Αλλά υπάρχουν επιφάνειες που είναι εγγενώς ιδιόμορφες, διαθέτοντας ιδιομορφίες που δεν οφείλονται σε μια επιλογή συντεταγμένων. Παράδειγμα παρακάτω: η κωνική ιδιομορφία.
Στην πρωτότυπη μορφή της, όπως διατυπώθηκε το 1917 από τον Schwarzschild σε συντεταγμένες t, r, q, j (ο χρόνος, μια ακτινική απόσταση και δύο γωνίες, ισοδύναμες με αζιμούθιο και ύψος: «σφαιρικές» συντεταγμένες), η σφαίρα του Schwarzschild είναι ιδιόμορφη. Για μια συγκεκριμένη τιμή Rs της «ακτινικής συντεταγμένης» r (που υποτίθεται ότι μετριέται από ένα «γεωμετρικό κέντρο»), αυτή η μετρική μας παίζει τα χειρότερα κόλπα. Πάνω σε αυτή τη σφαίρα, ένας από τους όρους έχει μηδενικό παρονομαστή. Με λίγα λόγια, είναι ιδιόμορφη πάνω σε αυτή τη σφαίρα. Ήταν αυτή μια εγγενής ιδιομορφία ή ένα τεχνούργημα που προκλήθηκε από μια κακή επιλογή συντεταγμένων; Αυτή είναι η ερώτηση που ourselves θέσαμε.
Ας σημειωθεί εν παρόδω ότι η «γεωμετρία του Schwarzschild» είναι μια υπερκαμπύλη τεσσάρων διαστάσεων, γεγονός που καθιστά το ζήτημα ακόμη πιο δύσκολο.
Ο Kruskal εστίασε σε αυτό το σημείο. Κατασκεύασε έναν μετασχηματισμό συντεταγμένων που, μεταξύ άλλων, παρέχει μια σταθερή τιμή της ταχύτητας του φωτός κατά μήκος μιας ακτινικής τροχιάς. Με αυτόν τον τρόπο, συγκεντρώνει την ιδιόμορφη πτυχή «στο κέντρο του αντικειμένου», σε μια «κεντρική ιδιομορφία». Ψυχολογικά, έχουμε την εντύπωση ότι κερδίζουμε κάτι. Η λύση γίνεται «κανονική σχεδόν παντού», έκφραση που χρησιμοποιούν οι μαθηματικοί για να δηλώσουν ότι η λύση είναι κανονική, απαλλαγμένη από παθολογίες, εκτός από ένα μοναδικό σημείο.
- Δεν θα ψελλίζετε, δεν θα αναζητάτε καβγά, για ένα απλό σημείο.....
Δυστυχώς, αυτή η διατύπωση του Kruskal έχει ένα σοβαρό ελάττωμα: δεν αναπαράγει τον χώρο της ειδικής σχετικότητας στο άπειρο. Τεχνικά, δεν είναι Λόρεντζιανή στο άπειρο, «ασυμπτωτικά Λόρεντζιανή».
Αυτό είναι ένα θεμελιώδες ερώτημα στη φυσική: υπάρχουν ιδιομορφίες; Ανεχεται η Φύση τις ιδιομορφίες; Η απάντηση διατυπώνεται όρους πίστης (όπως και για την ύπαρξη ή μη ύπαρξη του απείρου, εξάλλου).
Αναζητήσαμε μια νέα ερμηνεία της ίδιας αυτής γεωμετρίας του Schwarzschild, προσπαθώντας να εξαλείψουμε κάθε ιδιομορφία, και τα καταφέραμε. Η απάντησή μας είναι λοιπόν:
- Ο ιδιόμορφος χαρακτήρας της λύσης του Schwarzschild προκαλείται απλώς από μια κακή επιλογή συντεταγμένων.
Τεχνικά, όλα βασίζονται στον μετασχηματισμό μεταβλητών:
r = Rs + Log ch r
που διαβάζεται «r ισούται με Rs συν τον λογάριθμο του υπερβολικού συνημιτόνου της μεταβλητής r». Απλό aside για επιστήμονα, ειδικό ή απλό φοιτητή προετοιμασίας (taupin). Για όποιον γνωρίζει να χειρίζεται αυτόν τον τύπο, το μέγεθος r δεν μπορεί πλέον να γίνει μικρότερο από Rs, ακόμα και όταν το r παίρνει όλες τις δυνατές τιμές πλην του μείον απείρου και του συν απείρου.
Θεωρήστε μια επιφάνεια που προκύπτει από την περιστροφή μιας παραβολής γύρω από μια ευθεία, ως εξής:
Αυτό το σχήμα είναι απόσπασμα από το άρθρο. Η επιφάνεια είναι άπειρη, στην πραγματικότητα, όπως η παραβολή-μεσηγή που τη γεννά περιστρεφόμενη γύρω από τον άξονα z, απεικονισμένη. Αν επιμένουμε να την αναπαραστήσουμε με συντεταγμένες (r,z,j), μπορούμε να αναμένουμε προβλήματα όταν αναρωτηθούμε «πώς είναι αυτή η επιφάνεια για r < Rs;»
Θα βρεθεί μια .. φανταστική απάντηση, με ρίζες αρνητικών ποσοτήτων. Απλώς επειδή βρισκόμαστε τότε «εκτός επιφάνειας».
Αυτή η επιφάνεια, στα μαθηματικά, λέγεται «μη απλά συνεκτική», ένας βάρβαρος όρος που δηλώνει απλώς τις επιφάνειες όπου κάθε κλειστή καμπύλη δεν μπορεί να δει την περίμετρό της να μειώνεται, κάνοντάς την να γλιστρά μέσα στην επιφάνεια, μέχρι να πάρει την τιμή μηδέν.
Αυτό είναι δυνατό σε μια σφαίρα, που είναι «απλά συνεκτική». Αλλά σε αυτή την επιφάνεια, βλέπουμε καθαρά ότι κάθε κλειστή καμπύλη που «κάνει τον γύρο αυτού του είδους του κεντρικού πηγαδιού» δεν θα μπορέσει να δει την περίμετρό της να τείνει στο μηδέν, το όριο being η περίμετρος του «κύκλου του λαιμού». Το ίδιο ισχύει για έναν τόρο, που είναι επίσης «μη απλά συνεκτικός».
Ορίσαμε μια τέτοια επιφάνεια ξεκινώντας από τη μετρική της, κάτι που απεικονίζει πολύ καλά το επιχείρημα. Κρατώντας τη συντεταγμένη r, αυτή η επιφάνεια φαίνεται ιδιόμορφη. Χρησιμοποιώντας τον παραπάνω μετασχηματισμό μεταβλητών, δεν είναι πλέον. Σε τι αντιστοιχεί αυτή η συντεταγμένη r; «Τρέχει» απλώς κατά μήκος της παραβολής-μεσηγής όπως φαίνεται στο σχήμα, παίρνοντας την τιμή μηδέν στον κύκλο του λαιμού. Το μισό της επιφάνειας αντιστοιχεί σε θετικό r, το άλλο σε αρνητικό r. Στο σύστημα αναφοράς των σημείων [r , j] δεν υπάρχει πλέον ιδιομορφία.
Αποφασίσαμε να ονομάσουμε αυτόν τον τύπο αντικειμένου «τοξοειδής γέφυρα», κατ' αναλογία με τον τόρο.
Αλλά δείχνουμε εύκολα, ξεκινώντας πάντα από μετρικές, ότι μπορούμε να περάσουμε σε ένα αντικείμενο, μια υπερκαμπύλη 3d, που περιλαμβάνει μια «υπερτοξοειδή γέφυρα». Δεν υπάρχει τότε ένας κύκλος του λαιμού, αλλά μια σφαίρα του λαιμού. Όπως για την παραπάνω επιφάνεια, ένας κύκλος του λαιμού φαινόταν να θέτει σε επικοινωνία δύο φύλλα 2d, η σφαίρα του λαιμού θέτει τότε σε επικοινωνία δύο «ημιχώρους 3d». Όταν βρισκόμαστε σε έναν από αυτούς τους ημιχώρους 3d και βουτάμε στη σφαίρα του λαιμού, αναδυόμαστε στον άλλο ημιχώρο.
Επιστρέφουμε στην επιφάνεια 2d που δείχτηκε παραπάνω. Το παρακάτω σχέδιο δείχνει ότι, σχεδιάζοντας «κύκλους που νομίζουμε ότι είναι ομόκεντροι», βλέπουμε την περίμετρό τους να μειώνεται, να περνά από ένα ελάχιστο και μετά να αυξάνεται ξανά.
Σε 3d πρέπει να φανταστούμε μια σφαίρα που περιβάλλει πλήρως τη σφαίρα του λαιμού. Μετά μια άλλη, μέσα σε αυτήν (θα έπρεπε να πούμε «πέρα» ακολουθώντας μια δεδομένη κατεύθυνση, προς αυτή τη σφαίρα του λαιμού). Φανταζόμαστε ότι η επιφάνεια αυτής της σφαίρας θα μπορούσε να είναι μικρότερη. Αλλά, όταν φτάνουμε στη σφαίρα του λαιμού, το εμβαδόν περνά από ένα ελάχιστο, και μετά αρχίζει να αυξάνεται ξανά... μέχρι το άπειρο, όταν προεκτείνουμε τη διαδικασία.
Κατασκευάσαμε τις «μετρικές» αυτών των επιφανειών 2d και 3d που περιλαμβάνουν ένα «τοξοειδές πέρασμα» και ένα «υπερτοξοειδές πέρασμα» και, στην δεύτερη περίπτωση, μας έκανε εντύπωση η ομοιότητα με τη μετρική του Schwarzschild, όπου κάναμε αυτόν τον μετασχηματισμό συντεταγμένων, κάνοντας εμφανή τον χαρακτήρα της «μη απλής συνεκτικότητας», με το «εσωτερικό» του αντικειμένου να γίνεται απλώς «το πέρα από τη σφαίρα του λαιμού του».
Έτσι κατέστη δυνατό να εξαλειφθεί κάθε ιδιομορφία.
Σε αυτό το στάδιο, απλώς επεκτείναμε το μοντέλο της μαύρης τρύπας σε ένα δίδυμο «μαύρη τρύπα-λευκή πηγή». Αλλά, πάντα για αυτόν τον «εξωτερικό παρατηρητή», ο χρόνος διέλευσης αυτής της υπερτοξοειδούς γέφυρας ήταν πάντα άπειρος. Φαινόταν ότι είχαμε απλώς βελτιώσει το μοντέλο της μαύρης τρύπας εξηγώντας σε τι κατέληγε.
Είπαμε ότι η επιλογή των μεταβλητών είναι, σε μια γεωμετρική λύση, εντελώς αυθαίρετη. Αλλά αυτό που ισχύει για τον χώρο ισχύει επίσης και για τον χρόνο. Πήγαμε λοιπόν να ψάξουμε για έναν μετασχηματισμό χρονικής μεταβλητής που εφηύρε ο Eddington το 1924:
Εδώ πάλι, το αναφέρουμε για τον επιστήμονα ή τον απλό φοιτητή προετοιμασίας.
t είναι ο παλιός «κοσμικός χρόνος», η παλιά «χρονολογική μεταβλητή» που υπάρχει στην αρχική λύση του Schwarzschild, του 1917.
t' είναι αυτός ο νέος «χρόνος του Eddington». Rs είναι η «ακτίνα του Schwarzschild» (θα έπρεπε τότε να μιλάμε για την περίμετρο του Schwarzschild, διαιρεμένη με 2π).
c είναι η ταχύτητα του φωτός (εδώ, σταθερή).
Πράγμα που μπορεί να φαίνεται παράξενο: ανακατεύουμε τον χρόνο και τον χώρο, αλλά σε αυτό το θέμα, έχουμε κάθε δικαίωμα. Η επιλογή της χρονικής συντεταγμένης, της συντεταγμένης χρονολογικής αναφοράς (time-marker) είναι εντελώς αυθαίρετη. Απαιτούμε απλώς:
-
Η μετρική να είναι ασυμπτωτικά Λόρεντζιανή, δηλαδή στο άπειρο, ο χωροχρόνος να γίνεται ο χωροχρόνος του Minkowski, αυτός της ειδικής σχετικότητας. Στην περίπτωσή μας, λειτουργεί (όχι στον Kruskal).
-
Αυτός ο νέος χρόνος t' να ταυτίζεται, πάντα στο άπειρο, με τον «ίδιο χρόνο ενός υποθετικά ακίνητου παρατηρητή». Αυτό επίσης ισχύει (όχι στον Kruskal).
Με αυτόν τον τρόπο, ο χρόνος ελεύθερης πτώσης ενός σωματιδίου-δείκτη, ακίνητου στο άπειρο και πέφτοντας προς τη σφαίρα του Schwarzschild, γίνεται άπειρος, σε σχέση με τον βιωμένο χρόνο του «εξωτερικού παρατηρητή», που είναι μακριά και ακίνητος.
Το σωματίδιο, από την άλλη, θα αναδυόταν από αυτόν τον «αυλάκιο» σε άπειρο χρόνο. Όπως στη μαύρη τρύπα, μπορούμε λοιπόν να μπούμε σε αυτόν τον είδους αυλάκιο 3d, αλλά όχι να βγούμε από αυτόν, εκτός αν σε άπειρο χρόνο.
Η άλλη πλευρά είναι μια «ανάδυση». Αλλά, με μια τέτοια επιλογή του χρόνου (t') το σωματίδιο αναδύεται από αυτή την ανάδυση σε άπειρο χρόνο, ενώ μπορεί να εισέλθει σε αυτήν σε πεπερασμένο χρόνο. Κάτι δεν πήγαινε καλά. Η λύση συνίστατο στο να κάνουμε, κάτι που έχουμε απόλυτο δικαίωμα να κάνουμε, ένα είδος διπλού μετασχηματισμού μεταβλητών. Για το τμήμα του χωροχρόνου που υποτίθεται ότι είναι το δικό μας:
Στο «σύμπαν-δίδυμο»:
Ο κοσμικός μηχανισμός λειτουργεί τότε τέλεια.
-
Καμία ιδιομορφία.
-
Μπορούμε να μπούμε στον «αυλάκιο» αλλά όχι να βγούμε από αυτόν (μαύρη τρύπα).
-
Μπορούμε να βγούμε από την ανάδυση, αλλά όχι να εισέλθουμε σε αυτήν (λευκή πηγή).
Λοιπόν, θα μου πείτε, προοδεύουμε....
Ναι και όχι. Ο χρόνος διέλευσης της ύλης σε αυτό το υπερτοξοειδές πέρασμα είναι μερικές δεκάδες χιλιοστά του δευτερολέπτου, και αυτός ο Μολόχ είναι ικανός να καταπιεί οτιδήποτε, δέκα ηλιακές μάζες, για παράδειγμα, σε λιγότερο χρόνο από ό,τι χρειάζεται μια σφαίρα για να διαπεράσει μια τράπουλα.
Το συμπέρασμα είναι ότι, μέσω αυτής της πιο λογικής ερμηνείας της γεωμετρικής λύσης, οι μαύρες τρύπες δεν θα μπορούσαν να υπάρχουν. Είναι ... μαθηματικά φαντάσματα. Θα μπορούσαν να υπάρχουν μόνο δυνάμει αυτού «παγώματος του χρόνου». Όμως, με αυτόν τον «χρόνο του Eddington» που ικανοποιεί όλες τις απαιτήσεις της φυσικής, ο χρόνος διέλευσης γίνεται πεπερασμένος.
Συμπέρασμα: αυτή η γεωμετρία του Schwarzschild θα ήταν, κατά τη γνώμη μας, απλώς μια στιγμιαία εικόνα μιας μη σταθερής διαδικασίας υπερχωρικής μεταφοράς. Είναι λίγο σαν να σας δείχνουν μια φωτογραφία μιας άκμονας που κάποιος έχει πετάξει στον αέρα και εσείς να συμπεράνετε ότι οι άκμονες μπορούν να επιπλέουν στον αέρα. Η λύση του Schwarzschild είναι επίσης λύση μιας εξίσωσης που προϋποθέτει ότι το σύμπαν είναι τέλεια κενό, ότι η πυκνότητα ενέργειας της ύλης είναι μηδέν σε κάθε σημείο. Είναι τότε λίγο σαν να σας δείχνουν μια φωτογραφία ενός γηπέδου ποδοσφαίρου, τραβηγμένη όταν οι παίκτες έχουν φύγει να ξεκουραστούν κατά τη διάρκεια του σύντομου ημιχρόνου, και εσείς να συμπεράνετε ότι το ποδόσφαιρο παίζεται σε ένα ... άδειο γήπεδο.
Αλλά τότε, τι θα συνέβαινε;
Δείξαμε ότι κατά τη διέλευση της σφαίρας του λαιμού, η χρονική συντεταγμένη αντιστρεφόταν. Αν ονομάσουμε t' τον χρόνο (του Eddington) που αντιστοιχεί στην «our πλευρά του χωροχρόνου» και t'* τον «χρονικό δείκτη» του σύμπαντος-διδύμου, έχουμε:
t'* = - t'
Ας σημειώσουμε ότι ο Andrei Sakharov ήταν ο πρώτος που πρότεινε το 1967 ότι κατά τη στιγμή του «Big Bang» δημιουργήθηκαν δύο σύμπαντα-δίδυμα με αντίθετους χρόνους.
Απομένει να γνωρίζουμε τι σήμαινε η κατεύθυνση αυτής της «αντιστροφής του χρόνου». Σήμαινε ότι όταν βουτάγαμε στο σύμπαν-δίδυμο γινόμασταν νεότεροι; Δείξαμε ότι όχι. «Παίρνουμε μαζί μας τον ίδιο χρόνο μας» και αν βγαίναμε λίγο πιο μακριά μέσω μιας συμμετρικής δομής, δεν θα αναδυόμασταν νεότεροι από ό,τι όταν μπήκαμε σε αυτό το σύμπαν-δίδυμο. Αδύνατο να «σκοτώσουμε τον ίδιο μας τον πατέρα» όπως στο θέμα του «Απερίεργου Ταξιδιώτη», του Barjavel.
Οι ομάδες, πάλι, μας επέτρεψαν να διευκρινίσουμε το «οντολογικό» νόημα αυτής της αντιστροφής της χρονικής συντεταγμένης. Όταν ένα σωματίδιο βουτά στο σύμπαν-δίδυμο, η βαρυτική του δράση γίνεται πάντα αισθητή, αλλά η συνεισφορά του στο βαρυτικό πεδίο γίνεται τότε αρνητική. Η «βαρυτική του μάζα» αντιστρέφεται.
Κατ' ευκαιρία, αυτό δικαιολογεί πλήρως το μοντέλο που αναπτύχθηκε στον ιστότοπο και στο έργο «Χάσαμε το μισό του σύμπαντος» (Albin Michel). Οι μάζες που περιφέρονται στο σύμπαν-δίδυμο συμπεριφέρονται απέναντι στις μάζες που υπάρχουν στο δικό μας ως απωθητικές μάζες. Η πλήρης δυναμική είναι:
-
Στο δικό μας σύμπαν, οι μάζες έλκονται σύμφωνα με τον Νεύτωνα.
-
Στο δίδυμο, οι μάζες έλκονται σύμφωνα με τον Νεύτωνα.
-
Όταν μάζες που βρίσκονται σε δύο «γειτονικές» περιοχές του χωροχρόνου αλληλεπιδρούν, απωθούνται.
Αυτό είναι μια απλή συνέπεια αυτής της αντιστροφής της χρονικής μεταβλητής (αλλά όχι του ίδιου χρόνου).
Οι ομάδες δείχνουν επίσης ότι η δυαδικότητα ύλης-αντιύλης υπάρχει και στα δύο σύμπαντα, όπως εικάστηκε από τον Andrei Sakharov.
Όταν ένα σωματίδιο ύλης καταφέρνει να περάσει στο σύμπαν-δίδυμο (θα δούμε αργότερα πώς), παραμένει ύλη, αλλά «συμμετρική CPT». Αυτό είναι το νόημα του διάσημου «θεωρήματος CPT» της φυσικής (που δεν αποδείχθηκε ποτέ. Αυτό που ο Souriau αποκαλεί «θεώρημα φυσικού»). Κλασικά, οι φυσικοί λένε «η συμμετρική CPT της ύλης είναι ταυτόσημη με την ύλη». Με συμμετρία CPT, εννοούμε:
-
Το σωματίδιο, σε αυτό το νέο σύστημα αναφοράς, ταξιδεύει «αντίστροφα στον χρόνο»: συμμετρία Τ.
-
Είναι εναντιόμορφο, αντεστραμμένο δεξιά-αριστερά, «κατοπτρικά»: συμμετρία Ρ.
-
Όλα τα «φορτία» του αντιστρέφονται, συμπεριλαμβανομένου του ηλεκτρικού του φορτίου, αν έχει κάποιο. Αυτή είναι η συμμετρία C.
Για εμάς, η συμμετρική CPT ενός σωματιδίου είναι ένα σωματίδιο του διδύμου (ή που έχει περάσει στο δίδυμο). Είναι ένα σωματίδιο-δίδυμο. Επειδή υπάρχει συμμετρία Τ, η μάζα του αντιστρέφεται αυτόματα (αποτέλεσμα που αρχικά έλαβε ο J.M. Souriau το 1974).
Η συμμετρική C ενός σωματιδίου είναι το αντισωματίδιό του.
Ο Feynman είχε βρει ότι η συμμετρική PT ενός σωματιδίου συμπεριφερόταν ως αντισωματίδιο. Σωστό, αλλά πρόκειται για .. την αντιύλη του διδύμου, με αρνητική μάζα (επειδή υπάρχει επίσης συμμετρία Τ). Όλα αυτά προκύπτουν από ιστορίες ομάδων. Αυτή η εργασία συνδέεται με όλα όσα είχαν δημοσιευτεί μέχρι τώρα (στον ιστότοπο, δείτε Geometrical Physics B στην ενότητα «γεωμετροποίηση της αντιύλης»). Μπορούμε να απεικονίσουμε με εύγλωττο τρόπο αυτή την υπόθεση της αντιστροφής του χώρου. Στο χαρτί, επιμένουμε αρκετά στην έννοια του χώρου αναπαράστασης. Είναι ο χώρος στον οποίο αναπαραστάζουμε νοερά τα γεωμετρικά αντικείμενα. Χρησιμοποιήσαμε παραπάνω μια εικόνα όπου βλέπαμε τον Lanturlu να βάζει το χέρι του μέσα σε αυτή τη σφαίρα του λαιμού, η οποία φαινόταν να αναδύεται σε ένα άλλο σύμπαν 3d. Για λόγους σχεδίου, χωρίσαμε τα δύο σχήματα. Αλλά υπάρχει κάτι που πιθανότατα δεν παρατηρήσατε εκ πρώτης όψεως: Ο Lanturlu βάζει σε αυτή τη σφαίρα ένα αριστερό χέρι και είναι ένα δεξί χέρι που αναδύεται από αυτήν. Αυτό δεν έγινε τυχαία.
Πού είναι αυτό το δεύτερο σύμπαν;
Είναι ενσωματωμένο στο δικό μας, κάτι που είναι δύσκολο να κατανοηθεί. Αλλά αυτό θα είναι πιο απλό επιστρέφοντας στην επιφάνεια 2d, στο «flatland».