- Géodésiques dans une représentation [r, j].
En introduisant (6) dans (14), avec dr = thr dr, on obtient : (17)
ce qui donne la représentation [r, j] des géodésiques. Lorsque r tend vers zéro, dj/dr tend vers une valeur finie, de sorte que la tangente de l'angle d'inclinaison : (18)
tend vers zéro à l'origine. L'image du cercle du col de Schwarzschild, dans cette représentation, est un point conique. ** ** **
**
Fig. 4 : La géodésique montrée sur la figure 3, dans un système de coordonnées (r, j).
Le croisement du cercle du col correspond au point O
Il s'agit d'une représentation isométrique des géodésiques. Notons que nous pouvons également représenter la surface dans un système [z, r, j], mais ce n'est plus une représentation isométrique. Nous obtenons alors le méridien associé : (19)
Lorsque r tend vers zéro, z(r) est linéaire. Lorsqu'il tend vers l'infini, la fonction tend vers une parabole.
Fig. 5 : Méridien de la surface, dans une représentation non isométrique [r, j] de la surface. ****
L'image du cercle du col de Schwarzschild, dans cette représentation, est un point conique. ** **
- **Extension à une hypersurface 3D à symétrie sphérique. **
Cela peut être étendu à une hypersurface 3D, décrite par l'élément de ligne : (20)
Cette métrique fait référence à une hypersurface 3D, ici exprimée dans un système de coordonnées [r, q, j]. La variable r n'est pas une « distance radiale », correspondant aux « coordonnées sphériques ». Nous retrouvons des pathologies similaires dans cette nouvelle expression de l'élément de ligne, qui peuvent être éliminées en introduisant le même changement de coordonnées (6).
[ r, q, j ] ® [ r, q, j ]
L'élément de ligne devient alors : (21)
Sa signature devient ( +, +, + ) et son déterminant : (22)
ne s'annule plus.
Les géodésiques de cette hypersurface sont situées dans des plans. q = p/2 en est un. Dans leur représentation [r, j], elles coïncident avec celles de la figure 2. Le groupe d'isométrie est O3 et les orbites correspondantes sont des sphères. Parmi celles-ci, l'une possède une aire minimale (la sphère du col d'un tel pont toroïdal 3D). Les grands cercles des sphères-orbites ne sont pas des courbes géodésiques, sauf les cas particuliers situés sur la sphère du col dont le périmètre est 2 p Rs. Les géodésiques de cette sphère particulière sont les seules à être fermées. Nous pouvons appeler cette géométrie particulière une géométrie hypertoroidale. Cette surface 3D n'est pas simplement connexe. Elle possède un seul pli 3D, qui peut être considéré comme un ensemble de deux demi-plis 3D bornés, collés le long de leur bord sphérique (la sphère du col). À grande distance de ce « pont hypertoroidal », la métrique tend vers la métrique euclidienne, ici écrite en coordonnées sphériques : (23)
ds² = dr² + r² ( dq² + sin²q dj² )
- **Géométrie de Schwarzschild. **
Classiquement, on considère que son groupe d'isométrie est SO3 × R, où R fait référence aux translations d'une dimension. On dit alors que cette métrique est indépendante du temps et à symétrie sphérique, en considérant que R correspond aux translations temporelles.
Exprimée dans un système de coordonnées [x°, r, q, j], où x° est le marqueur du temps, l'élément de ligne est (24)
Classiquement, on pose x° = ct, ce qui est censé définir le temps cosmique t « d'un observateur externe ». Lorsque r >> Rs, (21) tend vers la métrique de Minkowski. Classiquement, r est assimilé à une coordonnée radiale. (21) montre une singularité du terme grr et un changement de signature lorsque r = Rs.
Une fois encore, nous pouvons régulariser cette métrique en utilisant le changement de coordonnées (6), en passant à un système [t, r, q, j]. L'élément de ligne devient alors : (25)
Les orbites du groupe d'isométrie O3 sont des sphères. Parmi celles-ci, une, la sphère du col (sphère de Schwarzschild), possède une aire minimale. L'hypersurface n'est pas simplement connexe. Elle forme un seul pli espace-temps, qui peut être considéré comme un ensemble de deux demi-plis 4D (plis jumeaux), le premier correspondant à r > 0 et le second à r < 0, d'où la sphère du col correspond à r = 0. Nous pouvons calculer les géodésiques situées dans le plan q = p/2. Suivant les « coordonnées sphériques » :
**
Fig. 6 : Coordonnées sphériques.
**
l'élément est dr² = r² ( dq² + sin²q dj² )
Les cercles j = constant sont des géodésiques de la sphère, mais, évidemment, ils ne représentent pas toutes les géodésiques de la surface. Seulement celles passant par deux points antipodaux (pôles).
Les cercles q = constant ne sont pas des géodésiques, sauf celui correspondant à q = p/2 (équateur).
Dans un système de coordonnées [r ≥ Rs, j], ces géodésiques (à longueur non nulle) correspondent à : (26)
Le choix de l'ensemble des constantes [l, h] détermine la géodésique. Parmi elles, nous trouvons des géodésiques de type hyperbolique, qui ne coupent pas la sphère du col r = Rs. Voir la figure 7.
Figure 7 : Géométrie de Schwarzschild.
Représentation [r, j] d'une géodésique plane de type hyperbolique qui ne coupe pas la sphère du col r = Rs
Nous trouvons également des géodésiques quasi-elliptiques. Voir la figure 8
**Fig. 8 : Géométrie de Schwarzschild.
Représentation [r, j] de géodésiques quasi-elliptiques. **
Examinons maintenant les géodésiques qui coupent la sphère du col r = Rs. Dans une représentation [r, j], notons a l'angle entre la tangente à la géodésique et le vecteur radial. (27)
La première équation de Lagrange donne : (28)
Pour des valeurs r ≥ Rs, le paramètre l est strictement positif. Une autre équation de Lagrange est : (29)
et donne une évolution monotone de l'angle j par rapport au temps propre s. Dans ce plan (q = p/2), la rotation dépend du signe de h.
Selon cette nouvelle interprétation de la géométrie de Schwarzschild (considérée comme une hypersurface non simplement connexe), nous pouvons représenter la géodésique dans un système [r, j] comme indiqué sur la figure 9.
Figure 9a : Représentation [r, j] d'une géodésique qui coupe la sphère du col **** (sphère de Schwarzschild) correspondant à h ≥ Rs
Une portion de la géodésique est représentée en pointillés, car elle est supposée appartenir au second demi-pli 3D, relié au premier le long de la sphère du col, la sphère de Schwarzschild. Cela suggère une rupture. Mais cette dernière est due à ce système particulier de représentation [r, j], qui est plus familier à notre intuition géométrique humaine (limitée). Dans un espace de représentation 3D, nous obtenons la figure 9b. Les particules semblent « rebondir » sur la sphère de Schwarzschild.
**
Fig. 9b : Dans l'espace euclidien 3D, les particules semblent rebondir sur la sphère de Schwarzschild.
**
Du point de vue de cette interprétation, « il n’y a rien à l’intérieur de la sphère de Schwarzschild », car, dans cet « intérieur », nous sommes simplement « hors de l’hypersurface ». Rappelons que la sphère du col, la sphère de Schwarzschild, correspond à la valeur r = 0. Le premier demi-pli correspond à (r > 0) et le second à (r < 0).
Dans une représentation [r, j], l’aspect de la géodésique devient assez différent. Calculons la tangente de l’angle b, entre la géodésique et le vecteur radial (voir figure 6). (30)
Lorsque r tend vers ±0, thr ≈ r, d’où : (31)
Dans la représentation [r, j], les géodésiques passant d’un demi-pli à l’autre sont tangentes au vecteur radial. Il n’y a plus de discontinuité angulaire à l’origine, celle-ci étant l’image du cercle du col (r = 0). Pour une description complète de ces géodésiques, nous devons revenir à l’élément de ligne exprimé dans le système de coordonnées [t = x°/c, r, q, j] (24), en utilisant le système d’équations de Lagrange, avec : (32)
Parmi ces équations, nous trouvons : (33)
Pour une valeur donnée de h, l’évolution de j est monotone par rapport au temps propre s.
Fig. 10 : Représentation [r, j] d’une géodésique qui passe ** d’un demi-pli (r > 0) à l’autre (r < 0). **
Comme précédemment, la portion de la géodésique appartenant au second demi-pli 3D est représentée en pointillés.
Nous ne pouvons pas donner d’immersion de l’hypersurface 4D, comme nous l’avons fait au début de l’article pour une surface 2D. En outre, nous traitons ici des géodésiques 4D, pas 3D. Les espaces [r, q, j] et [r, q, j] ne sont rien d’autre que des espaces de représentation, supposés rendre les choses un peu plus claires. Les vraies géodésiques sont inscrites dans un espace 4D. Quoi qu’il en soit, la représentation [r, q, j] suggère un « pont hypertoroidal » 3D, tandis que la représentation [r, q, j] suggère un « hyper cône » 3D. Dans cette deuxième (3D) représentation de cette surface 2D, les géodésiques vont d’un demi-pli à l’autre en passant par le point (r = 0). Cela ressemble à un cône 2D. Voir la figure 11
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Fig. 11 : Géodésique d’un cône. Droite : une surface possédant un point conique.
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Version originale (anglais)
- Geodesics in a [r,j] representation.
Introducing (6) in (14), with dr = thr dr we get : (17)
which gives the [r, j] representation of geodesics. When r tends to zero dj/dr tends to a finite value, so that the tangent of the pitch angle : (18)
tends to zero at the origin. The image of the Schwarzschild throat circle, in such representation, is a conical point. ** ** **
**
**Fig.4 : The geodesic shown on figure 3, in a **( r , j ) coordinates system.
The crossing of the throat circle corresponds to point O
This an isometric representation of the geodesics. Notice we can also figure the surface in a [z, r ,j] representation, but this is no longer an isometric one. We get the associated meridian : (19)
When r tends to zero z(r) is linear. When it tends to infinite, the function tends to a parabola.
**Fig. 5 : Meridian of the surface, in a **[ r, j ]
non-isometric representation of the surface. ****
The image of the Schwarzschild throat circle, in such representation, is a conical point.
4)** Extension to a spherically symmetric 3d hypersurface. **
This can be extended to a 3d hypersurface, as described by the line element : (20)
This metric refers to a 3d hypersurface, here expressed in a [ r , q , j ]. coordinates system. The variable r is not a "radial distance", corresponding to "spherical coordinates". We refind similar pathologies in this new line element, which can be eliminated, introducing the same coordinate change (6).
[ r , q , j ] ® [ r , q , j ]
Then this line element becomes : (21)
Its signature becomes ( + , + , + ) and its determinant : (22)
no longer vanishes.
The geodesics of this hypersurface are located in planes. q = p/2 is one of them. In their [ r , j ] representation they identify to those of figure 2. The isometry group is O3 and the corresponding orbits are spheres. Among those, one owns a minimum area (the throat sphere of such 3d toroidal bridge ). The great circles of the spheres-orbits are not geodesic curves, except the peculiar ones located on the throat sphere whose perimeter is 2 p Rs. The geodesics of this peculiar sphere are the only closed ones. We can call this peculiar geometric an hypertoroidal geometry . This 3d-surface is not simply connected. It owns a single 3d fold, which can be considered a set of two bounded half 3d folds, glued together along their spherical border (the throat sphere). At large distance from this "hypertoroidal bridge" the metric tends to the euclidean one, hereafeter written in spherical coordinates : (23)
ds2 = dr2 + r2 ( dq2 + sin2q dj2 )
- **Schwarzschild geometry. **
Classically one considers that its isometry group is SO3 X R where R refers to one-dimensional translations. Then one uses to say that this metric in time-independent ands spherically symmetry, considering that R corresponds to time-translations.
Expressed in a [ x° , r , q , j ] coordinates system, where x° is the time-marker, the line element is (24)
Classically, one writes x° = ct , which is supposed to define the cosmic time t of "an external observer". When r >> Rs (21) tends to the Minkowski metric. Classically r is assimilated to a radial coordinate. (21) shows an irregularity of the term grr and a change of the signature when r = Rs .
Once again we can regularize this metric, using the (6) coordinate change, shifting to a [t, r , q , j ] system. Then the line element becomes : (25)
The orbits of the O3 isometry group are spheres. Among this set, one, the throat sphere (Schwarzschild sphere) owns a minimum area. The hypersurface is not simply connected. It forms a single space-time fold, which can be considered as a set of two half 4d space-time folds (twin folds), the first corresponding to r > 0 and the second to r < 0 , whence the throat sphere corresponds to r = 0. We may compute the geodesics, located in q = p/2 plane. Following : "spherical coordinates" :
**
Fig.6 : Spherical coordinates.
**
the element is dr2 = r2 ( dq2 + sin2q dj2 )
The circles j = constant are geodesics of the sphere but, obviously, they do not represent all the geodesics of the surface. Only the ones passing by two antipodal points (poles).
The circles q = constant are not geodesics, except the one which corresponds to q = p/2 (equator).
In a [ r ³ Rs , j ] coordinates system these (non zero length) geodesics correspond to : (26)
The choice of the set of constants [ l , h ] determines the geodesic. Among them we find hyperbola-like geodesics, which do not intersect the throat sphere r = Rs. See figure 7.
Figure 7 : Schwarzschild geometry.
[ r , j ] representation of hyperbola-like plane geodesic which does not cut the throat sphere r = Rs
We also find quasi-elliptic geodesics. See figure 8
**Fig. 8 : Schwarzschild geometry.
**[ r , j ] **representation of quasi-elliptic geodesics. **
Now let us focuss on geodesics which intersect the r = Rs throat sphere. In a [ r , j ] representation, call a the angle between the tangent to the geodesic and the radial vector. (27)
The first Lagrange equation gives : (28)
For r ³ Rs values the parameter l is strictly positive. Another Lagrange equation is : (29)
and gives a monotonic evolution of the angle j with respect to the proper time s. In this (q = p/2 ) plane the wirling depends on the sign of h .
According to this new interpretation of the Schwarzschild geometry (considered as a non simply connected hypersurface) we may figure the geodesic in a [ r , j ] representation as shown on figure 9.
**Figure 9a : **[ r , j ] representation of a geodesic which intersects the throat sphere **** (Schwarzschild sphere) corresponding to h ³ Rs
One portion of the geodesic has been figured as a dotted line, for it is supposed to belong to the second half-3d fold, linked to the first along the throat sphere, the Schwarzschild one. It suggests a break. But this last is due to this peculiar [ r , j ] system of representation, which is more familiar to our (poor) human geometric intuition. In a 3d representation space we get figure 9b. Particles are like "bouncing" on the Schwarzschild sphere.
**
Fig.9b : In the 3d euclidean representation space particles are like bouncing on the Schwarzschild sphere.
**
From this point of view, "there is nothing inside the Schwarzschild sphere", for, in this "inside" we are simply "out of the hypersurface". Recall that the throat sphere, the Schwarzschild sphere corresponds to the r = 0 value. The first half fold corresponds to ( r > 0 ) and the second one to ( r < 0 ) .
In a [ r , j ] representation, the aspect of the geodesic becomes fairly different. Let us compute the tangent of the angle b , between the geodesic and the radius vector (see figure 6). (30)
When r tends to ± 0 thr » r , whence : (31)
In the [ r , j ] representation the geodesics which go from one half fold to the other one are tangent to the radial vector. There is no longer angular discontinuity at the origin, this last being the image of the throat circle ( r = 0 ). To get a complete description of these geodesics we must return back to the line element, as expressed in the [ t = x°/c, r , q , j ] coordinates system (24), using the Lagrange equations system, with : (32)
Among these equations, we find : (33)
For a given h value the evolution of j is monotonic, with respect to the proper time s.
**Fig. 10 : **[ r , j ] representation of a geodesic which passes ** from a half-fold ( r > 0 ) to the other one ( r < 0 ). **
As before, the portion of the geodesic which belongs to the second 3d half-fold has been figured as a dotted line.
We cannot give an imbedding of the 4d hypersurface, as we did at the begining of the paper for a 2d surface. By the way, we deal with 4d geodesics, not 3d ones. [ r , q , j ] and [ r , q , j ] spaces are nothing but representation spaces, which are supposed to make the things a little bit clearer. The real geodesics are inscribed in a 4d space. Anyway, the [ r , q , j ] representation suggests some 3d "hypertoroidal bridge", whence the [ r , q , j ] representation suggests some 3d "hypercone". In this second (3d) representation of such 2d surface they are geodesics which go from one half-fold to the other one, passing through the ( r = 0 ) point. This is similar to a 2d-cone. See figure 11
**
Fig. 11 : Geodesic of a cone. Right : a surface owing a conical point.
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