Εδώ, έχουμε λίγο "απομακρύνει" το σχήμα για να γίνει πιο αναγνώσιμο. Μια επιφάνεια είναι ένα αντικείμενο 2d, εδώ "βυθισμένο" σε ένα 3d χώρο, ευκλείδειο, δηλαδή στο R3. Πάνω, μπορούμε "να το δούμε". Το γεγονός είναι ότι αυτή η επιφάνεια είναι "εμφυτευμένη" σε αυτόν τον χώρο R3 "με τρόπο ισομετρικό". Αυτό σημαίνει ότι αν τοποθετήσουμε ένα κομμάτι ταινίας τύπου "scotch" πάνω σε αυτό, αυτό θα εμφανιστεί πραγματικά σε μια γεωδαισική που συνδέει δύο σημεία της επιφάνειας A και B. Επιπλέον, το μήκος που μετράμε κατά μήκος αυτού του γεωδαισικού τόξου είναι επίσης σωστό. Είναι ισομετρικό, ουσιαστικά "ίδιο μήκος". Στο κάτω μέρος βρίσκεται ένας 2d χώρος αναπαράστασης, ο οποίος παρουσιάζει μια αναπαράσταση που δεν είναι ισομετρική. Το μήκος του τόξου A'B' δεν είναι ίσο με το μήκος του τόξου AB. Φτιάξτε το ακόλουθο αντικείμενο, χρησιμοποιώντας ένα φύλλο χαρτιού, ένα μολύβι και ένα ζεύγος κοπιών:
Αυτο το σχέδιο δεν είναι ισομετρικό. Πρώτον, η καμπύλη που δείχνει δεν είναι βεβαίως μια γεωδαισική του επιπέδου. Δεύτερον, το μήκος του τόξου AB δεν είναι "το πραγματικό μήκος", αυτό που θα μετρούσαμε στη "πραγματική επιφάνεια", η οποία "δεν είναι τρυπημένη". Αυτό το τρυπημένο φύλλο χαρτιού είναι μόνο μια άνετη αναπαράσταση, τίποτα παραπάνω. Όπως και αυτή η τεχνική που σχεδιάζει μια φορά στην πρόσοψη του φύλλου και μια φορά στην πίσω πλευρά, ολόκληρη η καμπύλη εμφανίζεται μόνο με διαφάνεια.
Στο σχέδιο παρακάτω, έχουμε απεικονίσει τις γεωδαισικές αυτής της επιφάνειας, υπολογισμένες από τον υπολογιστή (που αναφέρεται στο άρθρο).
Οι τμήματα των καμπύλων που είναι υπογραμμισμένα αντιστοιχούν στα κλαδιά που βρίσκονται "από την άλλη πλευρά" (όπως αν κοιτάξαμε την επιφάνεια "από πάνω").
Τώρα, μια ερώτηση: Μπορώ να κατασκευάσω μια επίπεδη και ισομετρική αναπαράσταση αυτών των γεωδαισικών; Η απάντηση είναι ναι. Έχουμε δει ότι μπορούμε να αλλάξουμε τη μεταβλητή r στη μεταβλητή r. Έτσι οι γεωδαισικές μπορούν να απεικονιστούν πλήρως σε ένα επίπεδο "πολικών συντεταγμένων" (r, j). Οι γεωδαισικές (εδώ μια μη ακτινική γεωδαισική) έχουν την παρακάτω μορφή:
Αυτή η αναπαράσταση είναι ισομετρική. Έστω τρία σημεία A, B, C που ανήκουν στην επιφάνεια, τοποθετημένα στην ίδια γεωδαισική. Τα σημεία A', B' και C' είναι τα ομόλογα σημεία, σε αυτή την αναπαράσταση [r, j]. Τα σημεία A και B βρίσκονται στην ίδια ημι-φάλαγγα και το γεωδαισικό τόξο που τα συνδέει δεν περνά από τον κύκλο της φάλαγγας. Μετρημένο σε αυτό το επίπεδο, κατά μήκος της εικόνας αυτής της γεωδαισικής (η οποία δεν είναι βέβαια μια γεωδαισική αυτού του επιπέδου), το μήκος του τόξου A'B' είναι ίσο με το μήκος του τόξου AB, μετρημένο στην επιφάνεια.
Το τόξο BC περνά από την φάλαγγα. Το ίδιο ισχύει.
Αλλά αυτή η ισομετρία δεν ισχύει για όλες τις γεωδαισικές της επιφάνειας. Υπάρχει μια, μοναδική στο είδος της: ο κύκλος της φάλαγγας, μειωμένος εδώ σε ένα σημείο. Αυτή είναι η μόνη γεωδαισική της επιφάνειας που κλείνει πάνω στον εαυτό της.
Οι γεωδαισικές είναι η μόνη μας δυνατότητα να κατανοήσουμε μια επιφάνεια ή γενικότερα ένα χώρο που δεν είναι επίπεδος, δεν είναι ευκλείδειος. Είναι αξιόπιστα σημεία αναφοράς (ακόμη και αν έχουμε μια παραμορφωμένη όραση μέσα από τα συστήματα αναπαράστασης 2d ή 3d (σε προοπτική). Αυτές οι γεωδαισικές, γνωρίζουμε ότι "υπάρχουν", ότι είναι εσωτερικές. Αυτές της σφαίρας είναι για παράδειγμα μεγάλοι κύκλοι. Σχετικά με το χρόνο-χώρο, αυτοί είναι γεμάτοι με ένα άπειρο αριθμό χωροχρονικών γεωδαισικών. Αυτές οι γεωδαισικές υπάρχουν εσωτερικά και, για να κατανοήσουμε (ετυμολογικά: περικλείω, πιάνω με τα χέρια μου), αναζητούμε, όπως τυφλοί, να "αγγίξουμε" αυτές τις γεωδαισικές. Αλλά οι γραμμές συντεταγμένων χρόνου και χώρου δεν έχουν καμία εσωτερική πραγματικότητα, ίσως και τα δύο σύνολα μεσημβρινών και παραλλήλων δεν αποτελούν ένα αναπόσπαστο μέρος μιας σφαίρας. Δεν "παραδίδονται" μαζί. Η γεωμετρία του Schwarzschild, η λύση της εξίσωσης πεδίου του Einstein, είναι μια υπερεπιφάνεια 4d. Επάνω σε αυτή οι θεωρητικοί έχουν προσθέσει οικογένειες καμπύλων "με σταθερό t", "με σταθερό r", κλπ.
Καταγράψτε στο μυαλό σας ότι αυτές οι κινήσεις είναι πλήρως τυχαίες. Αλλά ακόμα και οι ειδικοί της κοσμολογίας θεωρητικής χάνουν συχνά την ιδέα αυτή, που πρέπει να τους υπενθυμίζουν από καιρό σε καιρό οι μαθηματικοί-γεωμέτρες. Επομένως, ήταν πλήρως νόμιμο να αλλάξουμε τις συντεταγμένες χώρου και χρόνου.
Σε αυτό το σημείο, θα μου πείτε: αλλά τότε, τι μας επιτρέπει να πούμε ότι αυτή η επιλογή συντεταγμένων είναι καλύτερη από αυτήν; Πού βρίσκεται το λογικό και το ανορθολογικό; Αυτό είναι θέμα γούστου. Η επιλογή συντεταγμένων χώρου και χρόνου είναι η τοποθέτηση μιας φυσικής οπτικής αντίληψης σε ένα μαθηματικό αντικείμενο. Στην περίπτωση της Γης, της έδωσαν πόλους γιατί περιστρέφεται. Ο Βόρειος Πόλος είναι απλά το σημείο της επιφάνειας "Γη" που η κανονική του δείχνει προς το αστέρι της Πόλεις, αστέρι που παραμένει σταθερό στο ουρανικό ιστό.
Σχετικά με την ισομετρία και την μη ισομετρία, η χαρτογραφία απεικονίζει τα προβλήματα που προκύπτουν από τις προσπάθειες να αναπαρασταθεί μια σφαίρα σε ένα επίπεδο. Η προβολή Mercator (η προβολή της γης σε κύλινδρο που εφάπτεται στον ισημερινό) είναι πολύ άνετη για τους ανθρώπους που ζουν κοντά στον ισημερινό. Αντίθετα, ο κάτοικος ενός από τους πόλους θα έχει μια κακή έκπληξη: το πεδίο του, σημειακό, θα μετατραπεί σε ευθεία...
Υπάρχουν τριάντα έξι χιλιάδες τρόποι να προβάλεις μια σφαίρα σε ένα επίπεδο. Φανταστείτε αυτόν:
Φανταστείτε ότι φτιάχνουμε χαρτογραφικές χάρτες με αυτό το μοντέλο και τους πουλάμε. Μεγάλη επιτυχία μεταξύ των κατοίκων των δύο πόλων: αυτές οι προβολές είναι τότε, σε αυτές τις περιοχές, σχεδόν ισομετρικές. Πολύ άνετο για να έχει μια ιδέα για τις αποστάσεις σε αυτές τις γωνίες. Αν η Γη είχε ζωτικότητα στους πόλους και ήταν σχεδόν ανεκτική στις άλλες περιοχές, οι χάρτες θα είχαν πιθανότατα δημιουργηθεί με αυτό τον τρόπο. Παρατηρείτε ότι τότε ο κύκλος περιγράμματος της επίπεδης προβολής δεν αντιστοιχεί πλέον στον ισημερινό, αλλά σε ένα παράλληλο (εδώ ανήκει στο βόρειο ημισφαίριο). Στην περιοχή αυτή, ο χάρτης θα είναι πολύ μακριά από την ισομετρία. Επιπλέον, σε αυτόν τον παράξενο χάρτη, μια μερική περιοχή της χώρας θα πρέπει να απεικονιστεί με συνεχόμενη γραμμή και η άλλη με διακεκομμένη, γιατί βρίσκεται πέρα από αυτό το παράλληλο όπου το αντικείμενο, παράξενα, φαίνεται "να αναπτύσσεται". Αν δεν παραδώσετε τους χάρτες σε μορφή δίσκου και το υπόλοιπο του εδάφους να απεικονιστεί στην άλλη πλευρά, στην πίσω πλευρά του φύλλου.
Προσπαθήστε να "σκεφτείτε όλα αυτά σε 3d". Έχουμε απεικονίσει τον Lanturlu να βυθίζει το αριστερό του χέρι στη φάλαγγα και έχουμε χωρίσει τα δύο σχέδια, που φαίνεται να υποδηλώνουν ότι αυτός ο δεύτερος 3d χώρος μπορεί να είναι "πουθενά". Για να είμαστε πιο ακριβείς, θα έπρεπε να υπερθέσουμε τα δύο σχέδια σε προοπτική, απεικονίζοντας το χέρι (δεξιό) που βγαίνει "με διακεκομμένη γραμμή".
Έχω προσπαθήσει να το κάνω, αν και δεν ήταν εξαιρετικά εύκολο. Θα μπορούσαμε επίσης να χρησιμοποιήσουμε δύο διαφορετικά χρώματα, για παράδειγμα κόκκινο για αυτό που θα ήταν στο πρώτο πλευρικό 3d του χώρου 3d μη απλά συνεκτικό και πράσινο για αυτό που είναι στο άλλο πλευρικό. Ένας κόκκινος Lanturlu θα έβλεπε το κόκκινο χέρι του αριστερό, που έχει βυθιστεί στη φάλαγγα, να βγαίνει ως ένα πράσινο "δεξί" χέρι.
Πόσο λυπηρό που ο Raymond Devos δεν ενδιαφέρεται για τα μαθηματικά. Παρ' όλα αυτά...
Φυσικά "μέσα" στη φάλαγγα, δεν υπάρχει τίποτα. Αυτή η εικόνα εσωτερικού, της όγκου, οφείλεται μόνο στην επιλογή αυτού του χώρου αναπαράστασης 3d. Όπως και το εσωτερικό του τρυπημένου φύλλου χαρτιού, δεν υπήρχε κανένα χαρτί. Ήταν μόνο ένα ατύχημα που οφείλεται στην επιλογή αυτού του επίπεδου χώρου αναπαράστασης. Κάποιος που θα προσπαθούσε να χρησιμοποιήσει αυτή την επίπεδη αναπαράσταση χωρίς να αφαιρέσει τον κύκλο που κόπηκε από το χαρτί και θα συνέχιζε να ρωτά "τι υπάρχει μέσα;" θα ήταν "εκτός του πλακιδίου" (ή περισσότερο... μέσα). Αυτό το πλακίδιο "δεν υπάρχει".
Επιστρέφουμε στο 3d. Όταν ο Lanturlu βυθίζει το χέρι του στη φάλαγγα, αυτή δεν έχει επίσης εσωτερικό. Αυτή η εικόνα του εσωτερικού οφείλεται μόνο στην επιλογή του χώρου αναπαράστασης. Μπορούμε να θεωρήσουμε ότι ο Lanturlu και το χέρι του που βγαίνει έχουν σχεδιαστεί σε ένα φύλλο χαρτιού που έχει τρεις διαστάσεις, όπου έχουμε αφαιρέσει... μια σφαίρα (το 3d ισοδύναμο του κύκλου του φύλλου χαρτιού). Μαθηματικά, ένας κύκλος είναι μια "μπάλα b2" και μια "σφαίρα όγκου" είναι μια "μπάλα b3". Ονομάζουμε "μπάλα" μια συστραμμένη κελί (βλέπε το Topologicon, στο "CD-Lanturlu") δηλαδή ένα αντικείμενο που μπορεί να συστραμμείται σε ένα σημείο κατά τη διάρκεια της διαδρομής του. Αυτά τα παραδείγματα 2d και 3d υποστηρίζουν την προσέγγιση που ακολουθείται στο άρθρο: η σφαίρα του Schwarzschild δεν έχει "εσωτερικό", ούτε "κέντρο". Όταν την διαπερνά (υπερτορική διέλευση), βρίσκεστε σε ένα "άλλο πλευρικό του χρόνου-χώρου".
Ποια είναι η δικαιολογία για αυτή τη νέα ερμηνεία της "γεωμετρίας του Schwarzschild";
Απάντηση: η απαλοιφή των ιδιοτικών σημείων. Ο Kruskal, με το "επέκταση αναλυτικά", έκανε πολλά πράγματα για να εισέλθει απαραίτητα "μέσα" σε αυτή την τρομακτική σφαίρα. Έχει καταφέρει μόνο να συμπιέσει την ιδιοτική (ρόλος αρχικά κατειλημμένος από τη σφαίρα του Schwarzschild) σε ένα σημείο που βρίσκεται "στο κέντρο αυτού του αντικειμένου". Έχουμε ικανοποιηθεί με αυτό το παραξενικό. Αλλά πιστεύουμε ότι χωρίς ιδιοτικό σημείο, είναι καλύτερα.
Η Φύση προβληματίζεται, όταν την κοιτάς από την κακή γωνία, παράγοντας ιδιοτικά σημεία. Έτσι βλέπουμε τα πράγματα. Είναι ένας προ-προσδιορισμός για το "πραγματικό". Πιστεύουμε ότι τα ιδιοτικά σημεία δεν υπάρχουν στη φύση. Πιστεύουμε επίσης ότι το άπειρο δεν υπάρχει ούτε. Αλλά, όπως θα έλεγε ο Kipling, αυτό είναι μια άλλη ιστορία. Έχω έχει πολύ θορυβώδεις συζητήσεις με τον Souriau για αυτό το θέμα πριν ένα χρόνο.
-
Τι με πιστεύει ότι το άπειρο υπάρχει; ....
-
Αλλιώς, δεν υπάρχει μαθηματική θεωρία! ....
-
Το άπειρο, το έχεις ήδη συναντήσει; Το έχεις ήδη δει, το έχεις κρατήσει στο χέρι σου;
-
Είναι ένα .... προνόμιο.
-
Παράγουμε απειροειδώς μεγάλους αριθμούς υποθέτοντας ότι μπορούμε να προσθέσουμε 1 σε έναν αριθμό, απεριόριστα. Έτσι χρησιμοποιούμε ένα ακολουθιακό άπειρο για να παράγουμε ένα αριθμητικό άπειρο. Αυτό είναι αυτοπαραβολικό, το σκεύασμά σου.
-
Καλά, ας πούμε ότι είναι ένα προνόμιο. Ο άνθρωπος έχει εφευρεθεί δύο σημαντικά πράγματα στη διάρκεια της ιστορίας του: το άπειρο και τα υγιεινά.
Δεν πιστεύω επίσης ότι το απειροειδώς μικρό υπάρχει, ούτε φυσικά, ούτε μαθηματικά. Αλλά αυτό θα είναι αντικείμενο άλλων εργασιών. Ας το αποφύγουμε για τώρα. Απλή διαφοροποίηση.
Στη διάρκεια της παραπάνω, δείτε το "Scale Invariant Cosmology" του P.Midy και J.P.Petit, International Journal of Modern Physics D, Ιούνιος 1999, σελίδες 271-280, όπου έχουμε καταστρέψει "την αρχική ιδιοτική σημείο του κόσμου". Είναι μια πιο κατασκευαστική μαθηματική αναφορά της ιδέας που δημοσίευσα το 1988-1989 στο Modern Physics Letters A (εργασίες στο ιστοχώρο).
Ελπίζω ότι όταν διαβάσετε αυτές τις γραμμές θα έχουμε το χρόνο, με τη βοήθεια των κ. Lecot ή Boland, να περιλάβουμε αυτό το νέο άρθρο στο ιστοχώρο. Αλλά ανεξάρτητα, ακόμη κι αν αυτή η εργα