Εδώ, έχουμε «αδυνατίσει» ελαφρώς το σχήμα για να γίνει πιο ευανάγνωστο. Μια επιφάνεια είναι ένα δισδιάστατο αντικείμενο, εδώ «βυθισμένο» σε έναν τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο, δηλαδή στον R3. Πάνω, μπορούμε «να τη δούμε». Αποδεικνύεται ότι αυτή η συγκεκριμένη επιφάνεια μπορεί να ενσωματωθεί σε αυτόν τον χώρο R3 «με ισομετρικό τρόπο». Αυτό σημαίνει ότι αν κολλήσουμε πάνω της μια ταινία σελοτέιπ, αυτή αντιστοιχεί πράγματι σε μια γεωδαισιακή που ενώνει δύο σημεία Α και Β της επιφάνειας. Επιπλέον, το μήκος που μετριέται κατά μήκος αυτού του γεωδαισιακού τόξου είναι επίσης σωστό. Είναι ισομετρικό, ετυμολογικά «ίδιο μήκος». Κάτω βρίσκεται ένας δισδιάστατος χώρος αναπαράστασης, ο οποίος παρέχει μια αναπαράσταση που δεν είναι ισομετρική. Το μήκος του τόξου Α'Β' δεν είναι ίσο με αυτό του τόξου ΑΒ. Κατασκευάστε το ακόλουθο αντικείμενο, χρησιμοποιώντας ένα φύλλο χαρτί, ένα μολύβι και ένα ψαλίδι:
Αυτό το σχέδιο δεν είναι ισομετρικό. Πρώτον, η καμπύλη που υποδεικνύεται δεν είναι προφανώς μια γεωδαισιακή του επιπέδου. Δεύτερον, το μήκος του τόξου ΑΒ δεν είναι το «πραγματικό μήκος», αυτό που θα μετρούσαμε στην «πραγματική επιφάνεια», η οποία «δεν έχει τρύπα». Αυτό το τρυπημένο φύλλο χαρτί είναι απλώς μια βολική αναπαράσταση, τίποτα περισσότερο. Το ίδιο ισχύει και για αυτή την τεχνική που συνίσταται στο να σχεδιάσουμε το ένα μέρος στην εμπρόσθια όψη του φύλλου και το άλλο στην οπισθόφυλλό του, με το σύνολο της καμπύλης να φαίνεται μόνο διαμέσου της διαφάνειας.
Στο παρακάτω σχέδιο, έχουμε απεικονίσει τις γεωδαισιακές αυτής της επιφάνειας, οι οποίες έχουν υπολογιστεί από υπολογιστή (που αναφέρεται στο άρθρο).
Τα διακεκομμένα τμήματα των καμπυλών αντιστοιχούν στους κλάδους που βρίσκονται «απέναντι» (όπως αν κοιτάζαμε την επιφάνεια «από πάνω»).
Τώρα, μια ερώτηση: Μπορώ να κατασκευάσω μια επίπεδη και ισομετρική αναπαράσταση αυτών των γεωδαισιακών; Η απάντηση είναι ναι. Είδαμε ότι μπορούσαμε να αλλάξουμε τη μεταβλητή r στη μεταβλητή r. Τότε οι γεωδαισιακές μπορούν να απεικονιστούν τέλεια σε ένα επίπεδο «πολικών συντεταγμένων» (r, j). Οι γεωδαισιακές (εδώ μια μη ακτινική γεωδαισιακή) έχουν την ακόλουθη μορφή:
Αυτή η αναπαράσταση είναι ισομετρική. Έστω τρία σημεία Α, Β, Γ που ανήκουν στην επιφάνεια, τα οποία βρίσκονται στην ίδια γεωδαισιακή. Τα Α', Β' και Γ' είναι τα αντίστοιχα σημεία σε αυτή την αναπαράσταση [r, j]. Τα σημεία Α και Β βρίσκονται στο ίδιο ημι-πέταλο και το γεωδαισιακό τόξο που τα ενώνει δεν διασχίζει τον κύκλο του λαιμού. Μετρημένο σε αυτό το επίπεδο, κατά μήκος της εικόνας αυτής της γεωδαισιακής (που προφανώς δεν είναι γεωδαισιακή του επιπέδου), το μήκος του τόξου Α'Β' είναι ίσο με αυτό του τόξου ΑΒ, μετρημένο στην επιφάνεια.
Το τόξο ΒΓ διασχίζει τη σφαίρα του λαιμού. Το ίδιο ισχύει.
Αλλά αυτή η ισομετρία δεν ισχύει για όλες τις γεωδαισιακές της επιφάνειας. Υπάρχει μία, μοναδική στο είδος της: ο κύκλος του λαιμού, που εδώ ανάγεται σε ένα σημείο. Αυτή είναι η μοναδική γεωδαισιακή αυτής της επιφάνειας που κλείνει επάνω στον εαυτό της.
Οι γεωδαισιακές είναι ο μόνος τρόπος μας για να κατανοήσουμε μια επιφάνεια ή, πιο γενικά, έναν μη επίπεδο, μη ευκλείδειο χώρο. Είναι αξιόπιστα σημεία αναφοράς (ακόμα κι αν έχουμε παραμορφωμένες εικόνες τους μέσω των δισδιάστατων ή τρισδιάστατων συστημάτων αναπαράστασής μας (σε προοπτική). Αυτές τις γεωδαισιακές, ξέρουμε ότι «υπάρχουν», ότι είναι εγγενείς. Αυτές μιας σφαίρας είναι, για παράδειγμα, μεγάλοι κύκλοι. Όσον αφορά τον χωροχρόνο, αυτός είναι γεμάτος με μια άπειρη πληθώρα χωροχρονικών γεωδαισιακών. Αυτές οι γεωδαισιακές υπάρχουν εγγενώς και, για να κατανοήσουμε (ετυμολογικά: περικλείω, αγκαλιάζω), ψάχνουμε, σαν τυφλοί, να «ψηλαφήσουμε» αυτές τις γεωδαισιακές. Αλλά οι γραμμές συντεταγμένων του χρόνου και του χώρου δεν έχουν καμία εγγενή πραγματικότητα, όπως τα δύο σύνολα των μεσημβρινών και των παραλλήλων δεν αποτελούν αναπόσπαστο μέρος μιας σφαίρας. Δεν «περιλαμβάνονται» μαζί της. Η γεωμετρία του Schwarzschild, λύση της εξίσωσης πεδίου του Αϊνστάιν, είναι μια τετραδιάστατη υπερ-επιφάνεια. Πάνω σε αυτήν, οι θεωρητικοί έχουν επιβάλει οικογένειες καμπυλών «σταθερού t», «σταθερού r», κ.λπ.
Θυμηθείτε καλά ότι αυτές οι πράξεις παραμένουν εντελώς αυθαίρετες. Αλλά ακόμα και οι ειδικοί της θεωρητικής κοσμολογίας συχνά χάνουν την επίγνωση αυτού του σημείου, το οποίο πρέπει να τους θυμίζουν κατά καιρούς οι μαθηματικοί-γεωμέτρες. Ήταν λοιπόν απολύτως νόμιμο να αλλάξουμε τις συντεταγμένες του χώρου και του χρόνου.
Σε αυτό το στάδιο, θα μου πείτε: αλλά τότε, τι μας επιτρέπει να πούμε αν μια επιλογή συντεταγμένων είναι καλύτερη από μια άλλη; Πού βρίσκεται το λογικό και το παράλογο; Είναι θέμα γούστου. Η επιλογή συντεταγμένων χώρου και χρόνου σημαίνει την επιβολή μιας φυσικής οπτικής πάνω σε ένα μαθηματικό αντικείμενο. Στην περίπτωση της Γης, της δώσαμε πόλους επειδή περιστρέφεται. Ο βόρειος πόλος είναι απλώς το σημείο της επιφάνειας «Γη» του οποίου η κάθετη δείχνει προς τον Πολικό Αστέρα, ένα άστρο που παραμένει σταθερό στον αστερισμό.
Όσον αφορά την ισομετρία και την μη ισομετρία, η χαρτογραφία απεικονίζει τα προβλήματα που προκύπτουν από τις προσπάθειες αναπαράστασης μιας σφαίρας σε ένα επίπεδο. Η προβολή του Mercator (προβολή της γήινης σφαίρας σε έναν κύλινδρο εφαπτόμενο κατά μήκος του ισημερινού) είναι πολύ ευχάριστη για τους ανθρώπους που ζουν κοντά στον ισημερινό. Αντίθετα, ο κάτοικος ενός από τους πόλους έχει μια δυσάρεστη έκπληξη: η περιοχή του, που είναι σημειακή, μετατρέπεται σε ευθεία...
Υπάρχουν τριάντα έξι χιλιάδες τρόποι να προβάλλουμε μια σφαίρα σε ένα επίπεδο. Ας φανταστούμε αυτόν:
Ας φανταστούμε ότι κατασκευάζουμε χάρτες με αυτό το πρότυπο και τους πουλάμε. Άμεση επιτυχία μεταξύ των κατοίκων των δύο πόλων: αυτές οι προβολές είναι τότε, σε αυτές τις περιοχές, σχεδόν ισομετρικές. Πολύ βολικό για να έχει κανείς μια ιδέα των αποστάσεων σε αυτές τις γωνίες. Αν η Γη ήταν κατοικήσιμη στους πόλους και σχετικά αφιλόξενη αλλού, οι χάρτες θα είχαν πιθανότατα δημιουργηθεί με αυτόν τον τρόπο. Θα παρατηρήσουμε ότι τότε ο κύκλος ορίου της επίπεδης προβολής δεν αντιστοιχεί πλέον στον ισημερινό, αλλά σε έναν παράλληλο (εδώ ανήκοντα στο βόρειο ημισφαίριο). Κοντά σε αυτή την περιοχή, ο χάρτης θα είναι πολύ μακριά από την ισομετρία. Επιπλέον, σε αυτόν τον περίεργο χάρτη, ένα μέρος του εδάφους θα πρέπει να απεικονίζεται με συμπαγή γραμμή και το άλλο με διακεκομμένη, αφού βρίσκεται πέρα από αυτόν τον παράλληλο όπου το αντικείμενο, παράξενα, φαίνεται να «διπλώνει». Εκτός αν παρέχουμε χάρτες σε σχήμα δίσκου, όπου η συνέχεια του εδάφους θα απεικονιζόταν στην άλλη όψη, στην οπισθόφυλλο του φύλλου.
Ας προσπαθήσουμε να «σκεφτούμε όλα αυτά σε 3D». Έχουμε απεικονίσει τον Λαντουρλού να βυθίζει τον αριστερό του βραχίονα στη σφαίρα του λαιμού και έχουμε χωρίσει τα δύο σχέδια, κάτι που φαίνεται να υποδηλώνει ότι αυτός ο δεύτερος τρισδιάστατος χώρος μπορεί να είναι «κάπου αλλού». Για να είμαστε πιο ακριβείς, θα έπρεπε να επικαλύψουμε τα δύο σχέδια σε προοπτική, απεικονίζοντας το (δεξί) χέρι που αναδύεται «με διακεκομμένη γραμμή».
Προσπάθησα να το κάνω αυτό, αν και δεν ήταν εξαιρετικά εύκολο. Θα μπορούσαμε επίσης να χρησιμοποιήσουμε δύο διαφορετικά χρώματα, για παράδειγμα κόκκινο για ό,τι θα βρισκόταν στην πρώτη 3D πλευρά του μη απλά συνεκτικού τρισδιάστατου χώρου μας και πράσινο για ό,τι βρίσκεται στην άλλη πλευρά. Ένας κόκκινος Λαντουρλού θα έβλεπε τότε, για παράδειγμα, να αναδύεται το κόκκινο αριστερό χέρι που είχε βυθίσει στη σφαίρα του λαιμού υπό τη μορφή ενός πράσινου «δεξιού» χεριού.
Λυπάμαι που ο Raymond Devos δεν ενδιαφέρεται για τα μαθηματικά. Αν και...
Φυσικά, «μέσα» στη σφαίρα του λαιμού δεν υπάρχει τίποτα. Αυτή η εντύπωση εσωτερικού, περιεχομένου όγκου, οφείλεται μόνο στην επιλογή αυτού του τρισδιάστατου χώρου αναπαράστασης. Το ίδιο ισχύει όπως μέσα στην τρύπα που έχει ανοιχτεί στο φύλλο χαρτί δεν υπήρχε ούτε χαρτί. Ήταν απλώς ένα ατύχημα που σχετιζόταν με την επιλογή αυτού του επίπεδου χώρου αναπαράστασης. Κάποιος που θα επέμενε να χρησιμοποιεί αυτή την επίπεδη αναπαράσταση χωρίς να αφαιρέσει τον δίσκο που έχει κοπεί από το χαρτί και που θα επέμενε να ρωτάει «τι υπάρχει μέσα;» θα ήταν «εκτός θέματος» (ή μάλλον... μέσα). Αυτή η «πλάκα» «δεν υπάρχει».
Ας επιστρέψουμε σε 3D. Όταν ο Λαντουρλού βυθίζει τον βραχίονά του στη σφαίρα του λαιμού, αυτή επίσης δεν έχει εσωτερικό. Αυτή η εντύπωση εσωτερικού οφείλεται μόνο σε αυτή την επιλογή χώρου αναπαράστασης. Θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε ότι ο Λαντουρλού και το αναδύομενο χέρι του έχουν σχεδιαστεί σε ένα φύλλο χαρτιού που διαθέτει τρεις διαστάσεις, από το οποίο θα είχαμε αφαιρέσει... μια σφαίρα (3D ισοδύναμο του δίσκου του φύλλου χαρτιού). Μαθηματικά, ένας δίσκος είναι μια «σφαίρα b2» και μια «σφαίρα όγκου» είναι μια «σφαίρα b3». Ονομάζουμε «σφαίρα» μια συστολική κυψελίδα (βλ. το Topologicon, στο «CD-Lanturlu»), δηλαδή ένα αντικείμενο που μπορεί να συσταλεί προς ένα σημείο διασχίζοντας τον εαυτό του. Αυτά τα παραδείγματα 2D και 3D υπάρχουν για να απεικονίσουν την προσέγγιση που ακολουθείται στο άρθρο: η σφαίρα του Schwarzschild δεν έχει «εσωτερικό», ούτε «κέντρο». Όταν τη διασχίζουμε (υπερτορική διάβαση), βρισκόμαστε σε μια «άλλη πλευρά του χωροχρόνου».
Ποιος είναι ο λόγος αυτής της νέας ερμηνείας της «γεωμετρίας του Schwarzschild»;
Απάντηση: η εξάλειψη των ιδιομορφιών. Ο Kruskal, με την «αναλυτική του επέκταση», έκανε ό,τι περνούσε από το χέρι του για να διεισδύσει με κάθε τρόπο «μέσα» σε αυτή την κατάρατη σφαίρα. Κατάφερε μόνο να συμπιέσει την ιδιομορφία (που κατείχε αρχικά η σφαίρα του Schwarzschild) σε ένα σημείο που βρίσκεται «στο κέντρο αυτού του αντικειμένου». Αρκηθήκαμε σε αυτό το κόλπο. Αλλά εμείς πιστεύουμε ότι χωρίς ιδιομορφίες, είναι καλύτερα.
Η Φύση διαμαρτύρεται, όταν την κοιτάζουμε από τη λάθος γωνία, εκκρίνοντας ιδιομορφίες. Έτσι βλέπουμε τα πράγματα. Είναι μια εκ των προτέρων οπτική για το «πραγματικό». Πιστεύουμε ότι οι ιδιομορφίες δεν υπάρχουν στη φύση. Πιστεύουμε επίσης ότι το άπειρο δεν υπάρχει ούτε αυτό. Αλλά, όπως θα έλεγε ο Kipling, αυτή είναι άλλη ιστορία. Είχα ταραχώδεις συζητήσεις με τον Souriau για αυτό το θέμα πριν από έναν χρόνο.
-
Τι μου αποδεικνύει ότι το άπειρο υπάρχει; ....
-
Αλλά, χωρίς άπειρο, δεν υπάρχουν πια μαθηματικά! ....
-
Το άπειρο, το έχεις συναντήσει ποτέ; Το έχεις δει ποτέ, το έχεις κρατήσει στο χέρι;
-
Είναι μια .... ευκολία.
-
Παράγουμε άπειρα μεγάλους αριθμούς υποθέτοντας ότι μπορούμε να προσθέσουμε 1 σε έναν αριθμό, αόριστα. Άρα χρησιμοποιούμε ένα διαδοχικό άπειρο για να παράγουμε ένα αριθμητικό άπειρο. Αυτό τρώει την ουρά του, το κόλπο σου.
-
Λοιπόν, ας πούμε ότι είναι μια ευκολία. Ο άνθρωπος εφηύρε δύο σημαντικά πράγματα κατά τη διάρκεια της ιστορίας του: το άπειρο και οι τουαλέτες....
Δεν πιστεύω ούτε ότι το άπειρα μικρό υπάρχει, ούτε φυσικά, ούτε μαθηματικά. Αλλά αυτό θα αποτελέσει αντικείμενο άλλων άρθρων. Ας αφήσουμε για τη στιγμή αυτές τις ερωτήσεις στην άκρη. Απλή παρένθεση.
Παρεμπιπτόντως, δείτε το «Scale Invariant Cosmology» των P.Midy και J.P.Petit, International Journal of Modern Physics D, Ιούνιος 1999, σελίδες 271-280, όπου έχουμε εξαφανίσει «την αρχική ιδιομορφία του σύμπαντος». Είναι μια πιο μαθηματικά δομημένη αναδιατύπωση της ιδέας που είχα δημοσιεύσει το 88-89 στο Modern Physics Letters A (άρθρα στον ιστότοπο).
Ελπίζω ότι όταν θα διαβάζετε αυτές τις γραμμές, θα έχουμε προλάβει, με τη βοήθεια των κυρίων Lecot ή Boland, να συμπεριλάβουμε αυτό το νέο άρθρο στον ιστότοπο. Αλλά ούτως ή άλλως, ακόμα κι αν αυτή η εργασία αναπαράγονταν εκεί, μην το επιχειρήσετε. Όπως είχε γράψει, νομίζω, ο Αρχιμήδης στην είσοδο ενός ιερού-επιστήμης: «Μηδείς ἀγεωμέτρητος εἰσίτω». Είναι τανυστές και συναφή, πεδίο στο οποίο ο Midy απολαμβάνει, αλλά είναι επίσης δυσπεπτο όπως το αγγλικό πουτίγκ.
Βλέπουμε λοιπόν, μέσω αυτής της συζήτησης, ότι η φυσική οπτική που έχουμε για τα φαινόμενα προέρχεται από τον τρόπο με τον οποίο αποφασίσαμε να τα αναπαραστήσουμε. Έχουμε, τροποποιώντας τις χωρικές συντεταγμένες, αλλάξει την «τοπική τοπολογία», μια λέξη που θα άξιζε να διευκρινιστεί μαθηματικά, λέει ο Souriau. Στην πραγματικότητα, αυτή η φράση είναι ένας γλυκός ευφημισμός: απλώς άρχισε να ουρλιάζει όταν εκφώνησα αυτή τη λέξη. Η γάτα του Pioum και εγώ δυσκολευτήκαμε πολύ να τον ηρεμήσουμε. Ο Souriau είναι ο Τόρνεσολ των μαθηματικών. Εξασκείται ευχαρίστως στην μαθηματική αγανάκτηση στο αποκορύφωμά της. Αλλά αυτές οι κρίσεις αγανάκτησης δεν πρέπει να συγχέονται με την οργή με την τετριμμένη έννοια του όρου. Θα ήμουν μάλλον ο «Κύριος Ζουρνταίν», σε αυτόν τον τομέα. Οι φυσικοί συχνά κάνουν μαθηματικά χωρίς να το γνωρίζουν (και αντίστροφα, άλλωστε).
Παραδεχόμενοι, προσωρινά, τη χρήση «μη διευκρινισμένων» λέξεων, όλα συμβαίνουν σαν να είχαμε θεωρήσει μέχρι τώρα ότι η «τοπική τοπολογία» της γεωμετρίας του Schwarzschild ήταν «υπερσφαιρική» (ότι η σφαίρα του Schwarzschild «περιέχει» μια «σφαίρα b3»). Την κάναμε «υπερτορική». Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο πρότεινα την (μη ελεγχόμενη) ονομασία «υπερτορικές γεωμετρίες».
Αναφερθήκαμε παραπάνω στην αναστροφή του χώρου. Αυτό διαπραγματεύεται με τις ομάδες. Μπορούμε να το κατανοήσουμε αλλιώς; Είδαμε ότι ο Λαντουρλού, βυθίζοντας τον αριστερό του βραχίονα στη σφαίρα του λαιμού, έβλεπε να αναδύεται ... ένα δεξί χέρι. Στην πραγματικότητα, κάθε άτομο του χεριού του ακολούθησε μια «ακτινική» γεωδαισιακή, κατευθυνόμενη κάθετα στην επιφάνεια.
Ας σημειώσουμε παρεμπιπτόντως, είχαμε ξεχάσει να το πούμε, ότι αυτός ο τρόπος αναπαράστασης δεν είναι ισομετρικός. Όπως για το κόλπο με το τρυπημένο χαρτί, πριν από λίγο. Αν μετρούσαμε το μήκος που διένυσε ένα άτομο-δείκτη που ανήκει στο χέρι του Λαντουρλού στους δύο ημι-χώρους, αυτό δεν θα ταίριαζε με το πραγματικό μήκος που μπορούμε να υπολογίσουμε με ένα κομμάτι σχοινί.
Ας ξαναπάρουμε ένα σχέδιο που δόθηκε πιο πάνω.
Εδώ, έχουμε απεικονίσει ένα γεωδαισιακό τόξο ΑΒ που διασχίζει τον κύκλο του λαιμού, και την εικόνα του στον επίπεδο χώρο αναπαράστασης, κάτω. Ο χαρακτήρας της μη ισομετρικής αναπαράστασης φαίνεται τότε ακόμα πιο καθαρά. Τα μήκη των τόξων ΑΒ και Α'Β' είναι πολύ διαφορετικά.
Είναι προφανώς αρκετά δύσκολο να φανταστεί κανείς ότι μπορεί να περάσει ένα κομμάτι σχοινί στη σφαίρα του λαιμού ενός υπερτορικού περάσματος. Τεντώνοντας το σχοινί, θα παίρναμε άλλωστε μια γεωδαισιακή (γραμμή του συντομότερου μονοπατιού). Ωστόσο, αν μετρούσαμε το μήκος αυτού του σχοινιού στον τρισδιάστατο χώρο αναπαράστασης (Λαντουρλού που περνάει τον βραχίονά του) και τολμούσαμε να μετρήσουμε το μήκος του εν λόγω σχοινιού, σε αυτόν τον χώρο, θα βρίσκαμε ένα μήκος Α'Β' πιο μικρό. Το πραγματικό μήκος, μετρημένο στην τρισδιάστατη υπερ-επιφάνεια, θα ήταν πιο μεγάλο, όπως απεικονίζεται παραπάνω σε 2D. Η τρισδιάστατη αναπαράσταση όπου απεικονίζεται ο Λαντουρλού είναι λοιπόν μη ισομετρική, όπως και η επίπεδη αναπαράσταση του παραπάνω σχήματος.
Στην ουσία, αυτές οι τόσο λεπτομερείς έννοιες, που προέρχονται από τη θεωρία των ομάδων, καταλήγουν να γίνονται λιγότερο αδιαπέραστες, χάρη σε μερικά σχέδια, υπό την προϋπόθεση να «βλέπουμε στον χώρο». Αυτό που προσπαθώ τώρα να σας μάθω, είναι να βλέπετε σε έναν καμπύλο τρισδιάστατο χώρο.
Ας επιστρέψουμε σε αυτή την υπόθεση της εναντιομορφίας, της αναστροφής των αντικειμένων όταν διασχίζουν τη δομή του λαιμού, σε 2D ή σε 3D. Ας εξετάσουμε, σε 2D, «ακτινικές» γεωδαισιακές. Η λέξη έχει γίνει ακατάλληλη αφού μια ακτίνα είναι κατ' αρχήν μια ευθεία που ξεκινά από ένα σημείο. Πρόκειται στην πραγματικότητα για γεωδαισιακές σταθερού j. Δείτε ένα σχήμα, πιο πάνω, όπου αυτή η αζιμουθιακή συντεταγμένη έχει υποδειχθεί. Αλλά, για περισσότερη συνοχή, θα συνεχίσουμε να χρησιμοποιούμε τη λέξη «ακτινική» με εισαγωγικά. Σημειώστε ότι αυτή η λέξη «ακτινική» είναι ακόμα μια συνέπεια της επιλογής ενός χώρου αναπαράστασης. Φανταστείτε ότι ένα γράμμα R (το οποίο δεν είναι ίδιο με την κατοπτρική του εικόνα, την εναντιόμορφη εικόνα του) γλιστρά, σαν μια κακοκολλημένη δεκαλκομανία, κατά μήκος του τορικού περάσματός μας, με κάθε σημείο του να πορεύεται κατά μήκος μιας γεωδαισιακής. Αυτό το γράμμα θα βρεθεί «απέναντι». Αυτό που είναι ενδιαφέρον είναι να δούμε το αποτέλεσμα της πράξης στην επίπεδη προβολή, στον χώρο αναπαράστασης.
Έχουμε απεικονίσει ένα είδος ταινίας, των οποίων οι άκρες αποτελούνται από δύο γεωδαισιακές. Τι παρατηρούμε; Στον χώρο αναπαράστασης, το γράμμα R έχει αναστραφεί, έχει γίνει ένα ρωσικό «ia», ένα R ανάποδα, εναντιόμορφο. Αρχίζουμε να καταλαβαίνουμε τώρα γιατί το χέρι του Λαντουρλού, αναδύοντας στον «χώρο αναπαράστασης 3D» φαίνεται να έχει αναστραφεί, να έχει γίνει εναντιόμορφο.