Αμφισβητούμενη schwarz σκοτεινή τρύπα και δίδυμος κόσμος

Κοσμολογία Προβληματική μαύρη τρύπα.

Jean-Pierre Petit Παρατηρητήριο Μασσαλίας, Γαλλία Pierre Midy CRI Orsay, Γαλλία Για συνεννόηση:

Περίληψη

Ξεκινώντας από το λεγόμενο μοντέλο μαύρης τρύπας, που θεωρείται φυσική ερμηνεία της γεωμετρίας του Schwarzschild, επανεξετάζουμε το πρόβλημα της μοίρας μιας αστέρα νετρονίων όταν υπερβαίνει το όριο σταθερότητας. Παρουσιάζουμε πρώτα ένα νέο γεωμετρικό εργαλείο: η υπερτορική γεωμετρία, μέσω παραδειγμάτων σε 2D και 3D (τομέας 2). Δείχνουμε ότι τα προβλήματα που συνδέονται με τις μετρικές, που προκύπτουν από το στοιχείο γραμμής τους εκφρασμένο σε ένα δεδομένο σύστημα συντεταγμένων, μπορούν να διορθωθούν με μια πιο κατάλληλη επιλογή που διατυπώνεται σε όρους «τοπολογίας τοπικής». Για παράδειγμα, δείχνουμε ότι στα δύο δεδομένα παραδείγματα, η 2D επιφάνεια και η 3D υπερεπιφάνεια, των οποίων οι ομάδες ισομετρίας είναι O2 και O3, δεν είναι απλώς συνεκτικές.

Επεκτείνουμε τη μέθοδο στη γεωμετρία του Schwarzschild. Δείχνουμε ότι οι αστάθειες μπορούν να εξαλειφθούν πλήρως, λαμβάνοντας υπόψη μια χρονοχώρο-υπερεπιφάνεια που δεν είναι απλώς συνεκτική. Δίνουμε στη γεωμετρία του Schwarzschild μια διαφορετική φυσική σημασία: μια γέφυρα που συνδέει δύο κόσμους, τον δικό μας και έναν αντίστοιχο κόσμο.

Δείχνουμε ότι η «κατάρρευση του χρόνου», πέτρα της θεμέλιος του μοντέλου της μαύρης τρύπας, είναι απλώς μια συνέπεια μιας τυχαίας επιλογής ενός συγκεκριμένου δείκτη χρόνου. Χρησιμοποιώντας έναν άλλο δείκτη, που επηρεάστηκε από την εργασία του Eddington (1924), αποδεικνύουμε ένα εντελώς διαφορετικό σενάριο, που υποδηλώνει μια ακτινική συναγωγή (παρόμοια με την αζιμουθιακή συναγωγή της μετρικής του Kerr). Δείχνουμε ότι η λύση του Schwarzschild μπορεί να ερμηνευθεί ως «χώρος γέφυρα», που συνδέει δύο κόσμους, δύο χωροχρόνους, λειτουργώντας ως μία μονόδρομη γέφυρα. Δείχνουμε ότι ο χρόνος διέλευσης μιας δοκιμαστικής σωματιδίου είναι πεπερασμένος και σύντομος, γεγονός που κάνει αμέσως το κλασικό μοντέλο της μαύρης τρύπας προβληματικό.

Με την επέκταση της ομάδας ισομετρίας της μετρικής του Schwarzschild, δείχνουμε ότι οι δύο κόσμοι είναι εναντιόμορφοι (P-συμμετρικοί) και διαθέτουν αντίθετους δείκτες χρόνου (t* = - t). Χρησιμοποιώντας ένα εργαλείο της θεωρίας ομάδων: τη συζυγή δράση μιας ομάδας στο χώρο των ορμών της, δίνουμε φυσική σημασία σε αυτή τη «αντιστροφή του χρόνου», μέσω της σφαιρικής επιφάνειας του λαιμού, της σφαίρας του Schwarzschild: όταν ένα σωματίδιο με θετική μάζα διασχίζει τη χώρο-γέφυρα, η συμβολή του στο βαρυτικό πεδίο αντιστρέφεται: m* = -m (όπως έδειξε ο J.M. Souriau το 1974, η αντιστροφή του δείκτη χρόνου είναι ισοδύναμη με την αντιστροφή της μάζας και της ενέργειας).

Εφόσον το ερώτημα για τη μοίρα ενός αστέρα νετρονίων που έχει υπερβεί το όριο σταθερότητας παραμένει ανοικτό, παρουσιάζουμε ένα πρότυπο εναλλακτικό: η υπερχώρο-μεταφορά μέρους της ύλης του μέσω μιας χώρο-γέφυρας, αυτή η ύλη να ρέει προς τον αντίστοιχο κόσμο με σχετικιστική ταχύτητα.

Με αφορμή, υπ напομνημόνευση ορισμένα γνωστά μειονεκτήματα του μοντέλου του Kruskal, ειδικότερα το γεγονός ότι δεν είναι ασυμπτωτικά Lorentzian στο άπειρο.

Προτείνουμε να θεωρήσουμε τη γεωμετρία του Schwarzschild ως μια υπερεπιφάνεια που βυθίζεται σε ένα δέκαδιάστατο χώρο. Συνδέοντας αυτή τη δουλειά με προηγούμενες εργασίες βασισμένες στη θεωρία ομάδων, κατασκευάζουμε ένα CPT-συμμετρικό μοντέλο. Η δυαδικότητα ύλης-αντιύλης διατηρείται στα δύο πτυχώματα. Όταν η ύλη μεταφέρεται προς τον αντίστοιχο κόσμο, υπόκειται σε CPT-συμμετρία και η μάζα της (η συμβολή της στο βαρυτικό πεδίο) αντιστρέφεται. Αλλά παραμένει ύλη. Ομοίως, η αντιύλη που ρέει στη χώρο-γέφυρα παραμένει αντιύλη, με αντίθετη μάζα, επειδή η αντιστροφή του δείκτη χρόνου, όπως έδειξε ο Souriau, προκαλεί την αντιστροφή της μάζας.

1. Το μοντέλο της μαύρης τρύπας.

Οι αστέρες νετρονίων δεν μπορούν να υπερβούν μια κρίσιμη μάζα, κοντά σε 2,5 ηλιακές μάζες. Για μεγαλύτερες μάζες, το υλικό τους δεν μπορεί πλέον να αντέξει την τεράστια εσωτερική πίεση που προκαλείται από τη βαρυτική δύναμη. Τότε, συμβαίνει συρρίκνωση. Για πολύ καιρό, οι θεωρητικοί προσπάθησαν να περιγράψουν τη μοίρα ενός τέτοιου αντικειμένου. Παρατηρώντας τη μετρική του Schwarzschild, που στη συνέχεια εκφράζεται σε όρους

συντεταγμένων, όπου Rs είναι ο λεγόμενος ακτίνας Schwarzschild (1),

φαντάστηκαν ότι αυτή η λύση της εξίσωσης Einstein:

(2) S = 0

με μηδενικό δεύτερο μέλος μπορούσε να λύσει το πρόβλημα. Στην πραγματικότητα, αν το t επιλεγεί ως «κοσμικός χρόνος ενός εξωτερικού παρατηρητή», ο χρόνος πτώσης μιας δοκιμαστικής σωματιδίου που ακολουθεί μια «ακτινική γεωδαισιακή», από ένα σημείο μακριά από τη σφαίρα Schwarzschild r = Rs, βρέθηκε άπειρος, ενώ αυτός ο χρόνος πτώσης Ds, εκφρασμένος σε ιδιαίτερο χρόνο, παραμένει πεπερασμένος. Τότε η «φυσική περιγραφή» είναι η εξής:

• Το αντικείμενο (ένας αστέρας νετρονίων που υπερβαίνει το όριο σταθερότητας) υφίσταται βαρυτική συρρίκνωση. Η μάζα του πέφτει γρήγορα προς «το γεωμετρικό κέντρο του συστήματος», που περιγράφεται ως μια «κεντρική αστάθεια». Αυτό το φαινόμενο διαρκεί για μια πεπερασμένη διάρκεια Ds, σε όρους ιδιαίτερου χρόνου s.

• Αλλά, για έναν «εξωτερικό παρατηρητή», τοποθετημένο σε κάποια απόσταση από το αντικείμενο, αυτή η διαδικασία φαίνεται «σταματημένη στο χρόνο». Επιπλέον, η σφαίρα Schwarzschild είναι μια επιφάνεια απείρου μετατόπισης προς το κόκκινο (λόγω της μηδενικότητας του όρου gtt της μετρικής στο r = Rs).

Αυτό είναι το μοντέλο μιας σφαιρικά συμμετρικής μαύρης τρύπας.

Το r ταυτίζεται με μια «ακτινική απόσταση», που σημαίνει ότι μπορούμε να σκεφτούμε «τι βρίσκεται μέσα στη σφαίρα Schwarzschild». Προσεγγιστικά, αυτό σημαίνει ότι υποθέτουμε ότι η «τοπολογία τοπική» είναι «σφαιρική»: μέσα στη σφαίρα Schwarzschild, υποθέτουμε ότι μια «μικρότερη σφαίρα βρίσκεται», και έτσι επ’ ευκαιρία, μέχρι το «γεωμετρικό κέντρο» του αντικειμένου.

Αργότερα, το μοντέλο επεκτάθηκε σε αξονική συμμετρία (μετρική Kerr). Αλλά αυτή η επέκταση δεν φέρνει καμία βασική έννοια. Γι’ αυτό, στη συνέχεια, θα εστιάσουμε σε σφαιρικά συμμετρικά συστήματα (νομίζουμε ότι αυτή η μελέτη μπορεί να επεκταθεί αργότερα στη μετρική του Kerr).

Είναι λίγο περίεργο ότι ένα τόσο πυκνό αντικείμενο μπορεί να περιγραφεί από μια λύση των εξισώσεων (2), η οποία από την αρχή αναφέρεται σε μια κενή περιοχή του Σύμπαντος όπου δεν υπάρχει ύλη-ενέργεια.

Αν διατηρήσουμε την περιγραφή (μια συγκεκριμένη επιλογή συντεταγμένων), πολλά προβλήματα προκύπτουν. Για παράδειγμα, όταν το r τείνει στο Rs, ο όρος grr τείνει στο άπειρο.

Η υπογραφή της μετρικής, εκφρασμένη με αυτή τη συγκεκριμένη επιλογή συντεταγμένων, είναι: ( + - - - ) για r > Rs ( - + - - ) για r < Rs

Όταν μια δοκιμαστική σωματίδιο εισέρχεται μέσα στη σφαίρα Schwarzschild, η μάζα της γίνεται φανταστική και η ταχύτητά της μεγαλύτερη από την ταχύτητα του φωτός: γίνεται ταχυονική.

Λαμβάνοντας υπόψη την αλλαγή υπογραφής, κάποιοι είπαν:

• Δεν υπάρχει πρόβλημα: μέσα στη σφαίρα Schwarzschild, το r γίνεται απλώς ο χρόνος και το t η ακτινική απόσταση.

Ένας γάλλος κοσμολόγος, Jean Heidmann, συνηθίζει να λέει: «Όταν σκέφτεσαι τις μαύρες τρύπες, πρέπει να αφήσεις πίσω κάθε λογική».

Με αφορμή, υπάρχουν πολύ λίγοι υποψήφιοι για μαύρες τρύπες, που είναι το πιο περίεργο. Πράγματι, οι υπερκαινούργιες, οι λευκές νάνες και οι αστέρες νετρονίων είχαν προβλεφθεί πριν από την παρατήρησή τους. Για παράδειγμα, ο Fritz Zwicky παρουσίασε το μοντέλο της υπερκαινούργιας σε μια διάσημη διάλεξη στο Caltech το 1931, πριν καν κανείς την παρατηρήσει. Αλλά χρόνια μετά χρόνια, το μοντέλο επικύρωσε και τώρα γνωρίζουμε εκατοντάδες αυτών των αντικειμένων. Το ίδιο συμβαίνει με τους περιστρεφόμενους αστέρες νετρονίων, που αναγνωρίζονται ως πολύπλευροι. Γιατί τόσο λίγες μαύρες τρύπες παρατηρήθηκαν;

Παρ’ όλα αυτά, οι αστροφυσικοί πιστεύουν ότι οι μαύρες τρύπες υπάρχουν, ακόμη και αν υπάρχουν τόσο λίγα παρατηρητικά δεδομένα γι’ αυτές. Χρησιμοποιούν μοντέλα «γιγάντων μαύρων τρύπων», που υποθέτουν ότι βρίσκονται στο κέντρο των γαλαξιών ή των συμπλεγμάτων γαλαξιών, για να «εξηγήσουν» ορισμένες από τις περίεργες δυναμικές τους χαρακτηριστικές.

Στη συνέχεια, θέλουμε να προτείνουμε μια διαφορετική μοίρα για τους αστέρες νετρονίων που έχουν υπερβεί το όριο σταθερότητας. Ας ξεκινήσουμε με την παρουσίαση νέων γεωμετρικών εργαλείων.

2. Υπερτορική γεωμετρία.

Θεωρήστε τη ριμάνεια μετρική g, σε δύο διαστάσεις, του οποίου το στοιχείο γραμμής, εκφρασμένο με ένα σύνολο δύο συντεταγμένων [ r , j ] είναι:

(3)

όπου:

ορίζεται στο R, μέχρι 2 .

Rs είναι μια σταθερά.

Η μετρική γίνεται ασυμπτωτικά ευκλείδεια όταν το r τείνει στο άπειρο:

(4)

Σε αυτό το συγκεκριμένο σύστημα συντεταγμένων, η υπογραφή είναι: ( + , + ) για r > Rs ( - , + ) για r < Rs

Ο προσδιοριστής:

(5)

γίνεται άπειρος για r = Rs. Δείξτε ότι αυτό οφείλεται σε αυτή τη συγκεκριμένη επιλογή συντεταγμένων. Εισαγάγετε την εξής αλλαγή συντεταγμένων:

(6)

Το στοιχείο γραμμής γίνεται (7)

με το συνδεδεμένο προσδιοριστή:

(8)

Δεν μηδενίζεται πλέον για κάθε τιμή (που δείχνει επίσης ότι, σε μια μετρική, η μηδενικότητα του προσδιοριστή του στοιχείου γραμμής εξαρτάται από την επιλογή του συστήματος συντεταγμένων, όπως έδειξε ο Eddington το 1924 (αναφ. [10]) για τη μετρική του Schwarzschild). Όταν το τείνει στο μηδέν (που αντιστοιχεί σε

αυτός ο προσδιοριστής τείνει σε:

μεταβάλλεται από -άπειρο σε +άπειρο, που αντιστοιχεί σε r ³ Rs

Η μετρική g, όποιο κι αν είναι το σύστημα συντεταγμένων που επιλέγεται, περιγράφει μια επιφάνεια, ένα αντικείμενο δύο διαστάσεων. Αυτή έχει το σύστημά της γεωδαισιακών, βασικά αναλλοίωτο ως προς τις συντεταγμένες. Μελετήστε αυτό το σύστημα σε ένα σύστημα συντεταγμένων μέσω των εξισώσεων Lagrange. Εισαγάγετε την ακόλουθη συνάρτηση F:

(9)

Οι αντίστοιχες εξισώσεις Lagrange είναι:

(10)

(11)

Η εξίσωση (11) δίνει:

(12)

h είναι θετικό, αρνητικό ή μηδέν. Επιπλέον, αν στο (3) διαιρέσουμε και τα δύο μέλη με , παίρνουμε, κλασικά:

(13)

από την οποία μπορούμε να απαγάγουμε τη διαφορική εξίσωση που περιγράφει τις επίπεδες γεωδαισιακές, στο σύστημα συντεταγμένων:

(14)

Η συνθήκη |h| £ r, σύμφωνα με τη (12), σημαίνει ότι η απόλυτη τιμή του συνημιτόνου της γωνίας μεταξύ της εφαπτομένης της γεωδαισιακής και του ακτινικού διανύσματος είναι £ 1.

Τώρα, τοποθετήστε την επιφάνεια στο R3, προσθέτοντας μια επιπλέον συντεταγμένη εμβύθισης z. Επιλέγουμε κυλινδρικές συντεταγμένες

Η επιφάνεια είναι αξονική συμμετρική ως προς τον άξονα z.

Οι γεωδαισιακές ( = σταθερό) είναι οι μεριδιανές γραμμές αυτής της επιφάνειας, όπου:

(15)

που δίνει αμέσως την εξίσωση της μεριδιανής καμπύλης αυτής της επιφάνειας, που βυθίζεται στο R3. Πρόκειται για τη παραβολή:

(16)

Η εικόνα 1 δείχνει μια 3D προβολή αυτής της επιφάνειας, που βυθίζεται στο R3, συνοδευόμενη από μια γεωδαισιακή και την προβολή της σε ένα επίπεδο με πολικές συντεταγμένες.

Αυτή η επιφάνεια δεν είναι απλώς συνεκτική. Μεταξύ των τροχιών της ομάδας ισομετρίας O2, υπάρχει ένας κύκλος με ελάχιστο περίμετρο: ο κύκλος του λαιμού (p = 2 Rs).

Εικόνα 1: Η επιφάνεια, βυθισμένη στο R3

και η αναπαράστασή της σε ένα σύστημα συντεταγμένων.

Στην εικόνα 2, πολλές γεωδαισιακές φαίνονται, σε αυτό το σύστημα αναπαράστασης.

Εικόνα 2: Αναπαράσταση μερικών γεωδαισιακών. Εικόνα 3: Μια ειδική γεωδαισιακή, που διασχίζει τον κύκλο του λαιμού.

Παρατηρήστε ότι αυτή η αναπαράσταση των γεωδαισιακών σε ένα επίπεδο δεν είναι ισομετρική. Αν μετρήσουμε το μήκος σε αυτό το επίπεδο, δεν αντιστοιχεί στο μήκος που μετράται στην επιφάνεια.

Αν επιβάλουμε ότι το μήκος dS είναι πραγματικό, βλέπουμε ότι καθορίζει αυτό που θα μπορούσαμε να ονομάσουμε «τοπολογία τοπική». Ονομάστε μια τέτοια γεωμετρική δομή ένα «τορικό γέφυρα». Μπορούμε επίσης να πούμε ότι αυτή η επιφάνεια διαθέτει «τοπολογία τορική τοπική». Διαθέτει μόνο ένα πτύχωμα, που μπορεί να θεωρηθεί ως σύνολο δύο πεπερασμένων ημιπτυχών, οι οποίες ενώνονται κατά μήκος των κυκλικών ακμών τους κατά μήκος του κύκλου του λαιμού, του οποίου το περίμετρο είναι 2Rs. Αυτοί οι κύκλοι δεν είναι γεωδαισιακές γραμμές (εκτός από αυτή την πολύ ειδική γεωδαισιακή που είναι ο κύκλος του λαιμού, η μοναδική κλειστή). Σε κάθε ημιπτύχωμα, όταν η απόσταση από τη «τορική γέφυρα» τείνει στο άπειρο, η μετρική τείνει στην ευκλείδεια μετρική (2). Στην εικόνα 2, που αντιστοιχεί σε μια αναπαράσταση [r, θ], τα πάνω μέρη των γεωδαισιακών που διασχίζουν τον κύκλο του λαιμού απεικονίζονται με συνεχείς γραμμές, ενώ τα αντίστοιχα μέρη του άλλου ημιπτυχώματος απεικονίζονται με διακεκομμένες γραμμές. Παρατηρήστε ότι ένα ημιπτύχωμα αντιστοιχεί στο (θ ∈ [0, π]), οπότε το άλλο αντιστοιχεί στο (θ ∈ [π, 2π]). Ο κύκλος του λαιμού αντιστοιχεί στο θ = 0. Περίληψη Επόμενη σελίδα

Η μετρική g, ανεξάρτητα από το σύστημα συντεταγμένων που επιλέγεται, περιγράφει μια επιφάνεια, ένα αντικείμενο δύο διαστάσεων. Αυτή η τελευταία διαθέτει το δικό της σύστημα γεωδαισικών, βασικά αναλλοίωτο ως προς τις συντεταγμένες. Μελετήστε αυτό το σύστημα σε ένα σύστημα συντεταγμένων μέσω των εξισώσεων του Lagrange. Εισάγουμε την ακόλουθη συνάρτηση F:

(9)

Οι αντίστοιχες εξισώσεις του Lagrange είναι:

(10)

(11)

Η εξίσωση (11) δίνει:

(12)

όπου το h είναι θετικό, αρνητικό ή μηδέν. Επιπλέον, αν διαιρέσουμε τα δύο μέρη της (3) με , παίρνουμε, κατά την κλασσική έννοια:

(13)

από την οποία μπορούμε να παραγάγουμε τη διαφορική εξίσωση που περιγράφει τις γεωδαισικές της επιφάνειας, στο σύστημα συντεταγμένων:

(14)

Η συνθήκη |h| ≤ r, σύμφωνα με την (12), σημαίνει ότι το απόλυτο τιμής του συνημιτόνου της γωνίας μεταξύ της εφαπτομένης της γεωδαισικής και του διανύσματος της ακτινικής κατεύθυνσης είναι ≤ 1.

Τώρα, τοποθετήστε την επιφάνεια στο R3, προσθέτοντας μια επιπλέον συντεταγμένη εμβύθισης z. Επιλέγουμε συντεταγμένες κυλινδρικές

Η επιφάνεια είναι αξονικά συμμετρική ως προς τον άξονα z.

Οι γεωδαισικές ( = σταθερό) είναι οι μεριδιανές γραμμές αυτής της επιφάνειας, όπου:

(15)

που δίνει αμέσως την εξίσωση της μεριδιανής καμπύλης αυτής της επιφάνειας, που βυθίζεται στο R3. Πρόκειται για την παραβολή:

(16)

Η εικόνα 1 δείχνει μια 3D προβολή αυτής της επιφάνειας, που βυθίζεται στο R3, μαζί με μια γεωδαισική και την προβολή της σε ένα επίπεδο με πολικές συντεταγμένες.

Αυτή η επιφάνεια δεν είναι απλά συνεκτική. Μεταξύ των τροχιών της ομάδας ισομετρίας O2, υπάρχει ένας κύκλος με ελάχιστο περίμετρο: ο κύκλος της θραύσης (p = 2 Rs).

Εικόνα 1: Η επιφάνεια, που βυθίζεται στο R3

και η αναπαράστασή της σε ένα σύστημα συντεταγμένων.

Στην εικόνα 2, πολλές γεωδαισικές φαίνονται, σε αυτό το σύστημα αναπαράστασης.

Εικόνα 2: Αναπαράσταση ορισμένων γεωδαισικών. Εικόνα 3: Μια ιδιαίτερη γεωδαισική, που διατέμνει τον κύκλο της θραύσης.

Παρατηρήστε ότι αυτή η αναπαράσταση των γεωδαισικών σε ένα επίπεδο δεν είναι ισομετρική. Αν μετρήσουμε το μήκος σε αυτό το επίπεδο, δεν αντιστοιχεί στο μήκος που μετρήθηκε στην επιφάνεια.

Αν υποθέσουμε ότι το μήκος dS είναι πραγματικό, βλέπουμε ότι καθορίζει αυτό που μπορούμε να ονομάσουμε τοπολογία τοπική. Ας ονομάσουμε μια τέτοια γεωμετρική δομή ένα γέφυρα τοροειδούς. Μπορούμε επίσης να πούμε ότι αυτή η επιφάνεια διαθέτει τοπολογία τοροειδούς τοπική. Διαθέτει μια μόνο πτύση, η οποία μπορεί να θεωρηθεί ως ένα σύνολο δύο περιορισμένων ημιπτύσεων, οι δύο οποίες ενώνονται κατά μήκος των κυκλικών άκρων τους κατά μήκος του κύκλου της θραύσης, του οποίου το περίμετρο είναι 2 Rs. Αυτοί οι κύκλοι δεν είναι γεωδαισικές γραμμές (εκτός από αυτή την ιδιαίτερη γεωδαισική που είναι ο κύκλος της θραύσης, η μόνη κλειστή). Σε κάθε ημιπτύση, όταν η απόσταση από την «γέφυρα τοροειδούς» τείνει στο άπειρο, η μετρική τείνει στην ευκλείδεια μετρική (2). Στην εικόνα 2, η οποία αντιστοιχεί σε μια αναπαράσταση [ r , ] , τα πάνω τμήματα των γεωδαισικών που διατέμνουν τον κύκλο της θραύσης αναπαριστώνται ως συνεχείς γραμμές, ενώ τα τμήματα που αντιστοιχούν στην άλλη ημιπτύση αναπαριστώνται ως διακεκομμένες γραμμές. Παρατηρήστε ότι μια ημιπτύση αντιστοιχεί σε ( ) , οπότε η άλλη αντιστοιχεί σε ( ) . Ο κύκλος της θραύσης αντιστοιχεί σε = 0 . Σύνοψη Επόμενη σελίδα