημεία που δεν οφείλονται σε μια επιλογή συντεταγμένων. Παράδειγμα παρακάτω: η κωνική ιδιόμορφη.
Η σφαίρα του Schwarzschild, όπως ορίστηκε το 1917 από τον Schwarzschild σε συντεταγμένες t, r, θ, φ (χρόνος, ακτινική απόσταση και δύο γωνίες, ισοδύναμες με αζιμούθιο και θέση: συντεταγμένες "σφαιρικές"), είναι ιδιόμορφη. Για μια συγκεκριμένη τιμή Rs της "ακτινικής συντεταγμένης" r (προορισμένη να μετρηθεί από ένα "γεωμετρικό κέντρο") αυτή η μετρική μας παίζει τα πιο κακά παιχνίδια. Σε αυτή τη σφαίρα ένας από τους όρους έχει μηδενικό παρονομαστή. Απλά, είναι ιδιόμορφη σε αυτή τη σφαίρα. Πρόκειται για μια εσωτερική ιδιόμορφη ή για ένα ψευδές φαινόμενο που προκαλείται από μια κακή επιλογή συντεταγμένων; Αυτό είναι το ερώτημα που θέσαμε.
Παρατηρήστε επίσης ότι η "γεωμετρία του Schwarzschild" είναι μια υπερεπιφάνεια τεσσάρων διαστάσεων, κάτι που καθιστά την κατάσταση ακόμη πιο δύσκολη.
Ο Kruskal επικεντρώθηκε σε αυτό το σημείο. Κατασκεύασε μια αλλαγή συντεταγμένων που, μεταξύ άλλων, παρέχει σταθερή ταχύτητα φωτός κατά μήκος μιας ακτινικής διαδρομής. Με αυτόν τον τρόπο, συγκεντρώνει την ιδιόμορφη πτυχή "στο κέντρο του αντικειμένου", σε μια "κεντρική ιδιόμορφη". Ψυχολογικά, έχει την εντύπωση ότι κερδίζει. Η λύση γίνεται "σχεδόν παντού ομαλή", ένας όρος που χρησιμοποιούν οι μαθηματικοί για να πουν ότι η λύση είναι ομαλή, χωρίς παθολογία, εκτός από ένα μοναδικό σημείο.
- Ποτέ δεν θα προβληματιστείς, με θα με κατηγορήσεις για ένα απλό σημείο.....
Ηλίθια, αυτή η παρουσίαση του Kruskal έχει ένα σοβαρό μειονέκτημα: δεν επαναφέρει το χώρο της ειδικής σχετικότητας στο άπειρο. Τεχνικά, δεν είναι Lorentzian στο άπειρο, "ασυμπτωτικά Lorentzian".
Αυτό είναι ένα θεμελιώδες ερώτημα στη φυσική: υπάρχουν ιδιόμορφα σημεία; Ανεχόμαστε η φύση τα ιδιόμορφα σημεία; Η απάντηση εκφράζεται σε όρους πίστης (όπως για την ύπαρξη ή μη του απείρου).
Έχουμε προσπαθήσει να βρούμε μια νέα ερμηνεία της ίδιας γεωμετρίας του Schwarzschild, προσπαθώντας να απαλείψουμε κάθε ιδιόμορφο σημείο και τα καταφέραμε. Η απάντησή μας είναι:
- Το χαρακτηριστικό ιδιόμορφο της λύσης του Schwarzschild προκαλείται απλώς από μια κακή επιλογή συντεταγμένων.
Τεχνικά, όλα βασίζονται στην αλλαγή μεταβλητής:
r = Rs + Log ch r
που διαβάζεται "r ίσο με Rs πλην του λογαρίθμου του υπερβολικού συνημιτόνου της μεταβλητής r". Απλό για επιστήμονα, ειδικό ή απλό ταυπίνο. Για όποιον γνωρίζει να χειρίζεται αυτόν τον τύπο, η ποσότητα r δεν μπορεί πλέον να γίνει μικρότερη από Rs, ακόμη και όταν το r παίρνει όλες τις δυνατές τιμές από το αρνητικό άπειρο έως το θετικό άπειρο.
Σκεφτείτε μια επιφάνεια που προκύπτει από τη στροφή μιας παραβολής γύρω από μια ευθεία, όπως παρακάτω:
Αυτό το σχήμα προέρχεται από το άρθρο. Η επιφάνεια είναι άπειρη, στην πραγματικότητα, όπως η παραβολική μεσημβρινή που την παράγει κατά τη στροφή γύρω από τον άξονα z. Αν θέλετε απαραίτητα να την αντιπροσωπεύσετε με συντεταγμένες (r, z, φ), μπορείτε να περιμένετε προβλήματα όταν θα ρωτήσετε "πώς είναι αυτή η επιφάνεια για r < Rs;".
Θα βρείτε μια απάντηση... φανταστική, με τετραγωνικές ρίζες αρνητικών ποσοτήτων. Απλά γιατί τότε είστε "εκτός επιφάνειας".
Αυτή η επιφάνεια, στα μαθηματικά, ονομάζεται "μη απλά συνεκτική", ένας απατηρημένος όρος που σημαίνει απλά τις επιφάνειες όπου κάθε κλειστή καμπύλη δεν μπορεί να έχει το περίμετρό της να μειώνεται, κάνοντας ολίσθηση της καμπύλης στην επιφάνεια, μέχρι να πάρει την τιμή του μηδενός.
Είναι δυνατό σε μια σφαίρα, η οποία είναι "απλά συνεκτική". Αλλά σε αυτή την επιφάνεια βλέπουμε καθαρά ότι κάθε κλειστή καμπύλη που "κάνει ένα γύρο γύρω από αυτό το είδος του κοίλου κέντρου" δεν θα μπορεί να έχει το περίμετρό της να τείνει στο μηδέν, η όριο είναι το περίμετρο του "κύκλου της θύρας". Το ίδιο ισχύει για ένα τόρο, ο οποίος είναι επίσης "μη απλά συνεκτικός".
Έχουμε ορίσει μια τέτοια επιφάνεια ξεκινώντας από τη μετρική της, κάτι που απεικονίζει πολύ καλά το σκεπτικό. Κρατώντας τη συντεταγμένη r, αυτή η επιφάνεια φαίνεται ιδιόμορφη. Χρησιμοποιώντας την αλλαγή της μεταβλητής που δόθηκε παραπάνω, δεν είναι πλέον. Ποιος είναι αυτός ο χρόνος r; Απλά "τρέχει" κατά μήκος της παραβολικής μεσημβρινής όπως φαίνεται στο σχήμα, παίρνει την τιμή μηδέν στον κύκλο της θύρας. Το μισό της επιφάνειας αντιστοιχεί σε r θετικό, το άλλο σε r αρνητικό. Στο σύστημα αναφοράς των σημείων [r, φ] δεν υπάρχει πλέον ιδιόμορφο σημείο.
Έχουμε αποφασίσει να το ονομάσουμε ένα τέτοιο αντικείμενο "τόρος-πόρτα", με αναλογία με τον τόρο.
Αλλά αποδεικνύεται εύκολα, πάντα ξεκινώντας από μετρικές, ότι μπορείς να περάσεις σε ένα αντικείμενο, μια υπερεπιφάνεια 3d, που περιλαμβάνει ένα "υπερτόρος-πόρτα". Τότε δεν υπάρχει πλέον ένας κύκλος της θύρας, αλλά μια σφαίρα της θύρας. Όπως και στην παραπάνω επιφάνεια, ένας κύκλος της θύρας φαίνεται να συνδέει δύο επιφάνειες 2d, η σφαίρα της θύρας συνδέει τώρα δύο "ημι-χώρους 3d". Όταν είσαι σε ένα από αυτούς τους ημι-χώρους 3d και βυθίζεσαι στη σφαίρα της θύρας, εμφανίζεσαι στον άλλο ημι-χώρο.
Επιστρέφοντας στην 2d επιφάνεια που φαίνεται παραπάνω. Το παρακάτω σχήμα δείχνει ότι, χαράζοντας "κύκλους που θεωρείς ότι είναι συγκεντρωμένοι", βλέπεις το περίμετρό τους να μειώνεται, να περνά από ένα ελάχιστο, και να αυξάνεται ξανά.
Στο 3d πρέπει να φανταστείς μια σφαίρα που περιβάλλει πλήρως τη σφαίρα της θύρας. Μια άλλη, μέσα σε αυτήν (θα έπρεπε να πεις "πέρα" ακολουθώντας μια συγκεκριμένη κατεύθυνση, προς τη σφαίρα της θύρας). Φαντάζεσαι ότι η επιφάνεια αυτής της σφαίρας μπορεί να είναι μικρότερη. Αλλά, όταν φτάνεις στη σφαίρα της θύρας, το εμβαδόν περνά από ένα ελάχιστο, και ξεκινά να αυξάνεται... μέχρι το άπειρο, όταν συνεχίζεις τη διαδικασία.
Έχουμε κατασκευάσει τις "μετρικές" αυτών των επιφανειών 2d και 3d που περιλαμβάνουν ένα "τόρος-πόρτα" και ένα "υπερτόρος-πόρτα", και στην τελευταία περίπτωση, ήμασταν εκπληγμένοι από την ομοιότητα με τη μετρική του Schwarzschild, όπου επομένως εφαρμόσαμε αυτή την αλλαγή συντεταγμένων, δείχνοντας το χαρακτηριστικό "μη απλά συνεκτικό", "το εσωτερικό" του αντικειμένου γίνεται απλά "το εκτός της σφαίρας της θύρας".
Έτσι ήταν δυνατό να απαλειφθεί κάθε ιδιόμορφο σημείο.
Σε αυτό το σημείο, έχουμε απλώς επεκτείνει το μοντέλο του μαύρου οπής σε ένα ζεύγος "μαύρη τρύπα-λευκή τρύπα". Αλλά, πάντα για αυτόν τον "εξωτερικό παρατηρητή", το χρόνο διέλευσης αυτού του υπερτόρους-πόρτας ήταν πάντα άπειρο. Φαίνεται ότι είχαμε απλώς βελτιώσει το μοντέλο της μαύρης τρύπας εξηγώντας τι συμβαίνει.
Είπαμε ότι η επιλογή των μεταβλητών είναι, σε μια γεωμετρική λύση, τελείως τυχαία. Αλλά αυτό που ισχύει για το χώρο ισχύει και για το χρόνο. Έτσι πήγαμε να ψάξουμε μια αλλαγή μεταβλητής χρόνου που εφηύρε ο Eddington το 1924:
Επίσης, το αναφέρουμε για τον επιστήμονα ή τον απλό ταυπίνο.
t είναι ο παλιός "κοσμικός χρόνος", η παλιά "χρονική μεταβλητή" που υπήρχε στην αρχική λύση του Schwarzschild του 1917.
t' είναι αυτός ο νέος "χρόνος του Eddington". Rs είναι ο "ακτινικός χρόνος του Schwarzschild (θα έπρεπε να μιλάμε για το περίμετρο του Schwarzschild, διαιρεμένο με 2π).
c είναι η ταχύτητα του φωτός (εδώ, σταθερή).
Κάτι που μπορεί να φανεί παράξενο: συνδυάζουμε τον χρόνο και το χώρο αλλά, σε αυτό το θέμα, έχουμε όλα τα δικαιώματα. Η επιλογή της χρονικής συντεταγμένης, της χρονικής μεταβλητής (time-marker) είναι τελείως τυχαία. Ζητάμε απλά:
-
η μετρική να είναι ασυμπτωτικά Lorentzian, δηλαδή στο άπειρο, ο χώρος-χρόνος να γίνει ο χώρος-χρόνος του Minkowski, αυτός της ειδικής σχετικότητας. Στην περίπτωσή μας, αυτό ταιριάζει (όχι στο Kruskal).
-
ο νέος χρόνος t' να ταυτίζεται, πάντα στο άπειρο, με το "ιδιοχρόνο ενός παρατηρητή που θεωρείται ακίνητο". Αυτό ισχύει επίσης (όχι στο Kruskal)
Έτσι ο χρόνος πτώσης μιας σωματιδιακής σωματιδιακής, ακίνητης στο άπειρο και πέφτουσας προς τη σφαίρα του Schwarzschild, γίνεται άπειρος, σε σχέση με το χρόνο που ζει ο "εξωτερικός παρατηρητής", που είναι μακριά και ακίνητος.
Το σωματίδιο, από την άλλη πλευρά, θα εμφανιστεί από αυτό το "άβα" σε άπειρο χρόνο. Όπως στη μαύρη τρύπα, μπορείς να μπεις σε αυτό το είδος "άβα" 3d, αλλά όχι να βγεις, εκτός αν σε άπειρο χρόνο.
Η άλλη πλευρά είναι μια "αναγέννηση". Αλλά, με αυτή την επιλογή του χρόνου (t') το σωματίδιο εμφανίζεται από την αναγέννηση σε άπειρο χρόνο, ενώ μπορεί να μπει σε πεπερασμένο χρόνο. Αυτό ήταν κάπου στενό. Η λύση ήταν να εκτελέσουμε, κάτι που έχουμε το δικαίωμα να κάνουμε, μια τέτοια διπλή αλλαγή μεταβλητής. Για το τμήμα του χώρου-χρόνου που θεωρείται ότι είναι το δικό μας:
Στο "διπλό σύμπαν":
Ο μηχανισμός κοσμικός λειτουργεί τώρα τέλεια.
-
Καμία ιδιόμορφη.
-
Μπορείς να μπεις στο "άβα" αλλά όχι να βγεις (μαύρη τρύπα)
-
Μπορείς να βγεις από την αναγέννηση, αλλά όχι να μπεις (λευκή τρύπα).
Καλά, θα μου πεις, προοδεύουμε....
Ναι και όχι. Ο χρόνος διέλευσης της ύλης σε αυτό το υπερτόρος-πόρτα είναι κάποια δεκάδες χιλιοστά του δευτερολέπτου, και αυτό το Μόλοχς είναι ικανό να καταπολεμήσει οποιοδήποτε, δέκα ηλιακές μάζες, για παράδειγμα, σε λιγότερο χρόνο από αυτόν που χρειάζεται για να διαπεράσει μια μπάλα μια κάρτα.
Η συμπέρασμα είναι ότι μέσω αυτής της πιο λογικής ερμηνείας της γεωμετρικής λύσης, οι μαύρες τρύπες δεν θα μπορούσαν να υπάρχουν. Είναι ... μαθηματικές φαντασίες. Θα μπορούσαν να υπάρχουν μόνο με την "κατάρρευση του χρόνου". Αλλά με αυτόν τον "χρόνο του Eddington" που ικανοποιεί όλες τις απαιτήσεις της φυσικής, ο χρόνος διέλευσης γίνεται πεπερασμένος.
Συμπέρασμα: αυτή η γεωμετρία του Schwarzschild, σύμφωνα με την άποψή μας, είναι μόνο ένα στιγμιότυπο ενός ασταθούς υπερχώρου μεταφοράς. Είναι λίγο όπως αν σας δείξουν μια φωτογραφία μιας καταπελτικής που κάποιος έριξε στον αέρα και συμπεράνετε ότι οι καταπελτικές μπορούν να πετούν στον αέρα. Η λύση του Schwarzschild είναι επίσης λύση μιας εξίσωσης που υποδηλώνει ότι το σύμπαν είναι τελείως κενό, ότι η πυκνότητα ενέργειας υλικού είναι μηδενική σε κάθε σημείο. Είναι λίγο όπως αν σας δείξουν μια φωτογραφία ενός γηπέδου ποδοσφαίρου, που πήραν όταν οι παίκτες ήταν έξω για ξεκούραση κατά τη διάρκεια της μισής ώρας και συμπεράνετε ότι το ποδόσφαιρο παίζεται σε ένα κενό γήπεδο.
Αλλά τι θα συνέβαινε τότε;
Έχουμε δείξει ότι κατά τη διέλευση από τη σφαίρα της θύρας η χρονική συντεταγμένη αντ